高考数学一轮复习第9章统计统计案例第2讲用样本估计总体学案.doc

1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 9 9 章统计统计章统计统计案例第案例第 2 2 讲用样本估计总体学案讲用样本估计总体学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 用样本的频率分布估计总体分布1作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)(2)决定组距与组数(3)将数据分组(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线3茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数考点 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1众数：一组数据中出现次数最多的数2中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数3平均数：，反映了一组数据的平均水平4标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s.5方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn 是样本数据，n 是样本容量，是样本平均数)2 / 16必会结论频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势( )(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论( )(3)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中( )(4)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了( )(5)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次( )答案 (1) (2)× (3)× (4) (5)×22017·芜湖模拟某市中心购物商场在“双 11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日 8 时至 22 时的销售额进行统计，以组距为 2 小时的频率分布直方图如图所示，已知 12 时至16 时的销售额为 90 万元，则 10 时至 12 时销售额为( )A.120 万元 B100 万元 C80 万元 D60 万元答案 D解析 由图可知 12 时至 16 时频率为 0.45，销售额 90 万元，10 时至 12 时频率为 0.3，销售额为×9060 万元故选 D.3如图是 2017 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )3 / 16A85,84 B84,85 C86,84 D84,86答案 A解析 由图可知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为 85，众数为 84.4课本改编在样本频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个长方形的面积和的，且样本容量为 140，则中间一组的频数为( )A28 B40 C56 D60答案 B解析 设中间一个小长方形面积为 x，其他 8 个长方形面积为x，因此 xx1，x.所以中间一组的频数为 140×40.故选 B.52015·湖北高考某电子商务公司对 10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的 a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_答案 (1)3 (2)6000解析 (1)由0.1×1.50.1×2.50.1×a0.1×2.00.1×0.80.1×0.21，解得 a3.(2)区间0.3,0.5)内的频率为 0.1×1.50.1×2.50.4，故0.5,0.9内的频率为 10.40.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.6×100006000.板块二 典例探究·考向突破考向 频率分布直方图的应用例 1 2016·山东高考某高校调查了 200 名学生每周的自习4 / 16时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A56 B60 C120 D140答案 D解析 由频率分布直方图知这 200 名学生每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为 1(0.020.10)×2.50.7，则这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 200×0.7140.故选 D.触类旁通应用频率分布直方图应注意的问题(1)频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，表示数据分布的规律(2)图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小(3)要把握一个基本公式：频率.【变式训练 1】 为了解某校高三学生联考的数学成绩情况，从该校参加联考学生的数学成绩中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为12863，第五组的频数为 6，则样本容量为_答案 40解析 因为第一组至第五组的频率之比为 12863，所以可设第一组至第五组的频率分别为 k,2k,8k,6k,3k，又频率之和为 1，所以 k2k8k6k3k1，解得 k0.05，所以第五组的频率为 3×0.050.15，又第五组的频数为 6，所以样本容量为40.考向 茎叶图的应用例 2 2017·山东高考如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组5 / 16各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为( )A3,5 B5,5 C3,7 D5,7答案 A解析 甲组数据的中位数为 65，由甲、乙两组数据的中位数相等得 y5.又甲、乙两组数据的平均值相等，×(5665627470x)×(5961676578)，x3.故选 A.触类旁通茎叶图的绘制及应用(1)一般制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎” ，个位数字作为“叶” ，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列出(2)估计数字特征，给定两组数据的茎叶图， “重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小【变式训练 2】 2018·长沙模拟下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( )A15 名女生成绩的平均分为 78B17 名男生成绩的平均分为 77C女生成绩和男生成绩的中位数分别为 82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重答案 C解析 15 名女生成绩的平均分为×(909380808282838385707173756657)78，A 正确；17 名男生成绩的平均分为×(93939680828386868871747562626 / 16685357)77，故 B 正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为 80，C 错误考向 数字特征的应用命题角度 1 样本数字特征与直方图交汇例 3 2018·益阳模拟为了了解某校九年级 1600 名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试 1 分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25B该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5C该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约为320D该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为32答案 D解析 由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是 26.25；众数是最高矩形的中间值 27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过 30 的频率为 0.2，所以估计 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数为 320；1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的频率为 0.1，所以估计 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数为 160.故 D 错命题角度 2 样本的数字特征与茎叶图例 4 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为_答案 36 7解析 由图可知去掉的两个数是 87,99，所以7 / 168790×291×29490x91×7，x4.s2(8791)2(9091)2×2(9191)2×2(9491)2×2.命题角度 3 样本的数字特征与优化决策问题例 5 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30 min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定解 (1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样(2)茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：x1(10210199981039899)100，方差：s(102100)2(101100)2(99100)2.乙车间：平均值：x2(110115908575115110)100，方差：s(110100)2(115100)2(110100)2.x1x2，s0.5，而前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.48s，故甲更稳定10某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100则(1)图中的 x_；(2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，则该校 600 名新生中估计有_名学生可以申请住宿答案 (1)0.0125 (2)72解析 x 等于该组的频率除以组距 20.由频率分布直方图知20x120×(0.0250.00650.0030.003)，解得 x0.0125.上学时间不少于 1 小时的学生频率为 0.12，因此估计有0.12×60072(名)学生可以申请住宿B 级 知能提升1为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 135，第 2 个小组的频数为 15，则被抽查的美术生的人数是( )A35 B48 C60 D7514 / 16答案 C解析 设被抽查的美术生的人数为 n，因为后 2 个小组的频率之和为(0.03750.0125)×50.25，所以前 3 个小组的频率之和为0.75.又前 3 个小组的频率之比为 135，第 2 个小组的频数为15，所以前 3 个小组的频数分别为 5,15,25，所以 n60.22015·安徽高考若样本数据 x1，x2，x10 的标准差为8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准差为( )A8 B15 C16 D32答案 C解析 已知样本数据 x1，x2，x10 的标准差为 s8，则s264，数据 2x11,2x21，2x101 的方差为22s222×64，所以其标准差为2×816.3.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各 5 名学生的数学竞赛成绩(7099 分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a_；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是_答案 5 甲组解析 由题意可知89，解得 a5.因为7685899897 5s×(142109262)，s×(1324209282)，所以 s<s，故成绩相对整齐的是甲组42018·南宁模拟某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期 10 次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由；(2)若从甲、乙两人 90 分以上的成绩中各随机抽取 1 次，求抽到的 2 次成绩均大于 95 分的概率解 (1)由茎叶图可知，甲的平均成绩，甲89，乙的平均成绩乙x15 / 1689，甲、乙的平均成绩相75778588898995969799 10等又甲成绩的方差 s(7989)2(8489)2(8589)2(8789)2(8789)2(8889)2(9389)2(9489)2(9689)2(9789)230.4，乙成绩的方差 s(7589)2(7789)2(8589)2(8889)2(8989)2(8989)2(9589)2(9689)2(9789)2(9989)260.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适(2)从甲、乙两人 90 分以上的成绩中各随机抽取 1 次的不同结果有(93,95)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(94,95)，(94,96)，(94,97)，(94,99)，(96,95)，(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,95)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共 16 种记“抽到的 2 次成绩均大于 95 分”为事件 A，则事件 A 的结果有(96,96)，(96,97)，(96,99)，(97,96)，(97,97)，(97,99)，共6 种因此抽到的 2 次成绩均大于 95 分的概率 P(A).52017·云南统一检测某校 1200 名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为 100 分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200 人的数学成绩中随机抽取 200 人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分0,20)30.0151620,40)ab32.140,60)250.1255560,80)c0.57480,100620.3188 (1)求 a、b、c 的值；16 / 16(2)如果从这 1200 名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率 P(注：60 分及 60 分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分解 (1)由题意可得，b1(0.0150.1250.50.31)0.05，a200×0.0510，c200×0.5100.(2)根据已知，在抽出的 200 人的数学成绩中，及格的有 162人P0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为73，x这次数学测验的年级平均分大约为 73 分