材料力学截面几何性质.pptx

4、组合图形的形心与静矩、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心第1页/共13页 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例例4-2 求图示图形的形心。xx1150yCOy120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=0第2页/共13页1.极惯性矩：2.惯性矩：为图形对一点的极惯性矩；xydAxyr rO3.惯性积：为图形对x、y一对正交轴的惯性积；分别为图形对x、y轴的惯性矩；5.惯性矩与极惯性矩的关系：平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。4-2 4-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径4.惯性半径：第3页/共13页 解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 例例4-3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得第4页/共13页 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到I=Ix+Iy，得到例例4-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩I。dCxydr rr 解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为r r处作宽度为dr r的薄圆环，其面积dA=2prprdr r，则第5页/共13页一、平行移轴公式一、平行移轴公式1.公式推导2.平行移轴公式平行移轴公式 b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。3.注意：xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；4-3 4-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 二、组合图形的惯性矩：第6页/共13页OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：、，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy第7页/共13页一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：公式推导：2.转轴公式：转轴公式：3.注意：a a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a a为正。4-4 4-4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 第8页/共13页形心主惯性矩形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；主轴与x轴的夹角:由上式可求出相差90o的a a0，a a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴主轴(主惯性轴主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；形心主轴形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴第9页/共13页 与主轴方位的对应关系：求a a0时只取主值|2a a0|p p/2)，若IxIy，则由x轴转过a a0到达x0轴时，有 ；若IxIy，则 。注意，a a0为正值时应逆时针旋转。任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小：第10页/共13页12010101070例4-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0a a0图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯性矩大小第11页/共13页 例例4-8 求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1a a解：由于：，则同理，第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页