第2章插值与拟合优秀PPT.ppt

第2章插值与拟合实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第1页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法二、插值多项式的存在唯一性设p(x)是形如（24）的插值多项式，用Hn代表所有次数不超过n次的多项式集合，于是p(x)Hn。所谓插值多项式p(x)存在唯一，就是指在集合Hn中有且只有一个p(x)满足（23），由（23）可得：现在学习的是第2页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第3页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法三、线性插值 假定已知区间xk,xk+1 的端点处的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式L1(x),使它满足 L1(xk)=yk L1(xk+1)=yk+1则L1(x)的表达式可按下式给出：现在学习的是第4页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第5页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法四、抛物插值 假定已知插值节点xk-1,xk,xk+1,要求二次插值多项式L2(x),使它满足 L2(xj)=yj （j=k-1,k,k+1)为求出L2(x)的表达式，可采用基函数方法，此时基函数lk-1(x),lk(x),lk+1(x)是二次函数，且在节点上满足条件现在学习的是第6页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第7页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第8页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法五、拉格朗日插值多项式现在学习的是第9页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第10页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法六、插值余项 若在a,b上用Ln(x)近似f(x),则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x),也称为插值多项式的余项。余项的计算式为：现在学习的是第11页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第12页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法例1、已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。现在学习的是第13页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解：1、线性插值现在学习的是第14页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解：1、线性插值现在学习的是第15页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解：2、抛物插值现在学习的是第16页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法第二节 逐次线性插值现在学习的是第17页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法x0 x1x2x3x4f(x0)=I0f(x1)=I1f(x2)=I2f(x3)=I3f(x4)=I4I0,1I0,2 ,I0,1,2I0,3,I0,1,3,I0,1,2,3I0,4,I0,1,4,I0,1,2,4,I0,1,2,3,4x-x0 x-x1x-x2x-x3x-x4现在学习的是第18页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法例2 已知f(x)sh(x)的值如下，试用埃特金插值求x=0.23的近似值解：见下表：0.000.200.300.500.600.000000.201340.304520.521100.636650.2315410.233465，0.2321180.239706，0.232358，0.2320340.244049，0.232479，0.2320340.230.030.070.270.37现在学习的是第19页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法一、均差及其性质 由直线方程点斜式出发，推广到具有n+1个插值点（x0,f0），(xn,fn)的情况，我们可把插值多项式表示为：第三节 均差与牛顿插值公式现在学习的是第20页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第21页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法1、均差定义：现在学习的是第22页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法2、均差的性质现在学习的是第23页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法3、均差的计算均差计算可列均差表如下：xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差X0X1X2X3X4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)fx0,x1fx1,x2fx2,x3fx3,x4fx0,x1,x2fx1,x2,x3fx2,x3,x4fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3,x4fx0,x1,x2,x3,x4现在学习的是第24页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法4、牛顿插值公式根据均差定义，把x看成a,b上一点，可得：现在学习的是第25页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法例3、给出f(x)的函数表如下，求4次牛顿插值多项式并由此计算f（0.596）的近似值。0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382现在学习的是第26页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解、由函数造出均差表如下0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012由均差表可得4次插值多项式N4(x)为：现在学习的是第27页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法第四节 差分与等距节点插值公式1、差分的定义现在学习的是第28页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法2、差分及其性质 性质1、各阶差分均可用函数值表示。性质2、可用各阶差分表示函数值。性质3、均差与差分有以下关系：现在学习的是第29页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法3、差分计算 Xk 2 3 4 f0 f0 2f0 3f0 4f0 f1 f1 2f1 3f1 f2 f2 2f2 f3 f3 f4 差分计算可列差分表（下表为向前差分表）现在学习的是第30页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法4、等距节点插值公式（1）、前插公式现在学习的是第31页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（2）、后插公式现在学习的是第32页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法第五节 埃尔米特插值公式 如果要求插值函数不仅在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。现在学习的是第33页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第34页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法第六节第六节三次样条插值三次样条插值2.6.4、三次样条插值函数的误差估计三次样条插值函数的误差估计2.6.3、三转角算法三转角算法 2.6.2、三弯矩算法三弯矩算法 2.6.1、三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念 现在学习的是第35页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法学习目标：学习目标：知道三次样条插值函数知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。数，进行误差分析。现在学习的是第36页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值（牛顿插值）插值）Hermite插值插值分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提取（找到）不容易提取（找到）三次样条插值（先由三次样条插值（先由函数值函数值确定确定导数值导数值，再由，再由分段分段Hermite插值解决问题插值解决问题）2.6.1三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念一、背景一、背景现在学习的是第37页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法1901年龙格（年龙格（Runge）给出一个例子：）给出一个例子：，定义在区间，定义在区间-1,1上，这是一个很光滑的函上，这是一个很光滑的函数，它的任意阶导数都存在，对它在数，它的任意阶导数都存在，对它在-1,1上上作等距节点插值时，插值多项式的情况见下作等距节点插值时，插值多项式的情况见下图图 龙格现象是用高阶龙格现象是用高阶多项式多项式进行进行多项式插值多项式插值时所出现时所出现的问题。它是的问题。它是CarleDavidTolmRunge在研究使用在研究使用多项式插值逼近特定函数的误差过程中发现的。多项式插值逼近特定函数的误差过程中发现的。现在学习的是第38页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法现在学习的是第39页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法龙格发现如果使用龙格发现如果使用n阶多项式阶多项式Pn(x)在在1与与1之间按照之间按照这样的等距点这样的等距点xi进行进行插值插值，那么在接近端点，那么在接近端点1与与1的地的地方插值结果就会出现震荡。在多项式的阶数增高时插值方插值结果就会出现震荡。在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大：误差甚至会趋向无限大：现在学习的是第40页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法上述介绍的现象和定理告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，上述介绍的现象和定理告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上来看也是这样，前一节介绍过的差分的误差传播会随从数值计算上来看也是这样，前一节介绍过的差分的误差传播会随阶数的提高越来越严重，因此，实践上作插值时一般只用一次、二阶数的提高越来越严重，因此，实践上作插值时一般只用一次、二次，最多用三次插值多项式。次，最多用三次插值多项式。解决龙格现象的办法解决龙格现象的办法使用使用切比雪夫节点切比雪夫节点代替等距点可以减小震荡，在这种情代替等距点可以减小震荡，在这种情况下，随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象况下，随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式样条样条可可以避免这个问题。如果要减小插值误差，那么可以增加构成样条的以避免这个问题。如果要减小插值误差，那么可以增加构成样条的多项式的数目，而不必是增加多项式的阶次。多项式的数目，而不必是增加多项式的阶次。现在学习的是第41页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法二、样条函数的定义二、样条函数的定义 设在区间设在区间上取上取个节点个节点给定给定这些点的函数值这些点的函数值若满足条件：若满足条件：(3)在每个小区间在每个小区间上，上，是三次多项式。是三次多项式。则称则称为为三次样条插值函数。三次样条插值函数。定义定义（3 3次样条函数）次样条函数）提出问题：提出问题：3次次样样条插条插值值函数函数是否存在是否存在？是否唯一是否唯一？如何计算如何计算？误差估计误差估计？现在学习的是第42页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间上可以写成上可以写成其中其中和和为待定系数。所以，为待定系数。所以，共有共有个待定参数。个待定参数。根据根据在上二阶导数连续的条件，在节点在上二阶导数连续的条件，在节点处应满足连续性条件处应满足连续性条件n4共有共有个条件。再加上个条件。再加上个插值条件，共有个插值条件，共有个条个条件。因此，还需要件。因此，还需要2个条件才能确定个条件才能确定。通常在区间。通常在区间端端点和点和上各加一个条件（称为上各加一个条件（称为边界条件边界条件），可根据实），可根据实际问题的要求给定。通常有以下三种：际问题的要求给定。通常有以下三种：现在学习的是第43页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（1）已知两端的一阶导数值，即）已知两端的一阶导数值，即（2.6.1）（2）已知两端的二阶导数值，即）已知两端的二阶导数值，即 （2.6.2）其特殊情况为其特殊情况为 （3）周期边界条件）周期边界条件此时，对函数值有周期条件此时，对函数值有周期条件注：注：一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。现在学习的是第44页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法2.6.2三弯矩算法三弯矩算法三次样条插值函数三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。表示时，使用更方便。在力学上解释在力学上解释为细梁在为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用用表示表示的算法为的算法为三弯矩算法三弯矩算法。对对积分两次积分两次,并利用插值条件定出积分常数并利用插值条件定出积分常数,可以得到可以得到(2.6.4)由于由于在区间在区间上是三次多项式，故上是三次多项式，故在在上是线性函数，可表示为上是线性函数，可表示为其中其中现在学习的是第45页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 这是三次样条插值函数的表达式，当求出这是三次样条插值函数的表达式，当求出后后,就由就由(2.6.4)完全确定完全确定.对对求导得求导得由此可得由此可得当当时时,的表达式由的表达式由(2.6.4)平移下标可平移下标可得得,因此有因此有 利用条件利用条件得得现在学习的是第46页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法(2.6.5)其中其中 (2.6.6)(2.6.7)方程组方程组(2.6.5)是关于是关于的方程组的方程组,有有个未知数个未知数,但只有但只有个方程个方程.可由可由(2.6.1)(2.6.3)的任一种边界条件补充两个方程。的任一种边界条件补充两个方程。对于边界条件（对于边界条件（2.6.1），可以导出两个方程），可以导出两个方程(2.6.8)现在学习的是第47页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法这样这样,由由(2.6.5)和和(2.6.8)可解出可解出，从而得，从而得的表达式的表达式(2.6.4),若令若令则则(2.6.5)和和(2.6.8)可以写成矩阵形式可以写成矩阵形式(2.6.9)对于边界条件对于边界条件(2.6.2),直直接得接得(2.6.10)将将(2.6.10)代入代入(2.6.5)可解出可解出若令若令则则(2.6.5)和和(2.6.10)可以写成可以写成(2.6.9)的形式。的形式。现在学习的是第48页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法对于边界条件（对于边界条件（2.6.3），有），有（2.6.11）由由(2.6.5)和和(2.6.11)可解出可解出，方程组的矩阵形式，方程组的矩阵形式为为（2.6.12）其中其中现在学习的是第49页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 实际上实际上,方程组（方程组（2.6.9）和（）和（2.6.12)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。例例设在节点设在节点上，函数上，函数的值为的值为，。试求三试求三次样条插值函数次样条插值函数，满足条件，满足条件解解（1）利用方程组（）利用方程组（2.6.9）进行求解，可知）进行求解，可知。经。经简单计算有简单计算有。由。由此得（此得（2.6.9）形式的方程组）形式的方程组现在学习的是第50页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法先消去先消去和和得得由此解得由此解得。代回方程组得代回方程组得用用的值代入三次样条插值函数的表达式（的值代入三次样条插值函数的表达式（2.6.4），经化简有），经化简有（）（）仍用方程组进行求解，不过要注意仍用方程组进行求解，不过要注意的不同。由于的不同。由于和和已知，故可以化简得已知，故可以化简得现在学习的是第51页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法由此解得由此解得。将将代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.6.4），），经化简有经化简有下面构造一阶导数值下面构造一阶导数值表示的三次样条插表示的三次样条插值函数。值函数。在力学上解释为细梁在在力学上解释为细梁在截面处的转角，并且得到的转截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用角与相邻两个转角有关，故称用表示表示的算法为的算法为三转角算法三转角算法。2.6.3三转角算法三转角算法 现在学习的是第52页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法根据根据Hermite插值函数的唯一性和表达式插值函数的唯一性和表达式可设可设在区间在区间上的表达式为上的表达式为对对求二次导数得求二次导数得于是有于是有现在学习的是第53页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法同理，考虑同理，考虑在在上的表达式，可以得到上的表达式，可以得到利用条件利用条件，得，得（2.6.14）其中，其中，由（由（2.6.6）所示，而）所示，而（2.6.15）方程组方程组(2.6.14)是关于是关于的方程组的方程组,有有个未知数个未知数,但只有但只有个方程个方程.可由可由(2.6.1)(2.6.3)的任一种边界条件补充两个方程。的任一种边界条件补充两个方程。对于边界条件（对于边界条件（2.6.1），则两个方程），则两个方程满足方程组满足方程组 现在学习的是第54页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法由此可解得由此可解得，从而得，从而得的表达式（的表达式（2.6.13）。）。（2.6.16）若令若令对于边界条件（对于边界条件（2.6.2），则可导出两个方程），则可导出两个方程由由(2.6.14)和和(2.6.17)可解出可解出（2.6.17）现在学习的是第55页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法则（则（2.6.14）和（）和（2.6.17）可合并成矩阵形）可合并成矩阵形式式（2.6.18）由由(2.6.14)和和(2.6.19)可解出可解出，方程组的矩阵形式，方程组的矩阵形式为为对于边界条件（对于边界条件（2.6.3），可得），可得（2.6.19）其中其中现在学习的是第56页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（2.6.20）在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数不不仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且逼近逼近具有很好的具有很好的收敛性，也是数值稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复收敛性，也是数值稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。杂，下面只给出误差估计的结论。2.6.4三次样条插值函数的误差估计三次样条插值函数的误差估计值函数值函数有估计式有估计式定理定理设函数设函数记记则对任意则对任意满足边界条件（满足边界条件（2.6.1）或（）或（2.6.2）的三次样条插）的三次样条插现在学习的是第57页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 误差估计式（误差估计式（2.6.21）除可以用于误差估计外）除可以用于误差估计外,它进一步表明，它进一步表明，当当时，在插值区间时，在插值区间上，对于满足边界上，对于满足边界条件（条件（2.6.1）或（）或（2.6.2）的插值函数）的插值函数，不仅，不仅一致收一致收敛于敛于，而且，而且一致收敛于一致收敛于，一致收敛于一致收敛于。（2.6.21）其中其中现在学习的是第58页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 第七节第七节.曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 如果已知函数如果已知函数f(x)f(x)在若干点在若干点x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)处处的值的值y yi i,便可根据插值原理来建立插值多项式作为便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)f(x)的近似。的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点近似函数曲线精确无误地通过所有的点(x(xi i,y,yi i),),就会使曲线保就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然插值效果显然是不理想的。此外是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。来很烦琐。现在学习的是第59页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法为此为此,我们希望从给定的数据我们希望从给定的数据(x(xi i,y,yi i)出发出发,构造一个构造一个近似函数近似函数 ,不要求函数不要求函数 完全通过所有的完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图本趋势，如图5-75-7所示。所示。曲线拟合示意图曲线拟合示意图 换句话说换句话说:求一条曲线求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映它既能反映数据的总体分布数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动又不至于出现局部较大的波动,更能更能反映被逼近函数的特性反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是这就是最小二乘法。最小二乘法。现在学习的是第60页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 与与函函数数插插值值问问题题不不同同,曲曲线线拟拟合合不不要要求求曲曲线线通通过过所所有有已已知知点点,而而是是要要求求得得到到的的近近似似函函数数能能反反映映数数据据的的基基本本关系。在某种意义上关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。曲线拟合更有实用价值。在对给出的实验在对给出的实验(或观测或观测)数据数据作作曲曲线线拟拟合合时时,怎怎样样才才算算拟拟合合得得最最好好呢呢？一一般般希希望望各各实实验验(或或观观测测)数数据据与与拟拟合合曲曲线线的的偏偏差差的的平平方方和和最最小小,这这就就是是最最小二乘原理。小二乘原理。两种逼近概念两种逼近概念:插值插值:在节点处函数值相同在节点处函数值相同.拟合拟合:在数据点处误差平方和最小在数据点处误差平方和最小现在学习的是第61页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 函数插值是插值函数函数插值是插值函数P(x)P(x)与被插函数与被插函数f(x)f(x)在节点在节点处函数值相同处函数值相同,即即 而曲线而曲线拟合函数拟合函数 不要求严格地通过所有数据点不要求严格地通过所有数据点 ,也也就是说拟合函数就是说拟合函数 在在x xi i处的偏差处的偏差(亦称残差）亦称残差）不都严格地等于零。但是不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势映所给数据点的变化趋势,要求要求 按某种度量标准按某种度量标准最小。若记向量最小。若记向量 ,即要求向量即要求向量 的的某种范数某种范数 最小最小,如如 的的1-范数范数 或或-范数范数即即 现在学习的是第62页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法或或最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求的的2-2-范数范数 即即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。合称为曲线拟合的最小二乘法。现在学习的是第63页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（1）直线拟合直线拟合设设已已知知数数据据点点 ,分分布布大大致致为为一一条条直直线线。作作拟拟合合直直线线 ,该该直直线线不不是是通通过过所所有有的的数数据据点点 ,而是使偏差平方和而是使偏差平方和为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根根据据最最小小二二乘乘原原理理，应应取取 和和 使使 有有极极小小值值，故故 和和 应满足下列条件：应满足下列条件：现在学习的是第64页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法即得如下正规方程组即得如下正规方程组(2.7.1)例例1 1 设有某实验数据如下：设有某实验数据如下：1 2 3 4 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 14.094 16.844 18.475 20.963 用最小二乘法求以上数据的拟合函数用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解解:把表中所给数据画在坐标纸上把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的设所求的 现在学习的是第65页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法拟合直线为拟合直线为 记记x x1 1=1.36,=1.36,x x2 2=1.37,=1.37,x x3 3 =1.95,=1.95,x x4 4=2.28,y=2.28,y1 1=14.094,y=14.094,y2 2=16.844,y=16.844,y3 3=18.475,=18.475,y y4 4=20.963=20.963则正规方程组为则正规方程组为其中其中 将以上数据代入上式正规方程组将以上数据代入上式正规方程组,得得现在学习的是第66页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解得解得即得拟合直线即得拟合直线 现在学习的是第67页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（2 2）多项式拟合）多项式拟合 有有时时所所给给数数据据点点的的分分布布并并不不一一定定近近似似地地呈呈一一条条直直线线,这这时时仍仍用用直直线线拟拟合合显显然然是是不不合合适适的的,可可用用多多项项式式拟拟合合。对于给定的一组数据对于给定的一组数据寻求次数不超过寻求次数不超过m(mN)m(mN)的多项式，的多项式，来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和为最小为最小现在学习的是第68页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法由由于于Q Q可可以以看看作作是是关关于于 (j=0,1,2,j=0,1,2,m)m)的的多多元元函函数数,故故上上述述拟拟合合多多项项式式的的构构造造问问题题可可归归结结为多元函数的极值问题。令为多元函数的极值问题。令得得即有即有现在学习的是第69页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法这是关于系数这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规方的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。程组。可以证明，正规方程组有惟一解。例例 2 2 设某实验数据如下：设某实验数据如下：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 5 2 1 1 2 3用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据 (2.7.2)(2.7.2)现在学习的是第70页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为接近一条抛物线，因此设所求的多项式为由法方程组（由法方程组（2.7.22.7.2）,经计算得经计算得 N=6,其法方程组为其法方程组为 解之得解之得所求的多项式为所求的多项式为现在学习的是第71页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法（3 3）可化为线性拟合的非线性拟合）可化为线性拟合的非线性拟合 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。量所表示的曲线拟合方程。下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系解的曲线拟合方程及变换关系现在学习的是第72页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 曲线拟合方程曲线拟合方程 变换关系变换关系 变换后线性拟合方变换后线性拟合方程程现在学习的是第73页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法几种常见的数据拟合情况。图几种常见的数据拟合情况。图(a)表示数据接近于表示数据接近于直线，故宜采用线性函数直线，故宜采用线性函数 拟合；图拟合；图(b)(b)数据分数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式布接近于抛物线。可采用二次多项式 拟合；拟合；(a)(a)(b)(b)现在学习的是第74页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法图图(c)(c)的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数宜采用双曲线型函数 或指数型函数或指数型函数 图图 (d)(d)的数据分布特点是开始曲线下降快的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢随后逐渐变慢,宜采宜采用用 或或 或或 等函数拟合。等函数拟合。(c)(d)现在学习的是第75页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法例例3 3 设某实验数据如下设某实验数据如下:1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3用最小二乘法求拟合曲线用最小二乘法求拟合曲线 解解:将已给数据点描在坐标系中下图所示将已给数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这些可以看出这些点接近指数曲线点接近指数曲线,因而可取指数函数因而可取指数函数作为拟合函数作为拟合函数.对函数对函数两边取对数得两边取对数得.令令 得得 则就得到线性模型则就得到线性模型 现在学习的是第76页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法则正规方程组为则正规方程组为其中其中将以上数据代入上式正规方程组，得将以上数据代入上式正规方程组，得解得解得由由 得得 ,现在学习的是第77页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法由由 得到拟合指数函数为得到拟合指数函数为 现在学习的是第78页，共88页实实实实用用用用测测测测量量量量数数数数据据据据处处处处理理理理方方方方法法法法 （4 4）超定方程组的最小二乘解）超定方程组的最