经济数学基础《线性代数》第二章-矩阵.ppt
经济数学基础线性代数第二章 矩 阵矩阵的运算矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩 阵的秩和逆矩阵 本章难点：本章难点：求逆矩阵本章重点：本章重点：一、矩阵的概念一、矩阵的概念（一）矩阵的概念（一）矩阵的概念称为：称为：mn矩阵矩阵矩阵表示一张一张数表数表；行列式是一个算式算式，即是一个数值数值。（二）几类基本的矩阵（二）几类基本的矩阵1、行矩阵、行矩阵2、列矩阵、列矩阵矩阵只有一行，即矩阵只有一列，即3、n阶方阵（阶方阵（n阶矩阵）阶矩阵）矩阵的行和列数相同，即主对角线主对角线次对角线次对角线4、零矩阵、零矩阵所有元素都为0的mn矩阵5、同形矩阵、同形矩阵两个矩阵的行数相等行数相等、列列数也相等数也相等类似类似实数实数0.是同形矩阵。6、负矩阵、负矩阵在它的每个元素前添上一个负号，就得到A的负矩阵的负矩阵类似实数类似实数里的里的负数负数.7、单位矩阵、单位矩阵主对角线上的元素都是1，其余元素都是0的n阶方阵。在矩阵运算中的作用，类似实数实数1在数字运算中的作用.二、矩阵的运算二、矩阵的运算（一）矩阵的相等（一）矩阵的相等两个矩阵A和B相等（A=B），要满足：1、A和B是同形矩阵同形矩阵，即行、列数分别相等；2、对应元素相等元素相等。例如：已知A=B，其中52（二）矩阵的加（减）法（二）矩阵的加（减）法条件：A与B是同形矩阵同形矩阵.即：对应元素对应元素相加减相加减（三）矩阵的数乘（三）矩阵的数乘即：与每个与每个元素相乘元素相乘数量矩阵数量矩阵数k乘单位矩阵，即例例1：解：解：（四）矩阵的乘法（四）矩阵的乘法(1)左边A的列数的列数与右边B的行数的行数相同(2)AB的行数等于行数等于左边A的行数，列数等于的行数，列数等于 右边B的列数。的列数。(3)行乘列法则行乘列法则：即左边A的行的行与右边B的列的列 上的元素对应相乘。1、行矩阵列矩阵n列n行行矩阵列矩阵一个数2、矩阵矩阵两个矩阵相乘，要满足条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。例例4：则：则：对于AB,AC,BC，都不能进行乘法而BA,CB就可以进行乘法。两个矩阵相乘，要满足条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。例例1：解：解：矩阵乘法的特别之处：矩阵乘法的特别之处：（1）乘法的交换律不成立交换律不成立。即有：ABBA。若AB=BA，则称A与与B可交换可交换。（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵非零矩阵的乘积可能为零矩阵，即有：AO，BO，但ABO。（3）乘法的消去律不成立消去律不成立。即有：AO，且AB=AC，但不能推出 BC。由此，可看出单位矩阵I在矩阵运算中的作用就是类似数1在实数运算中的作用。练习练习2.3 计算矩阵计算矩阵【解答】【解答】由（1）（2）两题又验证，矩阵乘法的交换律不成立交换律不成立。即有：ABBA。验证了：两个非零矩阵的乘积非零矩阵的乘积可能为可能为零矩阵零矩阵验证了：乘法的交换律不成立交换律不成立（五）矩阵的转置（五）矩阵的转置将矩阵A的行与列依次互换位置而得。矩阵的转置的性质：【例【例2】【解】【解】若A为34矩阵，B为25矩阵，其乘积有意义，则C为_矩阵。【例【例2续】续】【解】【解】若A为34矩阵，B为25矩阵，则乘积是_矩阵。【例【例3】【解】【解】【例【例4】【解】【解】利用（2）中的AB来求三、几类特殊矩阵三、几类特殊矩阵零矩阵零矩阵单位矩阵单位矩阵数量矩阵数量矩阵方阵方阵（一）对角矩阵（一）对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵方阵对角矩阵的性质对角矩阵的性质（1）对角矩阵的和和与差差仍是对角矩阵（2）数与对角矩阵的乘积乘积仍是对角矩阵（二）三角矩阵（二）三角矩阵主对角线下方的元素全为0的方阵称为上上三角矩阵三角矩阵主对角线上方的元素全为0的方阵称为下下三角矩阵三角矩阵上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵类似对角矩阵，可得：两个同阶上（下）三角矩阵的和、数乘、乘积和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵。注意：注意：上（下）三角矩阵的转置转置为下（上）三角矩阵。（三）（三）对称矩阵对称矩阵（1）对称矩阵一定是方阵方阵；（2）关于主对角线对称的位置上的元素必定 相等，即例如：都是对称矩阵都不是对称矩阵【问】对角矩阵是否对称矩阵？【答案】是类似对角矩阵，可得：两个同阶对称矩阵的和、差、数乘和、差、数乘仍为对称矩阵。注意：注意：两个同阶对称矩阵的乘积乘积不一定是对称矩阵。（见课本66页例子）【问】对称矩阵的转置是否对称矩阵？【答】是。【例【例5】当a=_，b=_时，矩阵是对称矩阵。【解】由对称矩阵的定义，可知：矩阵A是对称矩阵。【例【例6】试证：对任意方阵A，都有是对称方阵。证明：根据对称矩阵的定义只需证明关键：利用定义来证明关键：利用定义来证明例例4：试证:设A、B都是n阶矩阵，且A为 对称矩阵，则 是对称 矩阵。证明：证明：根据对称矩阵的定义只需证明练习P621、题、题2：（：（1）（）（3）（）（4）2、题、题33、题、题4
