高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程学案.doc

1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 3 3 讲圆的方程学案讲圆的方程学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 圆的定义、方程1.在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2.确定一个圆的基本要素是：圆心和半径3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)4.圆的一般方程(1)一般方程：x2y2DxEyF0；(2)方程表示圆的充要条件为：D2E24F>0；(3)圆心坐标，半径 r.考点 2 点与圆的位置关系1.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系2.三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)，d 为圆心到点 M 的距离(1)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(2)(x0a)2(y0b)2>r2点在圆外d>r；(3)(x0a)2(y0b)20)，其中 a，b 为定值，r 是参数；(2)半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r>0)，其中r 为定值，a，b 是参数3.圆的直径端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆( )(3)方程 x22axy20 一定表示圆( )(4)方程 x2Bxyy2DxEyF0 表示圆的充要条件是B0，D2E24F>0.( )(5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则xyDx0Ey0F>0.( )答案 (1) (2)× (3)× (4) (5)2.教材习题改编圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是( )A.(2,3) B(2,3)C.(2，3) D(2，3)答案 D解析 由(x2)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3).3.圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )A.x2y210y0 Bx2y210y0C.x2y210x0 Dx2y210x03 / 15答案 B解析 设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得 b5.圆的方程为 x2y210y0.4.2016·北京高考圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为( )A.1 B2 C. D22答案 C解析 由题知圆心坐标为(1,0)，将直线 yx3 化成一般形式为 xy30，故圆心到直线的距离 d.故选 C.5.课本改编方程 x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是( )A.1C.m1答案 B解析 由(4m)244×5m>0，得 m1.6.已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为_答案 (x2)2y210解析 依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x2)2y210.板块二 典例探究·考向突破考向 确定圆的方程 例 1 (1)2018·承德模拟圆心在直线 x2y30 上，且过4 / 15点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_答案 (x1)2(y2)210解析 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x2y30 上，所以可设点 C 的坐标为(2a3，a)又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|CB|，即，解得 a2，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r.所求圆的方程为(x1)2(y2)210.(2)2016·天津高考已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M(0，)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆 C 的方程为_答案 (x2)2y29解析 设圆 C 的方程为(xa)2y2r2(a>0)，由题意可得解得所以圆 C 的方程为(x2)2y29.触类旁通1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；(2)根据所给条件，列出关于 D，E，F 或 a，b，r 的方程组；(3)解方程组，求出 D，E，F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程2.用几何法求圆的方程利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.5 / 15【变式训练 1】 2015·全国卷过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|( )A.2 B8 C4 D10答案 C解析 设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将点 A，B，C 代入，得解得Error!则圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y24y200，设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1，y2 是方程 y24y200 的两根，由根与系数的关系，得 y1y24，y1y220，故|MN|y1y2|4.考向 与圆有关的对称问题命题角度 1 两圆相互对称 例 2 圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为_答案 (x2)2y25解析 因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25 的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.命题角度 2 圆自身对称例 3 若圆(x1)2(y3)29 上的相异两点 P，Q 关于直线kx2y40 对称，则 k 的值为_答案 2解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线 kx2y40 过圆心，则k×(1)2×340，解得 k2.触类旁通6 / 15对称圆的半径不变，圆的对称问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题.考向 与圆有关的最值 命题角度 1 距离型最值例 4 2018·沈阳模拟已知 x，y 满足 x2y50，则(x1)2(y1)2 的最小值为( )A. B. C. D.105答案 A解析 (x1)2(y1)2 表示点 P(x，y)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可得点 P 在直线 l：x2y50 上，所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d，所以(x1)2(y1)2 的最小值为 d2.故选 A.命题角度 2 建立目标函数求最值问题例 5 已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m>0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90°，则 m 的最大值为( )A.7 B6 C5 D4答案 B解析 解法一：由(x3)2(y4)21，知圆上点 P(x0，y0)可化为Error!APB90°，即·0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos8sin2610sin()36，00)，7 / 15m|OP|OC|r，C(3,4)，r1，|OP|6，即 m6.故选 B.触类旁通与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考向 与圆有关的轨迹问题例 6 已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)在 RtPBQ 中，|PN|BN|.8 / 15设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.触类旁通与圆有关的轨迹问题的求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式注：本章第 8 讲有详细讲解.【变式训练 2】 全国卷已知点 P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为 4.设 M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知·0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为，故 l 的方程为 yx.9 / 15又|OM|OP|2，O 到 l 的距离为，|PM|，所以POM 的面积为.核心规律1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件 “选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算满分策略1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列 6圆与线性规划的交汇问题如果点 P 在平面区域上，点 Q 在圆 x2(y2)21 上，那么|PQ|的最小值为_解题视点 此类题目是线性规划与圆结合的问题，关键是画好区域理解问题的几何意义，运用数形结合思想解析 由点 P 在平面区域Error!Error!上，画出点 P 所在的平面区域，如图中阴影部分所示；由点 Q 在圆 x2(y2)21 上，再画出点 Q 所在的圆，如图所示10 / 15由题意得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到平面区域的最小距离减去半径长又圆心(0，2)到直线 x2y10 的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案 1答题启示 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.跟踪训练2016·四川高考设 p：实数 x，y 满足(x1)2(y1)22，q：实数 x，y 满足则 p 是 q 的( )A.必要不充分条件 B充分不必要条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出 p，q 表示的区域，其中M 及其内部为 p 表示的区域，ABC 及其内部(阴影部分)为 q 表示的区域，故 p 是 q 的必要不充分条件.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标1.2018·潍坊模拟若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为( )A.(x2)2(y±2)23 B(x2)2(y±)23C.(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24答案 D解析 因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x211 / 15上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b±，选 D.2.2018·东莞调研已知圆 C：x2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对称，则实数 m 的值为( )A.8 B4 C6 D无法确定答案 C解析 圆上存在关于直线 xy30 对称的两点，则xy30 过圆心，即30，m6.3.圆 x2y24x4y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的和是( )A.30 B18 C10 D52答案 C解析 由圆 x2y24x4y100 知圆心坐标为(2,2)，半径为 3，则圆上的点到直线 xy140 的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的和为 10.4.如果圆的方程为 x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(1,1) B(1，1)C.(1,0) D(0，1)答案 D解析 r，当 k0 时，r 最大，此时圆的方程为 x2(y1)21，所以圆心坐标为(0，1)，选 D.5.2018·临汾模拟若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A.(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21C.(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21答案 A解析 由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线 4x3y0 相切可得1，解得 a2，故圆的12 / 15标准方程为(x2)2(y1)21.6.方程|y|1表示的曲线是( )A.一个椭圆 B一个圆C.两个圆 D两个半圆答案 D解析 由题意知|y|10，则 y1 或 y1，当 y1 时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1,1)为圆心、1 为半径、直线 y1 上方的半圆；当 y1 时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1 为半径、直线 y1 下方的半圆所以方程|y|1表示的曲线是两个半圆，选 D.7.2018·济南模拟已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2与圆 C1 关于直线 xy10 对称，则圆 C2 的方程为( )A.(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C.(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21答案 B解析 设圆 C1 的圆心坐标 C1(1,1)关于直线 xy10 的对称点为(a，b)，依题意得解得所以圆 C2 的方程为(x2)2(y2)21.8.2016·浙江高考已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案 (2，4) 5解析 由题可得 a2a2，解得 a1 或 a2.当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为 5.当 a2 时，方程不表示圆.9.直线 x2y2k0 与 2x3yk0 的交点在圆 x2y29的外部，则 k 的取值范围是_13 / 15答案 (3 5)解析 由得Error!(4k)2(3k)2>9，即 25k2>9，解得 k>或 k0)关于直线 xy20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求·的最小值解 (1)设圆心 C(a，b)，由已知得 M(2，2)，则解得Error!则圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x，y)，得 x2y22，·(x1，y1)·(x2，y2)PQ15 / 15x2y2xy4xy2.令 xcos，ysin，·xy2(sincos)22sin2，所以·的最小值为4.5.2018·洛阳统考已知圆 S 经过点 A(7,8)和点 B(8,7)，圆心S 在直线 2xy40 上(1)求圆 S 的方程；(2)若直线 xym0 与圆 S 相交于 C，D 两点，若COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数 m 的取值范围解 (1)线段 AB 的中垂线方程为 yx，由得所以圆 S 的圆心为 S(4,4)，圆 S 的半径为|SA|5，故圆 S 的方程为(x4)2(y4)225.(2)由 xym0 变形得 yxm，代入圆 S 的方程，消去y 并整理得 2x22mxm28m70.令 (2m)28(m28m7)>0，得85<m<85.设 C，D 的横坐标分别为 x1，x2，则 x1x2m，x1x2.依题意，得·<0，即 x1x2(x1m)(x2m)<0，即m28m7<0，解得 1<m<7.故实数 m 的取值范围是m|85<m<85m|1<m<7m|1<m<7.