材料力学课件第七章 弯曲变形优秀PPT.ppt

材料力学课件第七材料力学课件第七章章 弯曲变形弯曲变形你现在浏览的是第一页，共55页7-1 7-1 概概 述述 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。常工作。一、工程实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题你现在浏览的是第二页，共55页 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。加工精度，甚至会出现废品。F FF F你现在浏览的是第三页，共55页 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出则会使小车行走困难，出现爬坡现象。现爬坡现象。P PP P你现在浏览的是第四页，共55页 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。车辆受到的冲击和振动作用。你现在浏览的是第五页，共55页二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念Fx xl lx xABl l描述截面上任一点的位移描述截面上任一点的位移:1 1、形心轴的线位移、形心轴的线位移 挠度挠度 v2 2、截面绕形心轴的角位移、截面绕形心轴的角位移 转角转角 你现在浏览的是第六页，共55页ABF二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念x xl lx xl lF 变弯的形心轴变弯的形心轴 挠曲线挠曲线F 挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程 挠曲线方程挠曲线方程F 忽略剪切变形忽略剪切变形 +梁的转角一般很小梁的转角一般很小 你现在浏览的是第七页，共55页7-2 7-2 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式由高等数学知识由高等数学知识 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 （推广到非纯弯推广到非纯弯）（纯弯）（纯弯）你现在浏览的是第八页，共55页正负号确定正负号确定确定坐标系确定坐标系:v 向上为正向上为正,逆时针为正逆时针为正.方程简化方程简化小变形时：小变形时：xv vxv v你现在浏览的是第九页，共55页7-3 7-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。你现在浏览的是第十页，共55页边界条件：边界条件：梁截面的已知位移条件梁截面的已知位移条件 连续条件：连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件连续连续:光滑光滑:ACDMFB$挠曲线在挠曲线在B、C点连续且光滑点连续且光滑你现在浏览的是第十一页，共55页 可动铰可动铰:自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件固定端固定端:连续条件：连续条件：边界条件：边界条件：ABCDFE 例例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件你现在浏览的是第十二页，共55页例例2 2：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q作用作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。l l你现在浏览的是第十三页，共55页l lx xx xy y解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：你现在浏览的是第十四页，共55页l lx xx xy y梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：你现在浏览的是第十五页，共55页例例3：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax。x xy yABPl lx x解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：你现在浏览的是第十六页，共55页x xy yABPl lx x梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：你现在浏览的是第十七页，共55页x xy y例例4：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力。试求图示简支梁在集中力 P 作用下的作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和和 vmax 。ABPCx x你现在浏览的是第十八页，共55页x xy y解：解：AC段段:ABPCx x由对称条件：由对称条件：由边界条件：由边界条件：得：得：得：得：你现在浏览的是第十九页，共55页x xy yABPCx xAC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：你现在浏览的是第二十页，共55页画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状ADBC+_Q+MF 根据弯矩图定凹凸性，根据弯矩图定凹凸性，F 弯矩图过零点处为拐点，弯矩图过零点处为拐点，F 支座限定支座处的位移。支座限定支座处的位移。凹凹凸凸凹凹直线直线大致形状大致形状你现在浏览的是第二十一页，共55页7-4 7-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。然后叠加。在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它载荷与它所引起的变形成线性关系。所引起的变形成线性关系。你现在浏览的是第二十二页，共55页MP例例例例5 5：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求：用叠加法求 vC、A、B。你现在浏览的是第二十三页，共55页PM你现在浏览的是第二十四页，共55页PM你现在浏览的是第二十五页，共55页例例6：若图示梁：若图示梁B 端的转角端的转角 B=0，则力偶矩，则力偶矩 M 等于多少？等于多少？PMABa aCa aMABCPABC解：解：你现在浏览的是第二十六页，共55页例例7:7:求图示外伸梁求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。点的挠度和转角。仅考虑仅考虑BC段变形段变形(刚化刚化AB,可可视视BC为悬臂梁为悬臂梁)ABC静定梁或刚架的任一横静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各截面的总位移，等于各梁段单独变形梁段单独变形(其余梁段刚其余梁段刚化化)在该截面引起的位在该截面引起的位移的代数和或矢量和移的代数和或矢量和ABC你现在浏览的是第二十七页，共55页ABCABC仅考虑仅考虑AB段变形段变形(刚化刚化BC)ABCqaqa2/2你现在浏览的是第二十八页，共55页例例8：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC，C。FABC你现在浏览的是第二十九页，共55页FABC刚化刚化AB段：段：ABCF仅考虑仅考虑 BC 段变形：段变形：刚化刚化BC段：段：F仅考虑仅考虑 AB 段变形：段变形：你现在浏览的是第三十页，共55页FABCABCFF你现在浏览的是第三十一页，共55页FABCEFABCEFABCEFABC对称性在变形分析中的应用对称性在变形分析中的应用F/2CFB例例9：已知：已知 E 为为常数，常数，I2=2I1，求求 WC，B。你现在浏览的是第三十二页，共55页例例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 反对称反对称,挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0,拐点拐点)对称对称,转角为转角为0qACBBACq/2ACq/2你现在浏览的是第三十三页，共55页反对称反对称,挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0,拐点拐点)ACq/2Cq/2你现在浏览的是第三十四页，共55页二、梁的刚度计算二、梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。常工作时的要求。你现在浏览的是第三十五页，共55页CL9TU40例例11：图示工字钢梁，：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，v=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷确定梁的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。Pz zI20aI20a你现在浏览的是第三十六页，共55页解：由刚度条件解：由刚度条件:因此满足强度要求因此满足强度要求你现在浏览的是第三十七页，共55页7-5 7-5 用变形比较法解静不定梁用变形比较法解静不定梁静不定度与多余约束静不定度与多余约束多余约束多余约束多余约束多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力多余反力多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度静不定度静不定度静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定6-36-3 =3 3 度静不定度静不定你现在浏览的是第三十八页，共55页相当系统：相当系统：受力与原静不受力与原静不定梁相同的静定梁，定梁相同的静定梁，相当相当系统的选择不是唯一的。系统的选择不是唯一的。相当系统相当系统1 1相当系统相当系统2 2相当系统相当系统qABAFBqABABMA你现在浏览的是第三十九页，共55页总结：分析方法与分析步骤总结：分析方法与分析步骤1 1、判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）；2 2、解除多余约束，建立相当系统；、解除多余约束，建立相当系统；3 3、列出多余约束处的变形协调条件、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件位移边界条件)；4 4、结合平衡方程，求多余支反力。结合平衡方程，求多余支反力。解除多余约束，代之以支反力；解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。方法：方法：方法：方法：步骤：步骤：步骤：步骤：你现在浏览的是第四十页，共55页AB静定基静定基:相当系统：相当系统：AB静定基与相当系统的选取：静定基与相当系统的选取：qABFBqABABMA你现在浏览的是第四十一页，共55页例例12：求图示梁的支反力。：求图示梁的支反力。qABFBqAB解：解：1.解除多余约束，解除多余约束，建立相当系统。建立相当系统。2.建立变形协调条件建立变形协调条件3.联立求解联立求解你现在浏览的是第四十二页，共55页qAB解解2：1.解除多余约束，解除多余约束，建立相当系统。建立相当系统。2.建立变形协调条件建立变形协调条件3.联立求解联立求解ABMA你现在浏览的是第四十三页，共55页例例13：为了提高悬臂梁：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加固。设加固。设二梁二梁EI相同，试求：相同，试求：(1)二梁接触处的压力；二梁接触处的压力；(2)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值；(3)加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。a aa aA AB BC CD DP P你现在浏览的是第四十四页，共55页A AB BC CD DP PF FD D解：解：(1)变形协调条件变形协调条件你现在浏览的是第四十五页，共55页解：解：(2)加固前后加固前后AB梁的最大弯矩梁的最大弯矩A AB BP PP PA AB BF FD D你现在浏览的是第四十六页，共55页解：解：(3)加固前后加固前后B点挠度点挠度A AB BP PP PA AB BF FD D你现在浏览的是第四十七页，共55页ABAB存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析你现在浏览的是第四十八页，共55页例例:直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁,支座支座 B 下沉下沉 ，maxmax=?=?AB解：解：你现在浏览的是第四十九页，共55页7-6 7-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施依据依据 对比强度问题对比强度问题 或或让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面与梁的合理强度设计相似点与梁的合理强度设计相似点 与与 的比较的比较合理安排约束与加载方式（分散载荷等）合理安排约束与加载方式（分散载荷等）你现在浏览的是第五十页，共55页合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式l lqqFq=F/l你现在浏览的是第五十一页，共55页（1 1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）强度是局部量，刚度是整体量（积分）.辅梁、等强度梁是合理强度设辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强须整体加强 小孔显著影响强度，但对刚度影响小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微甚微与梁的合理强度设计的不同点与梁的合理强度设计的不同点你现在浏览的是第五十二页，共55页(2)(2)强度与材料强度与材料 和和 相关相关,刚度与刚度与E 相关相关高强度钢一般不提高高强度钢一般不提高E钢与合金钢钢与合金钢:E=200 220GPa铝合金铝合金:E=70 72GPa(3)(3)刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感F你现在浏览的是第五十三页，共55页跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如例如 l 缩短缩短 20，max 将减少将减少 48.8%梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取F3max l 你现在浏览的是第五十四页，共55页你现在浏览的是第五十五页，共55页