第11章李雅普诺夫稳定性分析优秀PPT.ppt
第11章李雅普诺夫稳定性分析现在学习的是第1页，共75页$1$1 概概 述述稳定性稳定性 当系统受到外界干扰后当系统受到外界干扰后,虽然它的原虽然它的原有平衡状态有平衡状态(相对稳定性相对稳定性)被破坏被破坏,但在外但在外部干扰去掉后部干扰去掉后,仍有能力自动地在另一新仍有能力自动地在另一新平衡状态平衡状态(相对稳定状态相对稳定状态)下继续工作下下继续工作下去去,系统的这种本能通常叫做系统的稳定系统的这种本能通常叫做系统的稳定性性.现在学习的是第2页，共75页 电机自动调速系统中保持电机转速电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力为一定的能力 火箭飞行中保持航行为一定的能火箭飞行中保持航行为一定的能力能力力能力 电压自动调节系统中保持电机电压电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力为恒定的能力现在学习的是第3页，共75页现在学习的是第4页，共75页现在学习的是第5页，共75页现在学习的是第6页，共75页$2$2 李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定现在学习的是第7页，共75页一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义现在学习的是第8页，共75页.,为给定的常数为给定的常数其中其中d de e)t(t X-)t,x(t,0e00e e F FeX-X d d:)(它的范数为它的范数为件可以画出一个球域件可以画出一个球域设对应于系统的初始条设对应于系统的初始条d dS,)t,x(t,),()(00其范数为：其范数为：的所有各点的球域的所有各点的球域的解的解是含有方程是含有方程e eF F=txfXS&现在学习的是第9页，共75页1.1.李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 ,恒有恒有时时使得当使得当若系统若系统 稳定的。稳定的。李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态Xe),(t X-)t,x(t,0e00te&),(txfX=则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。一般决定球域大小的一般决定球域大小的,0有关有关有关也与有关也与与与ted,0无关时无关时与与 td当当现在学习的是第10页，共75页现在学习的是第11页，共75页2.2.渐近稳定性渐近稳定性现在学习的是第12页，共75页3.3.大范围内的渐近稳定大范围内的渐近稳定现在学习的是第13页，共75页说明：现在学习的是第14页，共75页4.4.不稳定性不稳定性现在学习的是第15页，共75页二、标量函数的正定性定义二、标量函数的正定性定义现在学习的是第16页，共75页现在学习的是第17页，共75页现在学习的是第18页，共75页现在学习的是第19页，共75页现在学习的是第20页，共75页三、二次型赛尔维斯特准则现在学习的是第21页，共75页现在学习的是第22页，共75页现在学习的是第23页，共75页定理：现在学习的是第24页，共75页现在学习的是第25页，共75页现在学习的是第26页，共75页现在学习的是第27页，共75页$3 判别稳定性的李雅普诺夫方法一、李氏第一法（间接法）现在学习的是第28页，共75页状态。时，系统处于临界稳定）（当）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处不稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，一次近似0AAXX )3(0XAAXX )2(0XAAXX (1)ee=XBXB&现在学习的是第29页，共75页二、李氏第二法（直接法）二、李氏第二法（直接法）为负定为负定为正定为正定并满足：并满足：函数函数 2 1 ),(txV则在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的如果随着Xt)V(x,则在原点处的平衡状态是大范围内的渐近稳定。现在学习的是第30页，共75页X(0)现在学习的是第31页，共75页现在学习的是第32页，共75页且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶设系统的状态方程为定理:),(),(X:2.正定),(.1txVtxVtxf=&负半定.2.3及任意对任意000),(tttxtF时不恒为零。在。其中)0),0(（tf=现在学习的是第33页，共75页现在学习的是第34页，共75页现在学习的是第35页，共75页解法二：解法二：现在学习的是第36页，共75页现在学习的是第37页，共75页现在学习的是第38页，共75页现在学习的是第39页，共75页现在学习的是第40页，共75页现在学习的是第41页，共75页现在学习的是第42页，共75页现在学习的是第43页，共75页现在学习的是第44页，共75页$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析存在或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理PnnAnX)()(*1*.1AXX=&现在学习的是第45页，共75页可选为李氏函数。处是大范围渐近稳定的。则的唯一解，则系统在平衡状态它是方程PXXxVT=)(Xe=0:PA=-PAT+现在学习的是第46页，共75页现在学习的是第47页，共75页PI-=+PAPAT-=+QPAPAT则通常取是否也是正定的的I=Q,QxV，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先指在判定说明：:)(.1&现在学习的是第48页，共75页沿任意一条轨迹不恒如果QXXVT-=&.3 ：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算，求矩阵解李氏方程PPPQPAPAT-=+.2现在学习的是第49页，共75页最简单的是：也可以取正半定矩阵，等于零，则Q现在学习的是第50页，共75页现在学习的是第51页，共75页现在学习的是第52页，共75页现在学习的是第53页，共75页现在学习的是第54页，共75页+-k/(s+1)k/(s+2)1/sry现在学习的是第55页，共75页&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：现在学习的是第56页，共75页&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：现在学习的是第57页，共75页现在学习的是第58页，共75页=)0,0,0(,0X选取解得平衡状态为令因此&-=+-=2 31332221xkxxxxxxx&现在学习的是第59页，共75页现在学习的是第60页，共75页现在学习的是第61页，共75页现在学习的是第62页，共75页现在学习的是第63页，共75页现在学习的是第64页，共75页现在学习的是第65页，共75页现在学习的是第66页，共75页现在学习的是第67页，共75页现在学习的是第68页，共75页现在学习的是第69页，共75页现在学习的是第70页，共75页现在学习的是第71页，共75页现在学习的是第72页，共75页现在学习的是第73页，共75页现在学习的是第74页，共75页现在学习的是第75页，共75页
