直线与平面两平面之间相对位置.pptx

要求要求（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2掌握利用重影点判别投影可见性的方法。第1页/共71页（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。第2页/共71页5-1 直线与平面平行 两平 面平行一、直线与平面平行几几何何条条件件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。第3页/共71页一、直线与平面平行一、直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行第4页/共71页例题1 试判断直线AB是否平行于定平面 fgfg结论：直线AB不平行于定平面第5页/共71页例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面 baaffb第6页/共71页n a c b m abcmn例例3：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？第7页/共71页正平线正平线例例4：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 第8页/共71页二、平面与平面平行几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。第9页/共71页二、两平面平行二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行第10页/共71页例题1 试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行第11页/共71页例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk第12页/共71页例3试判断两已知平面 ABC和 DEFG 是否平行。（平行、不平行）ccabXabddeef fgg1122第13页/共71页例4试判断两已知平面 ABC和 DEFG 是否平行。（平行、不平行）Xeddeggf faabbcc若两若两投影面垂投影面垂直面直面相互平行，相互平行，则它们则它们具有积具有积聚性聚性的那组投的那组投影必相互平行。影必相互平行。第14页/共71页5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线直线与平面、平面与平面不平行则必相直线与平面、平面与平面不平行则必相交。交。直线与平面相交有交点，交点既在直线直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面上又在平面上，因而交点是直线与平面的的共有点共有点。两平面的交线是直线，它是。两平面的交线是直线，它是两个平面的两个平面的共有线共有线。求线面交点、面面交线的实质是求求线面交点、面面交线的实质是求共有共有点、共有线点、共有线的投影。的投影。第15页/共71页一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA第16页/共71页 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。第17页/共71页（1）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。第18页/共71页作图步骤作图步骤第19页/共71页判别可见性判别可见性第20页/共71页（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。第22页/共71页km(n)bm n c b a ac空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法第23页/共71页M二、平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。FKNL第24页/共71页 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面交线是两平面的共有线，的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有交线上的点都是两平面的共有点。点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。第25页/共71页一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。第26页/共71页二、一般位置平面与特殊位置平面相交二、一般位置平面与特殊位置平面相交第27页/共71页作图步骤作图步骤第28页/共71页判别可见性判别可见性第29页/共71页可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。第30页/共71页b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的即为两个共有点的正面投影，故正面投影，故m n 即即MN的的正面投影正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 第31页/共71页c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def的外面，说的外面，说明点明点N位于位于DEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于DEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交第32页/共71页三、直线与一般位置平面相交第33页/共71页 求作交线的步骤：1.含直线DE 作辅助平面 2.求辅助平面与平面ABC 的交线3.求交线与已知直线DE 的交点 为便于在投影图上求作交线应选特殊位置辅助平面。第34页/共71页空间分析空间分析以铅垂面为辅助平面作图第35页/共71页以铅垂面为辅助平面作图以铅垂面为辅助平面作图 1.含直线DE 作辅助 平面P2.求辅助平面P 与平 面ABC 的交线MN3.求交线MN 与已知 直线DE 的交点K第36页/共71页空间分析空间分析以正垂面为辅助平面作图第37页/共71页以正垂面为辅助平面作图以正垂面为辅助平面作图 1.含直线DE 作辅助 平面S2.求辅助平面S 与平 面ABC 的交线MN3.求交线MN 与已知 直线DE 的交点K第38页/共71页判别可见性判别可见性第39页/共71页四、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。第40页/共71页用直线与平面求交点的方法求两平面的交线用直线与平面求交点的方法求两平面的交线第41页/共71页用直线与平面求交点的方法求两平面的交线用直线与平面求交点的方法求两平面的交线第42页/共71页判别可见性判别可见性第43页/共71页例题 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。第44页/共71页 分析：过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH第45页/共71页作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H。3连接KH，KH即为所求。第46页/共71页用三面共点法求两平面的交线用三面共点法求两平面的交线第47页/共71页用三面共点法求两平面的交线用三面共点法求两平面的交线第48页/共71页5-3 直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直 第49页/共71页直线与平面垂直直线与平面垂直 直线与平面垂直，则该直线必垂直于平面上的任何直线。LK平面P 则：LK水平线AB LK正平线CD 第50页/共71页线面垂直定理线面垂直定理 定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于 属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必 垂直于属于该平面的正平线的正面投影。第51页/共71页 定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线 的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线 的正面投影，则直线必垂直于该平面。第52页/共71页例题例题 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkk第53页/共71页例题例题 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。efef结论：mn不垂直ef MN不垂直平面第54页/共71页两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD第55页/共71页两平面相垂直两平面不垂直 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。第56页/共71页g例题例题 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg第57页/共71页例题例题 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。ffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。第58页/共71页5-5-4 点、线、面综合题及其解法 解题的一般步骤解题的一般步骤 1)分析题意分析题意 主要是分析清楚主要是分析清楚已知条件已知条件和和欲求的结果欲求的结果，以及，以及其其应满足的条件应满足的条件。2)确定解题方法和步骤确定解题方法和步骤 在分析题意的基础上，确定解题方法，设想在分析题意的基础上，确定解题方法，设想解题的解题的空间步骤。空间步骤。这是这是解题的关键解题的关键。3)投影作图投影作图 这一步是将设想的解题步骤，逐步绘制在投影这一步是将设想的解题步骤，逐步绘制在投影图上，最后求出结果，完成作图。图上，最后求出结果，完成作图。第59页/共71页解题方法解题方法 1 综合分析法综合分析法 从已知条件出发从已知条件出发，根据作图的要求条件，根据作图的要求条件，逐步推理逐步推理，最后得到所要的结果。最后得到所要的结果。2 轨迹相交法轨迹相交法 它适用于有它适用于有两个两个或或多个作图条件多个作图条件的问题。单独考虑的问题。单独考虑每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得样所得各轨迹的交点即为所求的结果各轨迹的交点即为所求的结果。第60页/共71页4 变更问题法变更问题法 如右图：如右图：求两平面求两平面的夹角的夹角。这时可以。这时可以自自两平面外的任一点两平面外的任一点K向向两平面引垂线两平面引垂线KM、KN，再求出，再求出KM、KN间的间的夹角夹角，则其，则其补角补角即即为为要求的二面角要求的二面角。3 辅助作图法辅助作图法 辅助作图法是解画法几何题经常使用的方法，例如辅助作图法是解画法几何题经常使用的方法，例如在解在解决从属关系作图时决从属关系作图时要作辅助线，要作辅助线，在求公共元素在求公共元素（如交点、交如交点、交线）时线）时要作辅助面。要作辅助面。第61页/共71页6 投影投影变换变换法法 投影变换法也是解画法几何题的常投影变换法也是解画法几何题的常用方法。这种方法与上述几种方法相比用方法。这种方法与上述几种方法相比是属于是属于另一种类型另一种类型。5 反求法反求法 解题时，有时从正面推导不易得到结果，而根据解题时，有时从正面推导不易得到结果，而根据要求的结果，要求的结果，先在图外作出其投影图先在图外作出其投影图，加以分析而得，加以分析而得到解题方法，这种方法就是到解题方法，这种方法就是反求法反求法。第62页/共71页例试过点例试过点K K 作直线作直线KLKL，使其，使其同时垂直于两相错直线同时垂直于两相错直线ABAB、CDCD。分分析析：由由已已知知条条件件可可知知，所所要要求求的的直直线线KLKL，应应满满足足三三个个条条件件：KLKL过过K K 点点，KLAB KLAB 及及KLCD KLCD。因因要要求求KL同同时时垂垂直直于于AB和和CD，因因此此，KL一一定定垂垂直直于于AB和和CD共共同同平行的平面平行的平面P。第63页/共71页l lll第64页/共71页例已知等边三角形例已知等边三角形ABC的边的边AB的的V投影投影ab平行平行于于X 轴，及轴，及AC 边的边的H 投影投影ac，试完成该三角形的投试完成该三角形的投影影。第65页/共71页分析：分析：根据要作的是等根据要作的是等边三角形，且其一边边三角形，且其一边AB是水平线是水平线，先在旁边画出，先在旁边画出这样的等边三角形的正投这样的等边三角形的正投影图（右图），就可以发影图（右图），就可以发现，其现，其H 投影一定是等腰投影一定是等腰三角形三角形abc，且且acbc，而而ab即等边三角形即等边三角形ABC边边的实长。的实长。第66页/共71页b b第67页/共71页平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。于另一个平面上的一对相交直线。第68页/共71页相交问题相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。的投影特性画出交线的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。第69页/共71页若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。面投影。垂直问题垂直问题 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面垂直两平面垂直两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。平面。第70页/共71页感谢您的观看！第71页/共71页