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第二章第二章 控制系统控制系统的数学模型的数学模型2/22/20231本章的主要内容 控制系统的微分方程控制系统的微分方程-建立和求解建立和求解 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 控制系统的结构图控制系统的结构图-等效变换等效变换 控制系统的信号流图控制系统的信号流图-梅逊公式梅逊公式 各种数学模型的相互转换各种数学模型的相互转换2/22/20232概述 数学模型数学模型：我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。概述概述2/22/20233 分分析析法法对对系系统统各各部部分分的的运运动动机机理理进进行行分分析析，物物理理规律、化学规律规律、化学规律实实验验法法人人为为施施加加某某种种测测试试信信号号，记记录录基基本本输输出出响响应。应。建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法2/22/20234数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型复域模型复域模型状态空间模型状态空间模型1、微分方程输入量和状态变量都是连续的、微分方程输入量和状态变量都是连续的2、差分方程离散系统、差分方程离散系统频率特性，波特图频率特性，波特图 1传递函数传递函数2 结构图信号流图结构图信号流图 2/22/20235 控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。性系统，定常系统和时变系统。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。一步也是最重要的一步。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。流图，频率特性以及状态空间描述等。2/22/20236 线性系统线性系统：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。线性定常系统和线性时变系统线性定常系统和线性时变系统：可以用线性定常（常系数）可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。质量随着燃料的消耗而变化）。概述概述2/22/20237 古典控制理论中，采用的是单输入单输出古典控制理论中，采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。极其有限的。概述概述2/22/202382.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程2/22/20239 微分方程的编写应根据组成系统微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。中的热力学定理等。控制系统的微分方程控制系统的微分方程2/22/202310控制系统的微分方程控制系统的微分方程例例2-1：写出：写出RC串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。解：根据解：根据KVL定律定律由由：，代入，代入得：得：这是一个线性定常一阶微分方程。这是一个线性定常一阶微分方程。2/22/202311由由：，代入，代入得：得：这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。解解：据基尔霍夫电路定理：据基尔霍夫电路定理：输入输入输出输出LRCi例例2-2：写出：写出RLC串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。2/22/202312例例2-3 求弹簧求弹簧-阻尼阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力输入量为外力F，输出量为位移，输出量为位移x。解解：图：图1和图和图2分别为系分别为系统原理结构图和质量块统原理结构图和质量块受力分析图。图中，受力分析图。图中，m为质量，为质量，f为粘性阻尼系为粘性阻尼系数，数，k为弹性系数。为弹性系数。mfmFF图图2图图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，为输出量，F为输入量。为输入量。控制系统的微分方程控制系统的微分方程2/22/202313需要讨论的几个问题需要讨论的几个问题：1、相似系统和相似量：、相似系统和相似量：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量相似系统和相似量作用作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。相对复杂的系统，实现仿真研究。我们注意到例我们注意到例2-2和例和例2-3的微分方程形式是完全的微分方程形式是完全 一样的。一样的。2/22/2023142 2、非线性元件（环节）微分方程的线性化、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性：性：（1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。入引起的输出叠加得到。（2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化2/22/202315 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。等效的线性环节。设具有连续变化的非线性函数为设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的中的 。A点附近有点为点附近有点为 ，当，当 很小时，很小时，AB段可近似看做线性段可近似看做线性的。的。非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化AByx02/22/2023163.线性系统微分方程的编写步骤：线性系统微分方程的编写步骤：确定系统和各元部件的输入量和输出量。确定系统和各元部件的输入量和输出量。对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。的方程。对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤线性系统微分方程的编写步骤2/22/202317例例2-4：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载负载-+-+功率功率 放大器放大器测速发电机测速发电机解解：该系统的组成和原理；该系统的组成和原理；该系统的输出量是该系统的输出量是 ，输入量是，输入量是 ，扰动量是，扰动量是线性系统微分方程的编写例子线性系统微分方程的编写例子例例2-42/22/202318线性系统微分方程的编写例子线性系统微分方程的编写例子例例2-4消去中间变量：推出消去中间变量：推出 之间的关系：之间的关系：显然，转速显然，转速 既与输入量既与输入量 有关，也与干扰有关，也与干扰 有关。有关。各环节微分方程：各环节微分方程：运放运放：，运放运放：功率放大：功率放大：，反馈环节：，反馈环节：电动机环节：电动机环节：测速测速-运放运放运放运放功放功放电动机电动机速度控制系统方块图：速度控制系统方块图：2/22/2023192.2 控制系统复域数学模型控制系统复域数学模型2/22/202320 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合综合传递函数的基本概念2/22/202321将上式求拉氏变化，得将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）令初始值为零）当传递函数和输入已知时当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时通过反变换可求出时域表达式域表达式y(t)y(t)。传递函数的基本概念称为环节的传递函数称为环节的传递函数式中式中：x x（t t）输入，输入，y y（t t）输出输出为常系数为常系数设系统或元件的微分方程为：设系统或元件的微分方程为：传递函数的传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。复习拉氏变换复习拉氏变换、传递函数的基本概念、传递函数的基本概念2/22/202322 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的的有理分式，对实际系统而言分母的阶次阶次n大于分子的阶次大于分子的阶次m，此时称为，此时称为n阶系统。阶系统。传递函数的基本概念2/22/202323传递函数的基本概念例2-5求电枢控制式直流电动机的传递函数。解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：令 ，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：2/22/202324传递函数的基本概念例2-6 求下图的传递函数：2/22/202325传递函数的基本概念 例2例2-6 求下图的传递函数（运算电路法）2/22/202326传递函数的表现形式传递函数的表现形式 传递函数的几种表达形式传递函数的几种表达形式：表示为有理分式形式：式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。传递系数2/22/202327传递函数的表现形式传递函数的表现形式写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：或其系数 由 或 求得；2/22/202328若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式传递函数的表现形式 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：2/22/202329 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：可调电位器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：2.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数2/22/202330积分环节积分环节 有一个0值极点。在图中极点用“”表示，零点用“”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j02/22/202331积分环节实例积分环节实例积分环节实例：RC图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节，为积分环节。电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组2/22/202332（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面惯性环节惯性环节2/22/202333R2C-+R1而RC两个实例：惯性环节实例惯性环节实例2/22/202334振荡环节振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当 时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：2/22/202335振荡环节分析振荡环节分析y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图若 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设输入为：则 2/22/202336微分环节微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：相应的传递函数为：分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点若(）在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。2/22/202337式中：y(t)x(t)R1R2C实例微分环节实例微分环节实例2/22/202338延迟环节延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)t2/22/202339（七）其他环节：还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节其他环节2/22/202340定义：定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作F(s)象函数，f(t)原函数。记 为拉氏反变换。复习拉氏变换复习拉氏变换复习拉氏变换复习拉氏变换2/22/202341线性性质：微分定理：积分定理：（设初值为零）时滞定理：初值定理：复习拉氏变换复习拉氏变换性质：性质：2/22/202342终值定理：常用函数的拉氏变换：常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。复习拉氏变换复习拉氏变换2/22/202343二二.拉氏反变换拉氏反变换 1.定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算称为的运算称为拉氏反变换。记为拉氏反变换。记为 。由。由F(s)可可按下式求出按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能必须是一种能直接查到的原函数的形式。直接查到的原函数的形式。2/22/202344 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。的拉氏变换在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：2/22/202345例例3.2/22/2023462.拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法（1）情况一）情况一:F(s)有不同极点有不同极点,这时这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和总能展开成如下简单的部分分式之和2/22/2023472/22/2023482/22/202349
