高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题练习.doc

1 / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习专题一函数与导数不精选高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第等式第 4 4 讲导数与函数的切线及函数零点问题练习讲导数与函数的切线及函数零点问题练习一、选择题1.曲线 yxex1 在点(0，1)处的切线方程是( )A.xy10 B.2xy10C.xy10 D.x2y20解析 yexxex(x1)ex，y|x01，所求切线方程为：xy10.答案 A2.(2016·南昌模拟)曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线与直线y0 和 yx 围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.1解析 因为 y2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率 k2，切线方程为 y2x2，该直线与直线 y0 和 yx 围成的三角形如图所示，其中直线 y2x2 与 yx 的交点为 A，所以三角形面积S×1×.答案 A3.(2016·洛阳模拟)曲线 yxln x 在点(e，e)处的切线与直线2 / 8xay1 垂直，则实数 a 的值为( )A.2 B.2 C. D.1 2解析 依题意得 y1ln x，y|xe1ln e2，所以×21，所以 a2，故选 A.答案 A4.已知 yf(x)为 R 上的可导函数，当 x0 时，f(x)0，若g(x)f(x)，则函数 g(x)的零点个数为( )A.1 B.2 C.0 D.0 或 2解析 令 h(x)xf(x)，因为当 x0 时，0，所以0，因此当x0 时，h(x)0，当 x0 时，h(x)0，又 h(0)0，易知当 x0 时，h(x)0，又 g(x)，所以 g(x)0，故函数 g(x)的零点个数为 0.答案 C5.已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)exx2 的零点为 a，函数 g(x)ln xx2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是( )A.f(a)f(1)f(b) B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a)解析 由题意，知 f(x)ex10 恒成立，所以函数 f(x)在 R上是单调递增的，而 f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函数 f(x)的零点 a(0，1)；由题意，3 / 8知 g(x)10，所以 g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，g(2)ln 222ln 20，所以函数 g(x)的零点 b(1，2).综上，可得 0a1b2.因为 f(x)在 R 上是单调递增的，所以 f(a)f(1)f(b).答案 A二、填空题6.(2016·全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.解析 设 x0，则x0，f(x)ln x3x，又 f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为 y2x1.答案 2xy107.函数 f(x)x3x23x1 的图象与 x 轴的交点个数是_.解析 f(x)x22x3(x1)(x3)，函数 f(x)在(，1)和(3，)上是增函数，在(1，3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0 知函数f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3.答案 38.(2016·济南模拟)关于 x 的方程 x33x2a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是_.4 / 8解析 由题意知使函数 f(x)x33x2a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，又 f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 x10，x22.当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，所以当 x0 时，f(x)取得极大值，即 f(x)极大值f(0)a；当 x2 时，f(x)取得极小值，即 f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案 (4，0)三、解答题9.(2016·武汉模拟)已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)axm 在上有两个零点，求实数 m 的取值范围.解 (1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则 g(x)2x.因为 x，所以当 g(x)0 时，x1.当x1 时，g(x)0，此时函数单调递增；当 1xe 时，g(x)0，此时函数单调递减.故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1.5 / 8又 gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则 g(e)g，所以 g(x)在上的最小值是 g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得 1m2，所以实数 m 的取值范围是.10.(2016·平顶山二调)已知函数 f(x)ln xax，对任意的x(0，)，满足 f(x)f0，其中 a，b 为常数.(1)若 f(x)的图象在 x1 处的切线经过点(0，5)，求 a 的值；(2)已知 0a1，求证：f0；(3)当 f(x)存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围.(1)解 在 f(x)f0 中，取 x1，得 f(1)0，又 f(1)ln 1abab0，所以 ba.从而 f(x)ln xax，f(x)a，f(1)12a.又 f(1)5，所以 12a5，a2.(2)证明 fln2ln aln 2.令 g(x)2ln xln 2，则 g(x).所以 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减，故 x(0，1)时，g(x)g(1)2ln 21ln e0，所以 0a1 时，f0.6 / 8(3)解 f(x)a.当 a0 时，在(0，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)至多只有一个零点，不合题意；当 a时，在(0，)上，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)至多只有一个零点，不合题意；当 0a时，令 f(x)0，得 x11，x21.此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减，所以 f(x)至多有三个零点.因为 f(x)在(x1，1)上单调递增，所以 f(x1)f(1)0.又因为 f0，所以x0，使得 f(x0)0.又 ff(x0)0，f(1)0，所以 f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，.综上所述，当 f(x)存在三个不同的零点时，a 的取值范围是.11.已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数.(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.(1)解 由 f(x)exax2bx1，有 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.7 / 8当 x0，1时，g(x)12a，e2a，当 a时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 a时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减.因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当a时，令 g(x)0，得 xln (2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增.于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 a时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)证明 设 x0 为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知 f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1，同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2，所以 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点.由(1)知，当 a时，g(x)在0，1上单调递增，8 / 8故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.当 a时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.所以a.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有 g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe12，有 g(0)ae20，g(1)1a0，解得 e2a1.所以函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.