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第3章电阻电路分析现在学习的是第1页，共61页第三章第三章 电阻电路分析电阻电路分析 3.1 KCL和和KVL的独立性的独立性3.2 支路电流法支路电流法3.3 网孔电流法网孔电流法3.4 回路电流法回路电流法3.5 节点电压法节点电压法本章重点本章重点homeworkNEXT现在学习的是第2页，共61页3.1 KVL和和KCL方程的独立性方程的独立性3.1.1电路的图电路的图 一个图是节点和支路的一个集合。节点和支路各自是一个整体，但任何一条支路必须终止在节点上。移去一条支路并不意味着同时把它连接的节点也移去，所以允许有孤立的节点存在。若移去一个节点，则应当把与之连接的全部支路都同时移去。电路的“图”是指把电路中每一条支路画成抽象的线段，形成一个节点和支路的集合。现在学习的是第3页，共61页抛开元件性质一个元件作为一个元件作为一条支路一条支路元件的串联及并联组元件的串联及并联组合作为一条支路合作为一条支路543216有向图有向图65432178R4R1R3R2R6uS+_iR5现在学习的是第4页，共61页从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。路径 两结点间的一条通路。连通图图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。子图 若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。现在学习的是第5页，共61页回路回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足并满足:连通且每个结点关联连通且每个结点关联2条支路。条支路。12345678253124578不不是是回回路路回路回路2）基本回路的数目是一定的；基本回路的数目是一定的；1）对应一个图有很多的回路；对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。对于平面电路，网孔数等于基本回路数。明明确确由支路组成的闭合路径。现在学习的是第6页，共61页3.1.2 KCL方程的独立性方程的独立性 电路有6个支路，4个节点。根据KCL，各节点方程分别为：n个结点的电路个结点的电路,独立的独立的KCL方程为方程为n-1个。个。结论14324123 0 现在学习的是第7页，共61页3.1.3 KVL方程的独立性方程的独立性 4个结点、6条支路、7个回路的KVL方程如下 现在学习的是第8页，共61页n个结点、个结点、b条支路的电路，条支路的电路，独立的独立的KVL方程数为方程数为bn+1n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路,独立的独立的KCL和和KVL方程总方程总数为：数为：结论现在学习的是第9页，共61页3.2 支路电流法支路电流法 对有b条支路n个节点的电路，将每个支路上的电流和电压都设为未知量，共2b个未知量。根据欧姆定律列出b个方程，根据KCL列出n1个独立节点方程，根据KVL列出bn1个独立回路方程，共2b个方程。这就是2b法。如果只将支路电流设为未知量，即设b个未知量，然后列出b个基尔霍夫定律方程，这种求解方法称为支路电路法。现在学习的是第10页，共61页 将以上6个方程和3个网孔方程及3个独立节点方程联立，即可求出i1i6、u1u6 这12个未知量。可见，该电路需求解一个12元一次方程组，求解过程很繁琐，因此在实际电路的求解中很少使用2b法。3.2.1 2b法法图中有6条支路，4个节点，根据欧姆定律，各支路上的电流电压的关系为 现在学习的是第11页，共61页3.2.2 支路电流法支路电流法如果根据欧姆定律用支路电流表示支路电压，得：将以上电压表达式代入三个KVL方程，再与三个独立的KCL方程联立，即可求出六个支路电流。此方法要求解的方程组是一个6元一次方程组，比2b法少了6个未知量，但求解仍比较繁琐。现在学习的是第12页，共61页例例3.1电路如图所示，已知：uS12V，uS26V，R11k，R21k，R32k，求各支路的电流。解：该电路有3条支路，2个节点，因此电路有211个独立节点，可列1个独立KCL方程，有3212个独立回路（网孔），可列2个KVL方程。根据KVL，对网孔1：对网孔2：根据KCL，有代入数据，联立以上三个方程解得：I13.6(mA)；I24.4(mA)；I30.8(mA)。现在学习的是第13页，共61页（1）支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；选定选定(n1)个结点个结点，列写其，列写其KCL方程；方程；选定选定b(n1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合个独立回路，指定回路绕行方向，结合KVL和支路和支路方程列写；方程列写；求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。小结（2）支路电流法的特点：支路电流法的特点：支路法列写的是支路法列写的是 KCL和和KVL方程，方程，所以列写方便、直观，但所以列写方便、直观，但方程数仍较多，适于支路数不多的情况。方程数仍较多，适于支路数不多的情况。现在学习的是第14页，共61页例例1求各支路电流及各电压源发出的功率。12解解 n1=1个KCL方程：结点a：I1I2+I3=0 b(n1)=2个KVL方程：11I2+7I36=07I111I270+6=070V6V7ba+I1I3I2711现在学习的是第15页，共61页例例2结点结点a：I1I2+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解解1(2)b(n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3 U=07I111I2-70+U=0增补方程增补方程：I2=6A设电流设电流源电压源电压+U_ _a70V7b+I1I3I2711216A现在学习的是第16页，共61页1解解2由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程结点结点a：I1+I3 6=0避开电流源支路取回路避开电流源支路取回路1：7I17I3 70=070V7ba+I1I3I27116A现在学习的是第17页，共61页例例3I1I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解解11I2+7I3 5U=07I111I2 70+5U=0增补方程增补方程：U=7I3有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；将将控控制制量量用用未未知知量量表表示示，并并代代入入中中所所列列的的方方程程，消消去去中中间间变变量。量。注意5U+U_70V7ba+I1I3I271121+_结点a：现在学习的是第18页，共61页3.3 网孔电流法网孔电流法以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。3.3.1 网孔电流及网孔方程网孔电流及网孔方程 在右图所示电路中，有三条支路，两个节点，两个网孔。假设三个支路的电流分别为 i1、i2 和 i3，根据KCL，有即可见 i2 可由 i1 和 i3 决定。现在学习的是第19页，共61页假设有两个电流 im1和 im2分别沿两个网孔流动；显然，流过左边支路的电流只有 im1，因此im1=i1；流过右边支路的电流只有 im2，因此im2=i3；因此中间支路的电流为 i2 im1im2i1i3。这两个假设的电流 im1 和 im2 称为网孔电流。由于把各支路电流看作相关网孔电流的代数和，因此各支路电流自动满足KCL，所以用网孔电流做变量时，只需列出KVL网孔方程。由于全部网孔是一组独立回路，因此各网孔方程均为独立方程。现在学习的是第20页，共61页上式中 R1R2R11 称为网孔1的自阻 R2R12 称为网孔1和网孔2之间的互阻 uS1 为网孔1中的电压源电压，当 im1 从 uS1 的正极流出时uS1 取正，否则取负。同理可得到网孔2的方程为或：联立以上两个网孔方程即可求解网孔电流，并由此求得电路中的支路电流和电压。对网孔1列KVL得：现在学习的是第21页，共61页Rjk:互电阻互电阻=网孔电流网孔电流 ik 和和 ij经过的公共支路的电阻经过的公共支路的电阻+:流过互阻的网孔电流流过互阻的网孔电流 ik 和和 ij 方向相同；方向相同；-:流过互阻的网孔电流流过互阻的网孔电流 ik 和和 ij 方向相反；方向相反；0:无互阻。无互阻。Rkk:自电阻自电阻(总为正总为正)=)=网孔电流网孔电流ik经过各支路电阻之和经过各支路电阻之和注意注意uSkk：该网孔中各电压源电压的代数和。当电压源电压降的方：该网孔中各电压源电压的代数和。当电压源电压降的方向与该网孔电流方向向与该网孔电流方向一致一致时，取时，取负负号；反之取正号。号；反之取正号。对于含有n个网孔的电路，其网孔方程可表示为现在学习的是第22页，共61页例例3.2电路如图所示，求各支路的电流。解：该电路有三个网孔，设其网孔电流的大小和方向如图所示，该电路的网孔方程为:解得：Im10.0786(A)=76.8mA；Im20.1143(A)=114.3mA；Im30.1071(A)=107.1mA因此各支路电流为现在学习的是第23页，共61页解：该电路有三个网孔，设其网孔电流的大小和方向如图所示，该电路的网孔方程为:例例3.3电路如图所示，求各支路的电流。解得：Im13（A）；Im21（A）；Im32（A）因此各支路电流为:现在学习的是第24页，共61页3.3.2 含无伴流源电路的网孔方程含无伴流源电路的网孔方程无伴源：当一条支路只含电流源而没有与之并联的电阻，或只含电压源没有与之串联的电阻时。例例3.4电路如图所示，求5电阻消耗的功率。现在学习的是第25页，共61页解：假设三个网孔及其电流如右图所示，2A的电流源只有网孔电流 Im3 流过，则电路的网孔方程为：解得：Im15.67（A）；Im23.89（A）因此 IIm23.89A5电阻消耗的功率为 可见，使无伴流源所在的支路只有一个网孔电流流过时，电路的网可见，使无伴流源所在的支路只有一个网孔电流流过时，电路的网孔方程可以变得更简单。孔方程可以变得更简单。现在学习的是第26页，共61页例例3.5电路如图所示，求电流源提供的功率。解：设无伴源的端电压为U，如图所示。则电路的网孔方程为：辅助方程：方程联立，可得：Im121.91mA；Im220.55mA；Im3=79.45mA；U=6.04V因此电流源提供的功率为:现在学习的是第27页，共61页当电路中含有无伴电流源时：当电路中含有无伴电流源时：使无伴流源所在的支路只有一个网孔电流流过；使无伴流源所在的支路只有一个网孔电流流过；若无法做到第一步，则假定无伴电流源两端的电压，并将若无法做到第一步，则假定无伴电流源两端的电压，并将该电压视为独立电压源；该电压视为独立电压源；列出与电流源相关的辅助方程；列出与电流源相关的辅助方程；将网孔方程与辅助方程联立即可求解电路中的未知量。将网孔方程与辅助方程联立即可求解电路中的未知量。小结小结现在学习的是第28页，共61页3.3.3 3.3.3 含受控源电路的网孔方程含受控源电路的网孔方程当电路中含有受控源时：将受控源视为独立源，列出网孔方程；根据受控源的控制量列出辅助方程；将辅助方程与网孔方程联立即可求解电路中的未知量。若受控源是无伴流源时可按前述3.3.2节的方法处理。现在学习的是第29页，共61页例例3.6电路如图所示，求电流I。解：电路中有两个网孔，其中受控流源为无伴源，电路的网孔方程为 辅助方程为 将辅助方程与网孔方程联立，可得：I0.57(A)现在学习的是第30页，共61页解：网孔方程为 辅助方程为 方程联立，可得 Im13.6(A)；Im213.2(A)；Im39.6(A)；U148(V)因为Im20，所以125V的电压源提供功率；因为Im2Im30，所以50V的电压源吸收功率。例例3.7电路如图所示，电路哪些元件提供功率？各提供多少功率？只有125V的电压源提供功率为:受控源的端电压为 所以该受控源吸收功率。现在学习的是第31页，共61页综合以上分析，网孔电流法分析电路的步骤：综合以上分析，网孔电流法分析电路的步骤：（1 1）确定网孔个数，并设定网孔电流；）确定网孔个数，并设定网孔电流；（2 2）如果电路中含无伴流源，可设定无伴流源的端电压，并）如果电路中含无伴流源，可设定无伴流源的端电压，并将此端电压视为独立压源的电压；将此端电压视为独立压源的电压；（3 3）如果电路中含受控源，可将其视为独立源；）如果电路中含受控源，可将其视为独立源；（4 4）列网孔方程；）列网孔方程；（5 5）列与无伴流源相关的辅助方程；）列与无伴流源相关的辅助方程；（6 6）列与受控源控制量相关的辅助方程；）列与受控源控制量相关的辅助方程；（7 7）将网孔方程和辅助方程联立求解。）将网孔方程和辅助方程联立求解。现在学习的是第32页，共61页3.4 3.4 回路电流法回路电流法 以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。回路电流的绕向可以相同，也可以不同。回路电流方程中的自阻、互阻和等效电源电压的概念与网孔电流方程中的相似。回路电流法是对独立回路列写回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：方程，方程数为：l列写的方程列写的方程与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少n-1个。个。注意现在学习的是第33页，共61页方程的标准形式：方程的标准形式：对于具有对于具有 l=b-n+1 个回路的电路，有个回路的电路，有:Rjk:互电阻互电阻+:流过互阻的两个回路电流方向相同；流过互阻的两个回路电流方向相同；-:流过互阻的两个回路电流方向相反；流过互阻的两个回路电流方向相反；0:无互阻。无互阻。Rkk:自电阻自电阻(总为正总为正)注意现在学习的是第34页，共61页回路方程为：联立方程，可得 I1.875(A)例例3.8电路如图所示，用回路电流法求电流I。解：电路中有5条支路，3个节点，因此有5313个独立的回路，设所选回路及其电流如图所示。辅助方程为：现在学习的是第35页，共61页例例3.9电路如图所示，已知受控流源ici2，受控压源ucu2。列回路电流方程以求电压u2。解：辅助方程:将ici2、ucu2 代入方程，即可求得 u2。现在学习的是第36页，共61页综上所述，用回路电流法分析电路的步骤：综上所述，用回路电流法分析电路的步骤：（1 1）根据电路结构确定独立回路及其电流。注意，若有无伴流源，应）根据电路结构确定独立回路及其电流。注意，若有无伴流源，应尽量使该流源所在支路只经过一个回路电流。尽量使该流源所在支路只经过一个回路电流。（2 2）根据回路电流的绕向确定自）根据回路电流的绕向确定自阻和互阻。注意，自阻是正的，阻和互阻。注意，自阻是正的，互阻的正负要根据电流的绕向确定。互阻的正负要根据电流的绕向确定。（3）如果电路中有无伴流源，且流过该支路的回路电流多于）如果电路中有无伴流源，且流过该支路的回路电流多于1个，可个，可设定无伴流源的端电压，并将此端电压视为独立压源的电压，建立辅设定无伴流源的端电压，并将此端电压视为独立压源的电压，建立辅助方程。助方程。（4）列回路方程。）列回路方程。（5）将回路方程和辅助方程联立求解。）将回路方程和辅助方程联立求解。现在学习的是第37页，共61页例1i1i3i2受控源看作独立源列方程增补方程：5URSR4R3R1R2US+_+_U现在学习的是第38页，共61页R1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS例2列回路电流方程解解1选网孔为独立回路1432_+_+U2U3增补方程：增补方程：现在学习的是第39页，共61页R1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS解解2回路2选大回路增补方程：增补方程：1432现在学习的是第40页，共61页例3求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率i1i4i2i3解解4V3A2+IU312A2A现在学习的是第41页，共61页3.5节点电压法节点电压法节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。3.5.1 节点电压和节点电压方程节点电压和节点电压方程l列写的方程 结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。注意现在学习的是第42页，共61页对支路1，有由此可得 同理可求出其它支路的电流为 在图示的电路中，有4个节点，我们假设节点4为参考节点，其它三个节点的电压分别为u1、u2、u3，根据欧姆定律可以求出各支路的电流。现在学习的是第43页，共61页根据KCL，对节点1，有 即由此可得G11 称为节点1的自导G12 称为节点1和节点2的互导iS11 是流入节点1的等效源电流，若流出节点，则取负现在学习的是第44页，共61页 因此上式又可表示为 式中自导为正，互导为负。同理可得节点2和节点3的方程为 因此该图的节点电压方程为 现在学习的是第45页，共61页同理，对有n1个节点的电路，其节点方程可表示为 求解上式可以求出n个节点的电压，由节点电压即可求出各支路的电流，列节点电压方程时无需设定各支路的电流。Gii 自电导，总为正。iSii 流入结点i的所有电流源电流的代数和。Gij=Gji互电导，结点i与结点j之间所有支路电导之和，总为负。现在学习的是第46页，共61页例例3.10电路如图所示，用节点电压法求电流 I。解：该电路有4个节点，3个独立节点，设节点4为参考节点，即节点4的电位为0。3个独立节点的自导、互导及等效源电流分别为(S)(S)(A)(S)(S)(S)(A)(S)(S)(A)现在学习的是第47页，共61页解得：U15（V）；U220（V）；U315（V）；因此 因此电路的节点方程为现在学习的是第48页，共61页试列写电路的结点电压方程(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=GSUS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS例UsG3G1G4G5G2+_GS312现在学习的是第49页，共61页3.5.2 3.5.2 含无伴压源电路的节点电压方程含无伴压源电路的节点电压方程 节点电压法是根据KCL列节点方程，因此当电路中出现无伴压源时，需要设定该支路的电流，并将该电流视为等效源电流。法一：以电压源电流为变量 UsG3G1G4G5G2+_312(G1+G2)U1-G1U2=I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3=IU1-U3=US增补方程增补方程I看成电流源现在学习的是第50页，共61页法二：选择合适的参考点U1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0UsG3G1G4G5G2+_312例例3.11电路如图所示，用节点电压法求电压U。解：将U24V、U328V代入上式，解得：U18（V）现在学习的是第51页，共61页例例3.12电路如图所示，求各电源提供的功率。辅助方程为 解：由图可见，U13V，U22.429(V)；U30.429(V)；I11.1(A)解得：根据KCL，对节点1有 对节点3有 现在学习的是第52页，共61页因为I11.1(A)0，所以5V的电压源提供功率，它提供的功率为 因为I20.757(A)0，所以3V的电压源提供功率，它提供的功率为现在学习的是第53页，共61页3.5.3 3.5.3 含受控源电路的节点电压方程含受控源电路的节点电压方程 当电路中含有受控源时：a)将受控源视为独立源，由此列出节点方程b)根据受控源的控制量列出辅助方程c)将辅助方程与节点方程联立即可若受控源是无伴源，其处理方法与独立源为无伴源的情况一样。现在学习的是第54页，共61页例例3.13电路如图所示，求电流 I。控制量 I 的辅助方程为 解：由图可见，U250V，U315I，节点1的方程为 方程联立，解得 U132(V)，U324(V)，I1.6(A)现在学习的是第55页，共61页综上分析可见，用节点电压法求解电路的步骤：（1）确定电路的节点个数。（2）确定独立节点及其节点电压。注意参考节点的选取应使节点方程个数最少或节点方程最简单。（3）如果电路中含无伴压源，而且参考点的选取不能使该支路所在节点的电压为已知量，则需要设定流过无伴压源的电流，并将此电流视为独立源电流。根据无伴压源所联接的两个节点，建立辅助方程。（4）如果电路中含有受控源，在列节点方程时可将其视为独立源，并根据控制量建立辅助方程。（5）列节点方程。（6）将节点方程和辅助方程联立即可求解。现在学习的是第56页，共61页先把受控源当作独立源列方程；用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程 例1iS1R1R3R2gmuR2+uR2_21现在学习的是第57页，共61页213设参考点用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程 例2解解iS1R1R4R3gu3+u3_R2+r iiR5+uS_把受控源当作独立源列方程；现在学习的是第58页，共61页例3列写电路的结点电压方程 312 与电流源串接的电阻不与电流源串接的电阻不参与列方程。参与列方程。增补方程：增补方程：U=Un2注意1V2321534VU4U3A解解现在学习的是第59页，共61页例求电压U和电流I 解解1应用结点法312解得：90V2121100V20A110VUI现在学习的是第60页，共61页解解2应用回路法123解得：90V2121100V20A110VUI现在学习的是第61页，共61页