用数学归纳法证明不等式选修.pptx

【核心扫描】1利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点2本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.第1页/共37页1 贝 努 利 不 等 式：设x 1，且x0，n为 大 于 1的 自 然 数，则 .2贝努利不等式的更一般形式：当为实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)；当为实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1)自学导引(1x)n1nx第2页/共37页1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证()An1 Bn2Cn3 Dn4解析由题意知n3，应验证n3.故选C.答案C基础自测第3页/共37页2对于正整数n，下列说法不正确的是 ()A3212n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析由贝努利不等式(1x)n1nx，(nN，x1)，当x2时，(12)n12n，故A正确当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确答案C第4页/共37页第5页/共37页解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A第6页/共37页第7页/共37页第8页/共37页题型一用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】设x1，x2，xn为实数，证明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.思维启迪 在nk成立证明nk1也成立时，注意应用绝对值不等式性质第9页/共37页证明(1)|x1x2|x1|x2|，n2时命题成立(2)设命题nk(k2)时成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，于是，当nk1时，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对于任意nN*命题都成立第10页/共37页规律方法 使用数学归纳法要完成两步第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练习，逐步掌握第11页/共37页【变式1】证明不等式|sin n|n|sin|(nN)证明(1)当n1时，上式左边|sin|右边，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即有|sin k|k|sin|.当nk1时，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin|sin kcos|cos ksin|sin k|sin|k|sin|sin|(k1)|sin|.即当nk1时不等式成立由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立第12页/共37页题型二用数学归纳法证明不等式【例2】在数列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求证an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)第13页/共37页思维启迪 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可第14页/共37页解(1)由an1an2n1得(an12n1)(an2n)1，因此an2n成等差数列(2)an2n(a12)(n1)n1，即an2nn1，bn2log2(an1n)2n.第15页/共37页第16页/共37页第17页/共37页规律方法 同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明第18页/共37页第19页/共37页第20页/共37页第21页/共37页题型三数学归纳法与数列的综合问题第22页/共37页思维启迪 由题意可得如下信息：an，bn，an1成等差数对任意n都成立n1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出通项公式，然后用数学归纳法证明之第二问列出式子发现用裂相法与放缩法即可证明比用数字归纳法简便第23页/共37页第24页/共37页第25页/共37页第26页/共37页规律方法 这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出，有时是根据条件从前n项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明第27页/共37页第28页/共37页第29页/共37页第30页/共37页方法技巧数学归纳法在不等式中的应用第31页/共37页思路分析(1)问关键利用anSnSn1(n2)解决；(2)问先求出bn的通项，再结合数学归纳法证明第32页/共37页第33页/共37页第34页/共37页第35页/共37页方法点评 本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识；考查数学归纳法证明不等式；考查分析问题、解决问题的能力.第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页