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材料力学第四章扭转你现在浏览的是第一页，共89页同济大学航空航天与力学学院顾志荣第四章 扭转材料力学你现在浏览的是第二页，共89页第四章 扭转一 扭转的概念和实例二 外力偶矩、扭矩和扭矩图三 圆轴扭转时的强度计算四 圆轴扭转时的变形计算五 扭转超静定问题六 矩形截面杆的自由扭转七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第三页，共89页第四章 扭转一 扭转的概念和实例你现在浏览的是第四页，共89页第四章 扭转/一 扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件你现在浏览的是第五页，共89页传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴第四章 扭转/一 扭转的概念和实例你现在浏览的是第六页，共89页第四章 扭转/一 扭转的概念和实例mmmm你现在浏览的是第七页，共89页第四章 扭转/一 扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。你现在浏览的是第八页，共89页第四章 扭转二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第九页，共89页第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图1 外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系你现在浏览的是第十页，共89页第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图2 求扭转内力的方法截面法IIMn3 受扭圆轴横截面上的内力扭矩你现在浏览的是第十一页，共89页右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号规定：4 扭矩的符号规定右手螺旋法则mIImIIIIII你现在浏览的是第十二页，共89页第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图例题 已知圆轴受外力偶矩mA、mB、mC 作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。你现在浏览的是第十三页，共89页已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用，匀速转动。则用截面法求内力：用截面法求内力：11扭矩扭矩第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十四页，共89页截面截面2-22-2上的内力：上的内力：第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十五页，共89页（+）5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线扭矩图（-）扭矩图扭矩图第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十六页，共89页例题例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十七页，共89页ACBD经由经由A A、B B、C C、D D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为解：解：IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十八页，共89页IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：绘出扭矩图：第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第十九页，共89页ACBD（-）扭矩扭矩Mn-图图（+）（在（在CA段和段和AD段）段）IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第二十页，共89页将将A A、D D轮的位置更换，则轮的位置更换，则ACBD扭矩扭矩Mn-Mn-图图（-）（AD段）段）因此将A、D轮的位置更换不合理。IIIIIIIIIIII第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第二十一页，共89页课堂练习课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为图示圆轴中，各轮上的转矩分别为m mA A4kNm4kNm，m mB B10kN10kNm,mm,mC C6kN 6kN m m，试求，试求1 11 1截面和截面和2 22 2截面上的扭截面上的扭矩，并画扭矩图。矩，并画扭矩图。1122轮轮轴轴轴承轴承6KNm4KNm第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图你现在浏览的是第二十二页，共89页第四章 扭转三 圆轴扭转时的强度计算你现在浏览的是第二十三页，共89页第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算1 受扭圆轴横截面上的剪应力（1）公式推导的思路 应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程你现在浏览的是第二十四页，共89页MeMe平面假定变形几何1 受扭圆轴横截面上的剪应力（2）公式推导过程你现在浏览的是第二十五页，共89页dxMnMndxIp截面的极惯性矩截面的极惯性矩截面的极惯性矩截面的极惯性矩你现在浏览的是第二十六页，共89页dxTTdxIp截面的极惯性矩截面的极惯性矩截面的极惯性矩截面的极惯性矩你现在浏览的是第二十七页，共89页(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式你现在浏览的是第二十八页，共89页扭转截面系数扭转截面系数(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式:你现在浏览的是第二十九页，共89页实心圆截面实心圆截面你现在浏览的是第三十页，共89页空心圆截面你现在浏览的是第三十一页，共89页P1=14kW,P2=P P3=P1/2=7 kW/2=7 kWn n1=n2=120r/min=120r/minn3=n1 z3z1=1203612=360r/min例题例题 已知：已知：P P1 114kW,14kW,n n1 1=n n2 2=120r/min,=120r/min,z z1 1=36,=36,z z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,=70mm,d d 2 2=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.P=35mm.P2 2p p3 3p p1 12 2。求求:各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的最大切应力。解：解：第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算你现在浏览的是第三十二页，共89页 maxmax(HH)=)=22.69 MPa22.69 MPamm2 2WWp2p2 maxmax(C C)=)=21.98 MPa21.98 MPamm3 3WWp3p3 maxmax(E E)=)=mm1 1WWp1p1=16.54 MPa16.54 MPa第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算你现在浏览的是第三十三页，共89页2 受扭圆轴任意斜截面上的应力分析第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算铸铁铸铁低碳钢低碳钢铸铁试件受扭为什么沿铸铁试件受扭为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？你现在浏览的是第三十四页，共89页mmAAefef第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算你现在浏览的是第三十五页，共89页讨论:maxmin第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算你现在浏览的是第三十六页，共89页第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即：式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.你现在浏览的是第三十七页，共89页第四章 扭转四四 圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算你现在浏览的是第三十八页，共89页第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算1 1 扭转角扭转角 与剪切角与剪切角 mm你现在浏览的是第三十九页，共89页第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算2 2 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算 你现在浏览的是第四十页，共89页 如图所示阶梯轴。外力偶矩如图所示阶梯轴。外力偶矩m m1 10.8KNm0.8KNm，m m2 22.3KNm2.3KNm，m m3 31.5KNm1.5KNm，ABAB段的直径段的直径d d1 14cm4cm，BCBC段的直径段的直径d d2 27cm7cm。已知材料的剪切弹性模量。已知材料的剪切弹性模量G G80GPa80GPa，试计算，试计算ABAB和和ACAC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0mABC例题你现在浏览的是第四十一页，共89页 图示一空心传动轴，轮图示一空心传动轴，轮1 1为主动轮，力偶矩为主动轮，力偶矩m m1 19KNm9KNm，轮，轮2 2、轮、轮3 3、轮、轮4 4为从为从动轮动轮,力偶矩分别为力偶矩分别为m m2 24KNm4KNm，m m3 33.5KNm3.5KNm，m m4 41.5KNm1.5KNm。已知空心轴内外径。已知空心轴内外径之比之比d/Dd/D1/21/2，试设计此轴的外径，试设计此轴的外径D D，并求出全轴两端的相对扭转角，并求出全轴两端的相对扭转角2424。G G80GPa80GPa，60MPa60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例题你现在浏览的是第四十二页，共89页 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。单位长度阻力矩例题你现在浏览的是第四十三页，共89页 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动例题你现在浏览的是第四十四页，共89页第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:你现在浏览的是第四十五页，共89页试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴之重量。解：解：1.计算外力偶矩计算外力偶矩 画扭矩图。画扭矩图。例例例例1 1：钢制传动轴：钢制传动轴：钢制传动轴：钢制传动轴已知：n300（r.p.n），dD12，输入功率:NA360kW，输出功率:NBNC110kW，ND140kW；BCADmBmCmAmD70044456xoT/N.m3502你现在浏览的是第四十六页，共89页TN.mx350270044456危险截面：危险截面：AC段。段。2.选择实心圆轴直径选择实心圆轴直径 按强度条件按强度条件 按刚度条件按刚度条件你现在浏览的是第四十七页，共89页2.选择空心圆轴直径选择空心圆轴直径 按强度条件按强度条件 按刚度条件按刚度条件由此应选直径由此应选直径 D=11.6cm，dD25.8cm3.重量比重量比由此应选直径由此应选直径 你现在浏览的是第四十八页，共89页解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力例题例题2 2 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用4545号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mmt=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为M Mx x=1500 N.m,=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。已知已知 =60MPa=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？你现在浏览的是第四十九页，共89页所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，若此轴改为实心轴，而而式中式中解得：解得：你现在浏览的是第五十页，共89页实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。你现在浏览的是第五十一页，共89页采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律，根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用；从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比也比较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高；通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。你现在浏览的是第五十二页，共89页例题例题3 3 图示等截面圆轴，已知图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,d=90mm,l=50cm,。轴的材料为钢，。轴的材料为钢，G=80GPa,G=80GPa,求求（1 1）轴的最大剪应力；）轴的最大剪应力；（2 2）截面）截面B B和截面和截面C C的扭转角；的扭转角；（3 3）若要求）若要求BCBC段的单位扭转角与段的单位扭转角与ABAB段的相等，则在段的相等，则在BCBC段钻孔段钻孔 的孔径的孔径d d 应为多大？应为多大？AllBCd1122你现在浏览的是第五十三页，共89页AllBCd（+）（-）扭矩图扭矩图解解：(1)轴的最大剪应力轴的最大剪应力作扭矩图：作扭矩图：2211因此因此你现在浏览的是第五十四页，共89页AllBCd（2 2）扭转角）扭转角截面截面B：你现在浏览的是第五十五页，共89页截面截面C CAllBCd你现在浏览的是第五十六页，共89页（3 3）BCBC段孔径段孔径dd由由得解得：解得：AllBCd你现在浏览的是第五十七页，共89页例题4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。取微段作为研究对象。Mx(x)Mx(x)L-xtMx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：矩为：微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为AB你现在浏览的是第五十八页，共89页因此因此LtAB你现在浏览的是第五十九页，共89页第四章 扭转五 扭转超静定问题你现在浏览的是第六十页，共89页扭转超静定问题的解法：扭转超静定问题的解法：（1 1）建立静力平衡方程；）建立静力平衡方程；（2 2）由变形协调条件建立变形协调方程；）由变形协调条件建立变形协调方程；（3 3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；代入变形协调方程，得到补充方程；（4 4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。力偶或扭矩。你现在浏览的是第六十一页，共89页例题例题6 6 一两端固定的圆截面杆一两端固定的圆截面杆ABAB受力偶矩作用如图。要求受力偶矩作用如图。要求：1 1）作扭矩图；作扭矩图；2 2）若）若m=10KN.m,m=10KN.m,材料的材料的 =60MPa=60MPa，试选择此等直圆截面，试选择此等直圆截面杆直径。杆直径。MABClMDll你现在浏览的是第六十二页，共89页例题7 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？12Mn12解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系（2）变形协调条件）变形协调条件你现在浏览的是第六十三页，共89页（3 3）物理关系：）物理关系：代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程（4 4）补充方程与静力平衡方程联立，解得）补充方程与静力平衡方程联立，解得你现在浏览的是第六十四页，共89页（5 5）最大剪应力）最大剪应力杆杆1 1：管管2 2：你现在浏览的是第六十五页，共89页第四章 扭转六 矩形截面杆的自由扭转你现在浏览的是第六十六页，共89页自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力你现在浏览的是第六十七页，共89页矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向最大切应力 发生在长边中点T你现在浏览的是第六十八页，共89页分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。例题 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。你现在浏览的是第六十九页，共89页第四章 扭转七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十一页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十二页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十三页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十四页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十五页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十六页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十七页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十八页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第七十九页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十一页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十二页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十三页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十四页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十五页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十六页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十七页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十八页，共89页第四章 扭转/七 薄壁杆的自由扭转你现在浏览的是第八十九页，共89页