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第1页二阶线性微分方程的求解二阶线性微分方程的求解（一般形式）（一般形式）1.1.通解通解yh为齐次方程为齐次方程的解：的解：解为：解为：yh决定于决定于特征方程特征方程b2s2+b1s+b0=0的根的根s1和和s2.a)两个不相等实根两个不相等实根s1和和s2，解解:b)两个相等实根两个相等实根s，解解:yh=A1est+A2test c)两个共轭复根两个共轭复根s1,2=j,解解:yh=(A1cost+A2sint)etd)两个虚根两个虚根s1,2=j0,解解:yh=A1cos0t+A2sin0t2.2.特解特解yp为为：与激励：与激励x x具有相同形式的函数具有相同形式的函数 当当x x为直流激励时为直流激励时，yp=K（常数常数）3.A3.A的确定：的确定：由初始条件代入y=yh+yp决定第1页/共49页第2页1通解，齐次解 yh(t)(homoegeneous)2特解 yp (particular)形式与激励x(t)相同 输入函数 x(t)的形式特解 yp(t)的形式PcosbtK1sinbt+K2cosbtPKP0+P1t+P2t2K0+K1t+K2t2Pet (特征根,一阶)KetPet (=特征根,一阶)Ktet将将yp(t)代入非齐次微分方程代入非齐次微分方程,求得各系数求得各系数(K或或 K0、K1)第2页/共49页第3页1.1.RLCRLC串联电路串联电路:KVL:uR+uL+uC=uS图3-6-1+-+-+-+-uLuSuRuC可用可用-n构成的复平面中的点表示根复平面中的点表示根s1,s2第3页/共49页第4页方程解：方程解：uC(t)=uCh+uCp 特解特解 uCp=K K=US（直流）（直流）A1，A2由初始待定由初始待定两共轭复根第4页/共49页第5页RLC串联电路的固有频率和固有响应(过阻尼)s2 s1ResjIms0Ot1uC iLuCiLtm从物理意义上讲：从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗；电阻更大(R2 4L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到 t=tm 时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。+uCRLiC第5页/共49页第6页(临界阻尼)Ot1uC iLuCiLtms1 s2ResjIms0电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 4L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2=4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼(critically damped)。第6页/共49页第7页s1ResjIms0s2-d-dOt1uC iLuCiL欠阻尼无阻尼s1ResjIms0s20-00t1uC iLuCiL第7页/共49页第8页 当振幅从A从衰减到0.01A时，可认为振荡终止。OtuC(t)Ae t 包络线 Ae t 包络线周期 T=n2U0uC(t)=Ae t cos(nt+)设经历了N个振荡周期，时间为NT后，有e NT 0.01，NT=ln(100)=4.6，第8页/共49页第9页无阻尼：uC=A1cos 0t+A2sin 0t OtuC(t)U0周期=02A K=0，包络线Ae t 变成 A ，因此振荡信号就变成幅度恒定的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。谐振角频率：当电路等幅振荡时的角频率0 =1/LC，称为谐振(resonant)角频率，是电路的固有频率（s=j 0）。特点：特点：瞬时储能瞬时储能 w(t)=初始储能初始储能 w(0)第9页/共49页第10页例 1：已知：RLC 串联电路，R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,iL(0)=0，US=10V,求：uC(t),t 0解：第10页/共49页第11页+uR+-uL+-uci例例2：图示电路中，电路原先已充电：图示电路中，电路原先已充电，uc(0-)=6V,R=2.5,L=0.25H,C=0.25F,求开关闭合后的求开关闭合后的uc(t)，i(t)uc(0+)=uc(0-)=6V (给定)C解：开关闭合后，电路的微分方程为解：开关闭合后，电路的微分方程为初始条件初始条件:特征方程特征方程：LCs2+RCs+1=0,s2+10s+16=0 特征根特征根 s1=-2;s2=-8,通解：通解：uc(t)=A1e-2t+A2e-8t代入初始值得：代入初始值得：A1+A2=6;-2A1-8A2=0解得解得：A1=8;A2=-2 uc(t)=8e-2t-2e-8t V;图3-6-2(开路)第11页/共49页第12页2.GCL并联电路分析并联电路分析二阶微二阶微分方程分方程特征方程特征方程 LCs2+GLs+1=0+-isLCG+-uCiLiciGuL图3-6-3特征根特征根 衰减常数衰减常数谐振频率谐振频率有阻尼自然频率（对比对比RLC串串联电路联电路）+-+-+-+-uLuSuRuC对偶关系:串联并联,UsIs,RG,CL,LC LCs2+RCs+1=0固有频率固有频率或称或称 临界阻尼条件第12页/共49页第13页iL(t)的通解的通解iLh与与uC(t)的通解的通解uCh形式相同形式相同:(Y=iL,uC)即a)过阻尼:对比即b)临界阻尼:或(二重根)即c)欠阻尼:或(共轭复根)即 G=0,d)无阻尼:或 R=对比(共轭虚根)A1，A2 根据初始条件根据初始条件Y(0+)和和Y(0+)确定确定.特解特解Yp=K (K=Is,Us)完全解完全解Y=Yh+K 或对比对比R=0第13页/共49页第14页a)过阻尼:b)临界阻尼:c)欠阻尼:d)无阻尼:根据初始条件根据初始条件:1)RLC串联串联:uC(0+),iL(t)=iC(t)=2)GCL并联并联:iL(0+),uC(t)=uL(t)=确定确定A1，A2.初始条件:第14页/共49页第15页例例1 1：开关闭合已久，：开关闭合已久，t=0t=0时开关打开时开关打开，求求uc(t)，iL(t)+-7V+-uc100 FiL1 500 2H解法一解法一：t t 0 0，电路的微分方程为电路的微分方程为iL(0+)=iL(0-)=7A初始条件为初始条件为特征方程特征方程解得解得两个共轭复根两个共轭复根：s1=-10+j70;s2=-10-j70其其(通通)解为：解为：iL(t)=(A1cos70t+A2sin70t)e-10t代入公式，确定代入公式，确定A1=7,和和A2=1，最后得：，最后得：(t0)(t0)图3-6-5diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t)e-10t-10(A1cos70t+A2sin70t)e-10t第15页/共49页第16页例例1 1：开关闭合已久，：开关闭合已久，t=0t=0时开关打开时开关打开，求求uc(t)，iL(t)+-7V+-uc100 FiL1 500 2H解法二解法二：iL(0+)=iL(0-)=7A初始条件为初始条件为为欠阻尼为欠阻尼(通通)解解 iL(t)=(A1cosnt+A2sinnt)e-t)=(A1cos70t+A2sin70t)e-10t代入公式，确定代入公式，确定A1=7,和和A2=1，最后得：，最后得：(t0)(t0)图3-6-5diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t)e-10t-10(A1cos70t+A2sin70t)e-10t第16页/共49页第17页+-isLCG+-uCiLiciGuL例例3：uc(0-)=0,iL(0-)=0,G=210-3s,C=1F,L=1H,is=1A,当当t=0 t=0 时打开开关时打开开关,求求iL,uc,ic.解：电路方程为：特征方程为：解得：s1=s2=s=-103（相等的实根）初始值为：初始值为：iL(0+)=iL(0-)=0，代入得：代入得：A1+0=-1;-103A1+A2=0A1=-1;A2=-103图3-6-6选讲选讲第17页/共49页第18页 3.6 阶跃函数和 冲激函数激励是任意的情况时，如何求解电路问题？激励是任意的情况时，如何求解电路问题？任意波形的激励信号可由一系列任意波形的激励信号可由一系列相继延时相继延时的的阶跃或阶跃或冲激信号冲激信号叠加而成。叠加而成。0 23tf(t)0 23tf(t)阶跃信号阶跃信号叠加叠加 冲激信号冲激信号叠加叠加 取得越小，逼近程度越好取得越小，逼近程度越好第18页/共49页第19页1.单位阶跃函数 (t)：(t)=0 t 0(t t0)=0 t t0Ot1(a)Ot1(b)(a)单位阶跃函数 (b)延迟单位阶跃函数(t)(t t0)t0一 阶跃函数及其应用（一）阶跃函数的定义 (Step Function)2.延时的单位阶跃函数第19页/共49页第20页1.阶跃函数A(t)Ato(t)=1 t 00 t 00 t t00 t t00 t t01 t 0t0时时(t)=0(t)=0，故上式可写为：，故上式可写为：即为单位冲激响应。即为单位冲激响应。对线性时不变电路而言，对线性时不变电路而言，冲激响应是阶跃响应的一阶导数冲激响应是阶跃响应的一阶导数。当电路的阶跃响应求得后，其冲激响应只需求导即可。当电路的阶跃响应求得后，其冲激响应只需求导即可。第43页/共49页第44页当当 趋近于零时，函数可如下图：趋近于零时，函数可如下图：0 23tf(t)f(0)f()f(2)f(3)冲激包围的面积冲激包围的面积图3-5-32从阶跃函数和冲激函数的从阶跃函数和冲激函数的波形，可以看出，冲激函波形，可以看出，冲激函数可表达为阶跃函数的一数可表达为阶跃函数的一阶导数。阶导数。第44页/共49页第45页任意激励的时域响应任意激励x(t)表示为一系列冲激函数叠加,网络的单位冲激响应h(t)，则线性时不变网络的零状态响应y(t):卷积（参见P151）第45页/共49页第46页已知 uC1(0-)=US,uC2(0-)=0,求uC2(t)(t0)例解：设 iC(t)Q(t)(t=0)+Us+uc1+uc2t=0+uc1RC1C2iC由于：uC1(0+)=uC2(0+)因此：求：R(C1+C2)求uC2()：uC2()=US由三要素公式：其中 R(C1+C2)解得:第46页/共49页第47页已知 iL1(0-)=2A,iL2(0-)=3A,求iL1(t)(t0)例3选讲解：设 uL1(t)uL2(t)=(t)(t=0)+12Vt=0+9V63iL1iL23H0.75HL1L2由于：iL1(0+)=-iL2(0+)因此：（上2式消去）iL1(0+)=1A求：(L1+L2)/R=5/12求iL1()：iL1()=(12-9)/(6+3)=1/3 A由三要素公式：第47页/共49页第48页作业习题三固有频率：29 综合题:39，43阶跃函数与冲激函数:44(a)，45(1)，49第48页/共49页第49页感谢您的欣赏第49页/共49页
