平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理课件.pptx

第五章 平面向量高考文数高考文数5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点一向量的线性运算及几何意义考点一向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法向量的有关概念及表示法知识清单2.向量的线性运算3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实数,使得b=a成立.考点二平面向量基本定理考点二平面向量基本定理定理定理:如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量向量,那么对于这那么对于这一平面内的任意向量一平面内的任意向量a,有且只有有且只有一对实数一对实数1,2,使使a=1e1+2e2.其中其中,不共线的向量不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.温馨提示温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定基底给定,同一向量的分解形式唯一同一向量的分解形式唯一;(3)若若1e1+2e2=0,则则1=2=0.考点三平面向量的坐标运算考点三平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=bx1y2-x2y1=0.拓展延伸1.若+=2,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条件是=+,且+=1,R.平面向量线性运算的解题策略用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.例1(2017广东东莞二模,4)如图所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是(A)方法技巧方法1A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-b解析因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a,故选A.向量共线定理的应用方法1.aba=b(b0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共线.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程,利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数,就可以解决问题.例2(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.方法2解题导引由ab的充要条件得的方程解方程得的值解析a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3.答案-3例3如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解题导引解法一:选择基底,用基底表示与利用两向量共线的充要条件列出向量等式得出关于m与n的关系式解法二:利用向量的中点表示式写出由=m,=n得与,的关系利用M,O,N三点共线,得出m与n的关系式解析解法一:连接AO,由于O为BC的中点,故=(+),=-=(+)-=+,同理=+.由于向量,共线,故存在实数,使得=,即+=,由于,不共线,故得-=且=,消去,得(m-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.解法二:连接AO,O是BC的中点,=(+).又=m,=n,=+.M、O、N三点共线,+=1.m+n=2.答案2平面向量坐标运算的解题策略1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.将向量用坐标表示出来,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合起来.2.解题过程中注意方程思想的应用.例4(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足|=1,=,则|2的最大值是(B)A.B.C.D.方法3解题导引建系求出点P的轨迹方程写出|2的表达式利用函数思想求最值解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,0),B(,3).设P(x,y),|=1,x2+y2=1,=,M为PC的中点,M,|2=+=+-3y+9=-3y+9=-3y,又-1y1,当y=-1时,|2取得最大值,且最大值为.解题导引建立平面直角坐标系分别求出a,b,c的坐标将坐标代入c=a+b中,利用方程思想求出和结论例5向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=.解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=a+b可得解得所以=4.答案4平面向量基本定理的应用策略平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运算来求解.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.例6(2018中原名校9月联考,15)如图,在ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则=.方法4解题导引求得,的值,从而得的值解析设=a,=b,A、P、M共线,存在唯一实数,使得=.又M为BC的中点,=(a+b).又=+=+=+(-)=+=(1-)a+b.根据平面向量基本定理得解得=,=.=,=.|=41,即=4.答案4