最优化理论与方法习题.pptx

二次型二次型n个变量的二次齐次多项式称为一个n元二次型,简称二次型三元二次型第1页/共27页二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示 令 因为 二次型可以写成第2页/共27页系数排列成一个矩阵二次型矩阵因为 A是一个对称矩阵.二次型矩阵都是对称矩阵第3页/共27页令二次型就可以用矩阵的乘积表示出来第4页/共27页即为 第5页/共27页 二次型 如果对于任意一组不全为零的实数 都有 就称为正定的正定的.A是一个实对称矩阵,如果 实二次型 是正定的,则A称为正定矩阵.第6页/共27页 设 是一个实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数 ,都有 就称 是负定的.如果对于任意一组实数 ,都有 ,就称 是半正定的.第7页/共27页 如果对于任意一组实数 ,都有 ,就称 是半负定的.如果 即不是半正定的,也不是半负定的,就称它是不定的.第8页/共27页设A是实对称矩阵,如果二次型 是负定的,就称A是负定的；如果 是半正定的或半负定的,就称A是半正定的或半负定的.第9页/共27页二次函数二次函数二次函数其中在代数学中将特殊的二次函数 称为二次型第10页/共27页Hesse矩阵矩阵 设 所有的二阶导数都存在,那么f 的Hesse矩阵即 第11页/共27页例求目标函数的梯度和Hesse矩阵解:因为第12页/共27页又因为所以即为Hesse矩阵第13页/共27页无约束函数极值的充分条件 若点x*满足 以及 是正定(负定)的，则x*是f(x)的一个严格的局部最小(大)点。例 求f(x1,x2)=2x128x1+2x224x2+20的极值点及极值解：先求平稳点平稳点为 x*2,1T Hesse矩阵为x*2,1T是f(x)的严格极小点，f(x*)=10 第14页/共27页例：利用极值条件解下列问题第15页/共27页利用极值条件解下列问题：第16页/共27页第17页/共27页设取点 ,验证 是f(x)在点 处的一个下降方向证明：所以 是f(x)在 处的一个下降方向 第18页/共27页第19页/共27页第20页/共27页第21页/共27页第22页/共27页例 考虑下列非线性规划问题检验以下各点是否为局部最优解第23页/共27页记目标函数和约束函数分别为f(x),g(x),h(x),他们在点x处的梯度分别是Lagrange函数是Lagrange函数关于x的Hessian矩阵是第24页/共27页第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页