线性代数矩阵特征值.pptx
一、向量内积 定义45(向量的内积)设a(a1,a2,an)T b(b1,b2,bn)T是Rn中的两个向量向量a和b的内积(记为aTb)定义为 内积的性质 (1)aTbbTa (2)(ka)TbkaTb (3)(ab)TcaTcb Tc (4)aTa0 当且仅当ao时 有aTao 其中a b c为Rn中的任意向量第1页/共23页定义46(向量的长度)设a(a1,a2,an)T是Rn中的向量 向量a的长度(记为|a|)定义为 例如 在R2中 向量a(3,4)T的长度为 说明 向量长度也称为向量范数 说明 不难看出 在R2中向量a的长度就是坐标平面上对应的点到原点的距离 第2页/共23页说明 定义46(向量的长度)设a(a1,a2,an)T是Rn中的向量 向量a的长度(记为|a|)定义为向量长度的性质 (1)|a|0 当且仅当ao时 有|a|0 (2)|ka|k|a|(k为实数)(3)对任意向量a b 有|aTb|a|b|如果a(a1,a2,an)T b(b1,b2,bn)T 按性质(3)有 第3页/共23页定义46(向量的长度)设a(a1,a2,an)T是Rn中的向量 向量a的长度(记为|a|)定义为向量长度的性质 (1)|a|0 当且仅当ao时 有|a|0 (2)|ka|k|a|(k为实数)(3)对任意向量a b 有|aTb|a|b|单位向量 长度为1的向量称为单位向量 第4页/共23页举例定义47(向量的正交性)如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与b互相正交(垂直)定义48(正交向量组)如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)则称该向量组为正交向量组 零向量与任意向量的内积为零 因此零向量与任意向量正交 二、正交向量组第5页/共23页举例 Rn中的初始单位向量组e1 e2 en 是两两正交的 eiTej0(ij)该向量组为正交向量组二、正交向量组定义47(向量的正交性)如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与b互相正交(垂直)定义48(正交向量组)如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)则称该向量组为正交向量组 定理48 Rn中的正交向量组线性无关 第6页/共23页施密特正交化方法 对于Rn中的线性无关向量组a1 a2 as 令 b1a1 可以验证 向量组b1 b2 bs是正交向量组 并且与向量组a1 a2 as可以相互线性表示 第7页/共23页 例3 设线性无关的向量组a1(1,1,1,1)T a2(3,3,1,1)T a3(2,0,6,8)T 试将a1 a2 a3正交化 利用施密特征值正交化方法 令 解 b1a1(1,1,1,1)T 向量组b1 b2 b3是正交向量组 第8页/共23页举例 定义49(正交矩阵)设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵 单位矩阵I为正交矩阵 平面解析几何中 两直角坐标系间的坐标变换矩阵是正交矩阵 正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵 三、正交矩阵第9页/共23页 三、正交矩阵定义49(正交矩阵)设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵 正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵 定理49 设Q为n阶实矩阵 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组 第10页/共23页 任意的n阶矩阵不一定能与对角矩阵相似 然而 实对称矩阵却一定能与对角矩阵相似 其特征值、特征向量具有许多特殊的性质 四、实对称矩阵的特征值和特征向量第11页/共23页四、实对称矩阵的特征值和特征向量定理410 实对称矩阵的特征值都是实数 定理411 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的 定理412 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使得Q1AQ为对角矩阵 这是因为 对角矩阵A有n个线性无关的特征向量 如果利用施密特正交化方法把A的每个特征值对应的线性无关的特征向量正交化 再单位化 则以这些单位正交化的特征向量为列向量的矩阵Q是正交矩阵 且Q 1AQ为对角矩阵 第12页/共23页提示 使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)(2)(5)得特征值11 22 35 解方程(IA)xo第13页/共23页提示 使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)(2)(5)得特征值11 22 35 得对应于11的特征向量a1(2,2,1)T 解方程(IA)xo 解方程(2IA)xo第14页/共23页提示 使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)(2)(5)得特征值11 22 35 得对应于11的特征向量a1(2,2,1)T 解方程(IA)xo得对应于22的特征向量a2(2,1,2)T 解方程(2IA)xo 解方程(5IA)xo第15页/共23页提示 使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)(2)(5)得特征值11 22 35 得对应于11的特征向量a1(2,2,1)T 解方程(IA)xo得对应于22的特征向量a2(2,1,2)T 解方程(2IA)xo得对应于35的特征向量a3(1,2,2)T 解方程(5IA)xo第16页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)(2)(5)得特征值11 22 35 得对应于11的特征向量a1(2,2,1)T 解方程(IA)xo得对应于22的特征向量a2(2,1,2)T 解方程(2IA)xo得对应于35的特征向量a3(1,2,2)T 解方程(5IA)xo 将a1 a2 a3单位化 得 令Q(b1,b2,b3)则 Q1AQQTAQ diag(1,2,5)第17页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)2(10)得特征值121 310 解方程(IA)xo提示 第18页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)2(10)得特征值121 310 得对应于121的特征向量 解方程(IA)xo提示 a1(2,1,0)T a2(2,0,1)T 先用施密特正交化方法把a1 a2正交化第19页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)2(10)得特征值121 310 得对应于121的特征向量 解方程(IA)xo提示 a1(2,1,0)T a2(2,0,1)T 然后再单位化 得 先用施密特正交化方法把a1 a2正交化b1a1(2,1,0)T 解方程(10IA)xo第20页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)2(10)得特征值121 310 得对应于121的特征向量 解方程(IA)xoa1(2,1,0)T a2(2,0,1)T 然后再单位化 得 先用施密特正交化方法把a1 a2正交化得对应于3的特征向量a3(1,2,2)T 解方程(10IA)xo提示 第21页/共23页使Q 1AQ为对角矩阵 由|IA|解(1)2(10)得特征值121 310 得对应于121的特征向量 解方程(IA)xoa1(2,1,0)T a2(2,0,1)T 然后再单位化 得 先用施密特正交化方法把a1 a2正交化得对应于3的特征向量a3(1,2,2)T 解方程(10IA)xo 令Q(c1,c2,c3)则Q1AQQTAQ diag(1,1,10)第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页
