自动控制原理2015详解.pptx

2023年2月23日1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性主要内容主要内容第1页/共113页2023年2月23日2 v了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的基本特性和相关概念；v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地 应用到根轨迹的绘制过程中；应用到根轨迹的绘制过程中；学习重点学习重点第2页/共113页2023年2月23日3闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系发现问题：发现问题：发现问题：发现问题：控制系统分析的关键是找到闭环极点控制系统分析的关键是找到闭环极点控制系统分析的关键是找到闭环极点控制系统分析的关键是找到闭环极点！提出问题提出问题提出问题提出问题：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点？解决问题解决问题解决问题解决问题：通过开环零极点来求得闭环极点：通过开环零极点来求得闭环极点：通过开环零极点来求得闭环极点：通过开环零极点来求得闭环极点。第3页/共113页2023年2月23日4开环传递函数开环传递函数(开环零、极点开环零、极点+开环增益开环增益)一个美好的愿望：一个美好的愿望：闭环零极点全部可能的分布图闭环零极点全部可能的分布图用时域分析法分析系统的三性用时域分析法分析系统的三性求解难！求解难！第4页/共113页2023年2月23日5根轨迹法根轨迹法根轨迹法的任务根轨迹法的任务 一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法图解方法表示特征表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。根与系统参数的全部数值关系的方法。19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出。）提出。由已知的开环零极点和根轨迹增益，用由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解图解方法确定闭环极点。方法确定闭环极点。第5页/共113页2023年2月23日74.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念例例4.1 4.1 单位反馈单位反馈二阶系统二阶系统闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点1 1、什么是根轨迹、什么是根轨迹第7页/共113页2023年2月23日800-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j 当当 取不同值时，闭环特征根如下：取不同值时，闭环特征根如下：第8页/共113页2023年2月23日9 由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹。1 1、根轨迹上的点均为闭环极点。、根轨迹上的点均为闭环极点。2 2、直观地表示了参数、直观地表示了参数 变化时，变化时，闭环特征根的变化。闭环特征根的变化。3 3、利用根轨迹可使我们在广泛的、利用根轨迹可使我们在广泛的 范围内了解系统的稳定性及动范围内了解系统的稳定性及动 态特性。态特性。分析系统性能分析系统性能。根轨迹的特点：根轨迹的特点：第9页/共113页2023年2月23日10可见：根轨迹是分析系统的有力工具。可见：根轨迹是分析系统的有力工具。第10页/共113页2023年2月23日112 2、根轨迹方程（根轨迹满足的基本条件）式中：式中：开环零点；开环零点；开环极点；开环极点；根轨迹放大系数。控制系统结构如图控制系统结构如图开环传递函数开环传递函数:零极点零极点形式形式根轨迹型根轨迹型第11页/共113页2023年2月23日12或可写作或可写作闭环系统特征方程式为闭环系统特征方程式为根轨迹方程第12页/共113页2023年2月23日13 这这个个方方程程式式表表达达了了开开环环传传递递函函数数与与闭闭环环特特征征方方程程式式的的关关系系，该该方方程程的的解解即即为为闭闭环环特特征征根根，因此该式又称为因此该式又称为根轨迹方程根轨迹方程。令令 s=+j 代入可得代入可得复数方程复数方程：注注意意：s为为闭闭环环传传函函的的特特征征根根(极极点点)，-zj和和-pi为为开开环环传传函函的的零零点和极点。点和极点。复数复数 幅值和相角幅值和相角第13页/共113页2023年2月23日14幅值条件：幅值条件：根轨迹方程：根轨迹方程：第14页/共113页2023年2月23日15辐角条件辐角条件：（充分必要条件）：（充分必要条件）与与Kg 无关无关式中：式中：第第i个开环有限零点到个开环有限零点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；第第i个开环极点到个开环极点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；注：注：根轨迹上的点均满足幅值条件和辐角条件。根轨迹上的点均满足幅值条件和辐角条件。根轨迹方程：根轨迹方程：第15页/共113页2023年2月23日16s1123S1不满足幅角条件，因此不是根轨迹上的点。1231、解二阶方程求得根轨迹。解二阶方程求得根轨迹。2 2、通过检验是否满足幅角、通过检验是否满足幅角 条件来求得根轨迹条件来求得根轨迹。第16页/共113页2023年2月23日17知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是不能绘制出根轨迹。知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是不能绘制出根轨迹。要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些基本规律。要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些基本规律。相角条件是确定相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘平面上根轨迹的充分必要条件。绘 制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨 迹上各点的迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。值时，才使用幅值条件。说明说明第17页/共113页2023年2月23日18结论：根轨迹起始于开环极点。结论：根轨迹起始于开环极点。1 1起点（=0=0）4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹的一般法则第18页/共113页2023年2月23日19开环有开环有限零点限零点结论：结论：n 阶系统有阶系统有m条根轨迹终止于开环有限零点条根轨迹终止于开环有限零点。2.2.终点 根轨迹方程可写成：根轨迹方程可写成：结论：结论：n-m条根轨迹终止于无限远（开环无限零点）条根轨迹终止于无限远（开环无限零点）。第19页/共113页2023年2月23日20根轨迹终止于开环零点：根轨迹终止于开环零点：第20页/共113页2023年2月23日213.3.根轨迹的连续性、对称性和分支数根轨迹的连续性、对称性和分支数 根根轨轨迹迹的的分分支支数数(条条数数)等等于于系系统统特特征征方方程程的的次次数数n。(实实际际系系统统nm，根根轨迹描述特征根的变化规律轨迹描述特征根的变化规律)根轨迹是根轨迹是连续连续的曲线的曲线。(Kg是连续变化的是连续变化的)根根轨轨迹迹总总是是对对称称于于实实轴轴。(实实际际的的物物理理系系统统的的参参数数都都是是实实数数特特征征方方程程的的系系数数是实数是实数特征根不是实数就是共轭复数特征根不是实数就是共轭复数)结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数 等于系统特征方程的等于系统特征方程的次数次数次数次数或系统的或系统的阶数阶数阶数阶数。第21页/共113页2023年2月23日22-p10数学知识补充：数学知识补充：sS 是终点是终点-Pj 是起点是起点s-z1-p1s-p4-p5开环零点用开环零点用表示表示开环极点用开环极点用表示表示第22页/共113页2023年2月23日23 判判断断方方法法：在在实实轴轴上上找找一一试试验验点点S，如如果果S点点的的右右侧侧的的开开环环零零极极点点个个数数之之合合为为偶偶数数个，则该点不在根轨迹上；若为奇数个则在根轨迹上。个，则该点不在根轨迹上；若为奇数个则在根轨迹上。(奇是偶不是奇是偶不是奇是偶不是奇是偶不是)4 4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。开环零、极点数目的总和为奇数。开环零、极点数目的总和为奇数。开环零、极点数目的总和为奇数。根据辐角条件：根据辐角条件：第23页/共113页2023年2月23日24 共轭复极点的出现相当于增加了共轭复极点的出现相当于增加了对辐角条件没有影响，对辐角条件没有影响，因此实轴上的根轨迹因此实轴上的根轨迹的判断方法不变。的判断方法不变。第24页/共113页2023年2月23日25 两两条条或或两两条条以以上上的的根根轨轨迹迹分分支支在在 S 平平面面上上相相遇遇又又立立即即分分开开的的点点称称为为分分离离点（或汇合点）。此时点（或汇合点）。此时特征方程式会出现特征方程式会出现重根重根。5 5 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 swj4p3p1p2pA AB B0sC C第25页/共113页2023年2月23日26设闭环系统的特征方程为设闭环系统的特征方程为第26页/共113页2023年2月23日27 分离点分离点（会合点会合点）的坐标的坐标 的计算公式的计算公式：如果上式的阶次较高，计算重根就比较麻烦。这时可采用图解法如果上式的阶次较高，计算重根就比较麻烦。这时可采用图解法（或试探法或试探法）来确定重根来确定重根。第27页/共113页2023年2月23日28（1 1）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点 （包括无限零点）或开环极点（包括无限极（包括无限零点）或开环极点（包括无限极 点），则在此段根轨迹上必有分离点。点），则在此段根轨迹上必有分离点。（2 2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。（3 3）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离 点。点。分离点的确定需代入特征方程中验算。分离点的确定需代入特征方程中验算。注注第28页/共113页2023年2月23日29解：解：（2 2）画根轨迹。在）画根轨迹。在-1 1 -之间存在分离点之间存在分离点第29页/共113页2023年2月23日30若若P1，P2为实极点，则该系统的根轨迹图如下为实极点，则该系统的根轨迹图如下图所示。图所示。1 1、验证了、验证了“若实轴上的根轨迹若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点或极的左右两侧均为开环零点或极点（包括无限的），则在此段点（包括无限的），则在此段根轨迹上必有分离点。根轨迹上必有分离点。2 2、实轴等分圆周，由根轨迹的、实轴等分圆周，由根轨迹的对称性决定。对称性决定。3 3、可以证明该根轨迹是圆。、可以证明该根轨迹是圆。第30页/共113页2023年2月23日31例：系统开环传函为例：系统开环传函为用用Matlab化根轨迹。化根轨迹。%8-23b.mnum=1 0;den=conv(1-0.5+0.5i,1-0.5-0.5i);w=tf(num,den);rlocus(w)则对应则对应 根轨迹为：根轨迹为：第31页/共113页2023年2月23日32设设l为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角当当l=2时，分离角为时，分离角为分离角：分离角：根轨迹进入分离点的根轨迹进入分离点的切线方向切线方向和离开和离开分离点的分离点的切线方向切线方向之间的夹角。之间的夹角。第32页/共113页2023年2月23日33 当当 nm 时时，则有则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支延渐近线方向趋向无穷远的，因此渐近线即为无穷远处的根轨迹。渐近线支延渐近线方向趋向无穷远的，因此渐近线即为无穷远处的根轨迹。渐近线由它与实轴的夹角和交点来确定。由它与实轴的夹角和交点来确定。6 6、根轨迹渐近线根轨迹渐近线渐近线的条数渐近线的条数：n-m渐近线包括：与实轴的夹角和交点渐近线包括：与实轴的夹角和交点。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。第33页/共113页2023年2月23日34（1 1）渐近线与实轴的交点）渐近线与实轴的交点求解原理求解原理：对于无限远闭环极点来说，所有开环对于无限远闭环极点来说，所有开环零点、极点都聚集在一起，其位置为零点、极点都聚集在一起，其位置为-k k。当当 时，时，即得，即得由幅值条件由幅值条件第34页/共113页2023年2月23日35多项式除法多项式除法第35页/共113页2023年2月23日36令上式中等式两边的项系数相等，得渐近线与实轴交点：令上式中等式两边的项系数相等，得渐近线与实轴交点：(a1-b1)第36页/共113页2023年2月23日37（2 2）渐近线与实轴夹角）渐近线与实轴夹角求解原理求解原理：对于无限远闭环极点来说，与所有开环对于无限远闭环极点来说，与所有开环有限零点、极点的夹角都相等，为有限零点、极点的夹角都相等，为 ，即，即独立的渐近线只有独立的渐近线只有（n-m）条。条。代入辐角条件得：代入辐角条件得：即渐近线的倾角为：即渐近线的倾角为：第37页/共113页2023年2月23日38例例4.3 4.3 设开环传递函数为设开环传递函数为试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解（解（1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。因为因为 ,所以可得渐近线倾角为所以可得渐近线倾角为第38页/共113页2023年2月23日39因为因为 ；所以渐近线交点为所以渐近线交点为（2 2）计算渐近线交点）计算渐近线交点。第39页/共113页2023年2月23日40出射角出射角 ：根轨迹离开根轨迹离开 S S平面上平面上开环复数极点处开环复数极点处 的切线方向与实轴正方向的切线方向与实轴正方向 的夹角。的夹角。入射角入射角 ：根轨迹进入根轨迹进入 S S平面上平面上开环复数零点处开环复数零点处 的切线方向与实轴正方向的切线方向与实轴正方向 的夹角。的夹角。7 7根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角wjs3P2-P 1-P 0s1-z2-Z第40页/共113页2023年2月23日41例例4.4 4.4 已知开环传递函数为已知开环传递函数为计算起点计算起点（-1+j1）的出射角。的出射角。第41页/共113页2023年2月23日42由于由于 点无限靠近点无限靠近（-1+j1-1+j1）点点 ，可用，可用（-1+j1-1+j1）代换代换 ，则有，则有解、对于根轨迹上无限靠近解、对于根轨迹上无限靠近（-1+j1-1+j1）的点的点 应满足辐角条件，即应满足辐角条件，即第42页/共113页2023年2月23日43把以上诸值代入辐角条件，即得起点把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为的出射角为而而角度替换后得角度替换后得：第43页/共113页2023年2月23日44同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为第44页/共113页2023年2月23日45 根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯纯虚虚根根（实实部部为为零零）。此此时时系系统处于临界稳定状态统处于临界稳定状态.8 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点确定交点的方法有二确定交点的方法有二：（1 1）把把 代入特征方程式代入特征方程式；（2 2）利用劳斯判据利用劳斯判据。(劳斯表第一列元素不劳斯表第一列元素不 变号，但有为零项变号，但有为零项)第45页/共113页2023年2月23日46例例4.5 4.5 设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。设设 时根轨迹与虚轴相交时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中于是令上式中解解:方法（方法（1 1）根据给定的开环传递函数，可得闭环特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得闭环特征方程式为第46页/共113页2023年2月23日47 则得则得 亦即亦即 解得解得：，对应根轨迹的起点对应根轨迹的起点；,对应根轨迹与虚轴相交。对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为交点处的（临界放大系数）为:第47页/共113页2023年2月23日48 当当系系统统的的阶阶次次较较高高时时，解解特特征征方方程程将将会会遇遇到到困困难难，此此时时可可用用劳劳斯斯判判据据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。第48页/共113页2023年2月23日49方法（方法（2 2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表劳斯表特征方程特征方程=0临界稳定临界稳定则得临界放大系数则得临界放大系数第49页/共113页2023年2月23日50根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即令上式中令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为 第50页/共113页2023年2月23日51闭环特征方程还可写为：闭环特征方程还可写为：式中：式中：是一个常数，它是各特征根之和。是一个常数，它是各特征根之和。9 9根轨迹的走向根轨迹的走向(根之和根之和)当当n-m=2时时,一些根轨迹右行一些根轨迹右行,则另一些根轨迹必左行则另一些根轨迹必左行。理由理由：与与Kg无关，有限值无关，有限值闭环极点第51页/共113页2023年2月23日52当一些根随当一些根随Kg的增加而增加时，必有另一些根随的增加而增加时，必有另一些根随Kg的增加而减小的增加而减小。当当Kg变变化化时时，随随Kg变变化化的的n个个闭闭环环特特征征根根的的和和具有常数性。具有常数性。在在根根轨轨迹迹图图上上表表现现为为一一些些根根轨轨迹迹分分支支向向左左延延伸伸，另另外外一一些些分分支支必必向向右右延延伸伸。(根根轨轨迹迹的的自自平衡性平衡性)结论结论:(:(n-m=2时时)第52页/共113页2023年2月23日53（1 1）起点起点（）:开环传递函数的极点即根轨迹开环传递函数的极点即根轨迹 的起点的起点。（2 2）终点终点（）:根轨迹的终点即开环传递函数根轨迹的终点即开环传递函数 的零点的零点（包括包括 个有限零点个有限零点 和和 个无限零点个无限零点）。（3 3）根轨迹条数及对称性根轨迹条数及对称性:根轨迹条数为根轨迹条数为 ，根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴。（4 4）实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹:实轴上根轨迹右侧的开环零实轴上根轨迹右侧的开环零 点点,极点个数之和应是奇数极点个数之和应是奇数。根轨迹的九条绘制法则：根轨迹的九条绘制法则：第53页/共113页2023年2月23日54（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6 6）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角 渐近线交点 第54页/共113页2023年2月23日55（9 9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次 ，则一些根轨 迹右行时，另一些根轨迹必左行。入射角出射角（7 7）根轨迹的出射角与入射角。（8 8）与虚轴交点。将 代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出 和临界 。第55页/共113页2023年2月23日56 根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增 益益值值Kg的的增增加加而而运运动动的的，要要用用箭箭头头标标示示根根轨轨 迹运动的方向迹运动的方向。根轨迹的起点根轨迹的起点（开环极点开环极点-pi)用符号用符号“”标标 示；根轨迹的终点示；根轨迹的终点(开环零点开环零点-zj)用符号用符号“o o”标标 示。示。手工绘图时还需注意：手工绘图时还需注意：第56页/共113页2023年2月23日57 设二阶系统结构如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统结构如下图所示。它的开环传递函数为4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹1.1.二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹第57页/共113页2023年2月23日58第58页/共113页2023年2月23日59二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 则从原点作阻尼线则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于交根轨迹于R（见右图见右图）。开环放大系数开环放大系数 应为应为 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 求最佳阻尼时候的求最佳阻尼时候的Kk?第59页/共113页2023年2月23日60 系统结构图如下图所示，开环传递函数为系统结构图如下图所示，开环传递函数为2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统第60页/共113页2023年2月23日61复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）第61页/共113页2023年2月23日62(0,a)与与前前例例对对比比可可知知：在在S S左左半半面面适适当当位位置置引引入入开开环环零零点点，将将使使根根轨轨迹迹向向左左偏偏移移，特特征征根根距距虚虚轴轴距距离离增增大大，可可以以显显著著改改善善系系统的相对稳定性统的相对稳定性。零点对根轨迹有吸引作用！零点对根轨迹有吸引作用！零点对根轨迹有吸引作用！零点对根轨迹有吸引作用！S1S2第62页/共113页2023年2月23日63零点对根轨迹有吸引作用零点对根轨迹有吸引作用第63页/共113页2023年2月23日64二阶系统附加一个二阶系统附加一个极点极点的系统，结构图如下图。的系统，结构图如下图。开环传递函数为开环传递函数为3.3.三阶系统的根轨迹三阶系统的根轨迹第64页/共113页2023年2月23日65第65页/共113页2023年2月23日66第66页/共113页2023年2月23日67本例说明：二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：二阶系统中附加一个极点，随着 增大，根轨迹会增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统由稳定变为不稳定。向右变化，并穿过虚轴，使系统由稳定变为不稳定。极点对根轨迹有排斥的作用！极点对根轨迹有排斥的作用！第67页/共113页2023年2月23日68极点对根轨迹有排斥的作用极点对根轨迹有排斥的作用第68页/共113页2023年2月23日69已知系统开环传函如下，试绘制该系统的根轨迹图。已知系统开环传函如下，试绘制该系统的根轨迹图。共有共有4 4个根轨迹分支，连续且对称于实轴个根轨迹分支，连续且对称于实轴。实轴上的根轨迹是实轴上由实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-4-4的线段。的线段。解、解、根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 -p1=0、-p2=-4、-p3=-2+4j、-p4=-2-4j；终止于终止于4 4个无限零点（没有有限零点个无限零点（没有有限零点)。例题例题第69页/共113页2023年2月23日70渐近线与横轴的夹角为渐近线与横轴的夹角为取取=0、l、2、3时，分别为时，分别为45、135、225、315。(4)(4)渐近线渐近线:渐近线在横轴上的公共交点为渐近线在横轴上的公共交点为第70页/共113页2023年2月23日71求解上式可得三个分离点为求解上式可得三个分离点为 分离角分离角l=2=2时，时，(5)(5)分离点和分离角分离点和分离角第71页/共113页2023年2月23日72复数极点复数极点p3和和p4的出射角的出射角(6)(6)出射角出射角(7)(7)与虚轴的交点与虚轴的交点0-4-第72页/共113页2023年2月23日730-2-4第73页/共113页2023年2月23日74一些常见的开环零、极点分布及其相应的根轨迹一些常见的开环零、极点分布及其相应的根轨迹第74页/共113页2023年2月23日754.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹定义定义定义定义：如果负反馈系统开环传递函数的分子、分母中：如果负反馈系统开环传递函数的分子、分母中S 最高次幂系数不同号最高次幂系数不同号，或者，或者正反馈正反馈系统开环传函的系统开环传函的分子、分母中分子、分母中s最高次幂同号，系统根轨迹为零度根最高次幂同号，系统根轨迹为零度根轨迹。轨迹。最高次幂系数不同号：最高次幂系数不同号：第75页/共113页2023年2月23日76由根轨迹方程由根轨迹方程 1-Wk(s)=0 0 推得相角条件为推得相角条件为所所以以，零零度度根根轨轨迹迹和和常常规规（180）根根轨轨迹迹相相比比凡凡是是和相角有关系和相角有关系的绘制法则都要发生变化。的绘制法则都要发生变化。正反馈时：正反馈时：0 0度度第76页/共113页2023年2月23日77入射角入射角出射角出射角变化的绘制法则：变化的绘制法则：v实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：若实轴上某点右侧的开环零、极点若实轴上某点右侧的开环零、极点 的个数之和为偶数，则该点在实轴的根轨迹上。的个数之和为偶数，则该点在实轴的根轨迹上。v渐进线与实轴的夹角为：渐进线与实轴的夹角为：v根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 第77页/共113页2023年2月23日78 例例4.7 4.7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制下图示系统的根轨迹。解解 （1 1）二个开环极点：二个开环极点：，；一个有限零点：一个有限零点：和一个无限零点。和一个无限零点。第78页/共113页2023年2月23日79（2 2）实轴上根轨迹：）实轴上根轨迹：在实轴的在实轴的 和和 区间存在根轨迹。区间存在根轨迹。（3 3）分离点与会合点：）分离点与会合点：分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 第79页/共113页2023年2月23日80 根轨迹如下图所示根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点 ，半径为，半径为 。第80页/共113页2023年2月23日81定定义义：以以非非根根轨轨迹迹增增益益(比比如如比比例例微微分分环环节节或或惯惯性性环节的时间常数环节的时间常数 )为可变参数绘制的根轨迹。为可变参数绘制的根轨迹。闭环特征闭环特征方程方程等效开环等效开环系统系统与常规（常义）根轨迹的与常规（常义）根轨迹的开环传函具有相同形式开环传函具有相同形式变形变形变形变形绘制思路：绘制思路：4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹第81页/共113页2023年2月23日82 假设系统的可变参数是某一时间常数假设系统的可变参数是某一时间常数T，原特征方程式变为，原特征方程式变为式式中中，、分分别别为为等等效效的的开开环环传传递递函函数数分分子子、分分母母多多项项式式，T的的位位置置与与原原根根轨轨迹放大系数迹放大系数 完全相同。完全相同。第82页/共113页2023年2月23日83该系统在绘制以该系统在绘制以 为参变量的根轨迹时，应遵循为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹零度根轨迹的绘的绘制规则。制规则。例例4.9 4.9 给定控制系统的开环传递函数为给定控制系统的开环传递函数为 试作出以试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。取何值时闭环系统稳定。解解:闭环特征方程闭环特征方程 改写为改写为 等效开环传递函数为等效开环传递函数为 用所有不含的项做分母第83页/共113页2023年2月23日84相应的根轨迹绘于右图。相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当由图可知，当 时系统时系统处于临界稳定状态。处于临界稳定状态。闭环系统稳定的范围：闭环系统稳定的范围：例例4.9 4.9 系统的根轨迹系统的根轨迹本本例例说说明明，尽尽管管在在许许多多情情况况下下，都都是是绘绘制制常常义义根根轨轨迹迹，但但是是在在绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。第84页/共113页2023年2月23日85 4.3 4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 根根轨轨迹迹绘绘出出以以后后，对对于于一一定定的的 值值，即即可可利利用用幅幅值值条条件件，确确定定相相应应的的特特征征根根（闭闭环环极极点点）。如如果果闭闭环环系系统统的的零零点点是是已已知知的的，则则可可以以根根据据闭闭环环系系统统零零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤:1.1.画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图2.2.在根轨迹上确定在根轨迹上确定在根轨迹上确定在根轨迹上确定闭环零、极点闭环零、极点闭环零、极点闭环零、极点的位置的位置的位置的位置3.3.根据系统闭环零极点的分布分析系统性能根据系统闭环零极点的分布分析系统性能根据系统闭环零极点的分布分析系统性能根据系统闭环零极点的分布分析系统性能第85页/共113页2023年2月23日86 4.3.1 4.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法试探法。1.1.取试验点取试验点 2.2.连接连接 与开环零极点与开环零极点对于对于n=m的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。环实极点后再确定闭环复极点。3.3.量得模值，带入幅量得模值，带入幅 值条件，求得值条件，求得Kg值。值。第86页/共113页2023年2月23日87 由图可知：在由图可知：在 有一实根，有一实根，设其为设其为:实根求法：实根求法：1.试探法试探法 2.作图法作图法由特征方程求得由特征方程求得 时的一个特征时的一个特征根：根：例例4.11 4.11 系统开环传函如下，确定系统开环传函如下，确定 的闭环极点。的闭环极点。解解 闭环特征方程为闭环特征方程为第87页/共113页2023年2月23日88设另外两个复根为：设另外两个复根为：由特征方程得由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根可求得二共轭复根:第88页/共113页2023年2月23日89例例4.11 4.11 已知系统如图，绘制根轨迹，并确定已知系统如图，绘制根轨迹，并确定=0.5=0.5时的时的Kg值及对应的闭环极点。值及对应的闭环极点。解：解：第89页/共113页2023年2月23日90由特征方程根与系数的关系由特征方程根与系数的关系求得另一实根为求得另一实根为：由幅值条件求得由幅值条件求得：第90页/共113页2023年2月23日91 4.3.2 4.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能 控制系统分析：控制系统分析：定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。控制系统的性能由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变控制系统的性能由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最大优点最大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，地看出系统参数变化时，闭环极点的变化闭环极点的变化-参数的可视化参数的可视化，这也正是时域法的不足。这也正是时域法的不足。选择适当的参数，使选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。第91页/共113页2023年2月23日92(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂态过程主要决定于离虚轴近的极点暂态过程主要决定于离虚轴近的极点暂态过程主要决定于离虚轴近的极点暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。一般当时一般当时 ，可忽略，可忽略极极点点的的影影响响。这这就就是是所所谓谓主主主主导导导导极极极极点点点点的的概概念念。使高阶下降阶，从而简化系统分析。使高阶下降阶，从而简化系统分析。由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。第92页/共113页2023年2月23日93 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半为半径的圆弧移动。径的圆弧移动。(2)(2)闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。第93页/共113页2023年2月23日94 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。增大，极点将沿矢量方向延伸。等阻尼线促使系统以较快的促使系统以较快的速度达到稳态！速度达到稳态！第94页/共113页2023年2月23日95 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。有相同有相同 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。等衰减系数线第95页/共113页2023年2月23日96一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 （3 3）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点 将增大系统超调量将增大系统超调量但是，如果但是，如果 ，则可以不计零点的影响，直则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。系统的暂态品质。第96页/共113页2023年2月23日97 (4)(4)闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点 系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当当实实极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离比比复复极极点点实实部部与与虚虚轴轴的的距距离离大大5倍倍以以上上时时，可可以以不不考考虑虑这这一一负负极极点点的的影影响响，直直接接用用二二阶阶系系统统的的指指标标来来分分析析系系统的暂态品质。统的暂态品质。主导极点主导极点第97页/共113页2023年2月23日98 （5 5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点 称为称为偶极子偶极子偶极子偶极子。偶极子对系统暂态响应的影响很小，可以偶极子对系统暂态响应的影响很小，可以 忽略不计。忽略不计。第98页/共113页2023年2月23日99 增增加加开开环环零零点点将将引引起起系系统统根根轨轨迹迹形形状状的的变变化化，从从而而影影响响了了闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性及及其其暂态响应性能。暂态响应性能。如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为例例4.12 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为4.3.3 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响第99页/共113页2023年2月23日100开环零点在不同取值情况下的根轨迹 第100页/共113页2023年2月23日101 从从以以上上四四种种情情况况来来看看，一一般般第第三三种种情情况况比比较较理理想想，这这时时系系统统具具有有一一对对共共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标也比较令人满意。轭复数主导极点，其暂态响应性能指标