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第16章波动1现在学习的是第1页，共44页 振振动动或或扰扰动动在在空空间间以以一一定定速速度度的的传传播播称称为为波波动动,简简称称为为波波(wave)。机机械械振振动动或或扰扰动动在在介介质质中中的的传传播播称称为为机机械械波波，如如声声波波、水水波波和和地地震震波波等等。变变化化电电场场和和变变化化磁磁场场在在空空间间的的传传播播称称为为电电磁磁波波，例例如如无无线线电电波波、光波和光波和X射线等。射线等。机机械械波波只只能能在在介介质质中中传传播播，例例如如声声波波的的传传播播要要有有空空气气作作介介质质，水水波波的的传传播播要要有有水水作作介介质质。但但是是，电电磁磁波波（光光）的的传传播播不不需需要要介介质质，它它可可以以在在真真空空中中传播。传播。机机械械波波和和电电磁磁波波统统称称为为经经典典波波，它它们们代代表表的的是是某某种实在的物理量的波动。种实在的物理量的波动。2现在学习的是第2页，共44页 虽虽然然各各类类波波的的具具体体物物理理机机制制不不同同，但但它它们们都都具具有有叠叠加加性性，都都能能发发生生干干涉涉和和衍衍射射现现象象，也也就就是是说说它它们们所具有的波动的普遍性质。所具有的波动的普遍性质。除除了了机机械械波波和和电电磁磁波波都都能能发发生生干干涉涉和和衍衍射射现现象象外外，实实验验中中发发现现，电电子子、质质子子和和中中子子这这些些微微观观粒粒子子也也能能发发生生干干涉涉和和衍衍射射。因因此此，微微观观粒粒子子也也具具有有波动性。波动性。简简谐谐振振动动在在空空间间的的传传播播，称称为为简简谐谐波波，它它是是最最简简单单的的波波。我我们们以以机机械械波波中中的的简简谐谐波波为为例例来来介介绍绍波动的普遍性质。波动的普遍性质。3现在学习的是第3页，共44页16-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、机械波的产生的条件一、机械波的产生的条件t=T/4 t=T t=00481620 12 24t=T/2 t=3T/44现在学习的是第4页，共44页 弹弹性性介介质质的的质质元元受受外外界界扰扰动动而而发发生生振振动动时时，因因质质元元之之间间的的弹弹性性联联系系，会会使使振振动动传传播播开开去去，这这就就形形成成了波动了波动机械波机械波（mechanical wave）波动是振动状态的传播，不是介质的传播。波动是振动状态的传播，不是介质的传播。机械波形成的条件机械波形成的条件 “上上游游”的的质质元元依依次次带带动动“下下游游”的的质质元元振振动动。某某时时刻刻某某质质元元的的振振动动状状态态将将在在较较晚晚的的时时刻刻于于 “下下游游”某处出现。某处出现。5现在学习的是第5页，共44页二二、波的几何描述、波的几何描述波线波线（wave line）:表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面（wave surface）:介质振动相位相同的点组成的面介质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波阵面波阵面（wave front）:某时刻波到达的各点所构成的面某时刻波到达的各点所构成的面（波前）（波前）球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面6现在学习的是第6页，共44页三三、波的分类、波的分类按波的性质按波的性质机械波机械波（mechanical wave）电磁波电磁波（electromagnetic wave）纵波纵波（longitudinal wave）按波线与振动按波线与振动方向关系方向关系横波横波（transverse wave）气气体体和和液液体体中中的的声声波波是是纵纵波波，而而固固体体中中的的声声波波既既可可以以是纵波，也可以是横波。是纵波，也可以是横波。水水表表面面的的波波既既非非横横波波又又非非纵纵波波，水水波波中中水水质质元元作作纵纵向、横向二维运动，即作圆运动。向、横向二维运动，即作圆运动。7现在学习的是第7页，共44页按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave）球面波球面波（spherical wave）柱面波柱面波（cylindrical wave）按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波（simple harmonic wave）复波复波（compound wave）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave）脉冲波脉冲波（pulsating wave）按是否传播按是否传播行波行波（travelling wave）驻波驻波（standing wave）8现在学习的是第8页，共44页球面波、柱面波的形成过程：球面波、柱面波的形成过程：9现在学习的是第9页，共44页1、波速、波速 u：振动状态（位相）传播的速度。振动状态（位相）传播的速度。它它由介质的性质决定，与波源情况无关。由介质的性质决定，与波源情况无关。2、周期、周期（period）T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它它由波源决定由波源决定（波源、观测者均不动时）（波源、观测者均不动时）频率频率（frequency）角频率角频率（angular frequency）四、波的特征量四、波的特征量不是质元的振动速度！不是质元的振动速度！10现在学习的是第10页，共44页3、波长、波长（wave length）波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它它由波源和介质共同决定由波源和介质共同决定波长表示波的波长表示波的空间周期性空间周期性xu11现在学习的是第11页，共44页 波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，用波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，用 表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量，表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量，的值通常取决于介质的弹性和质量密度。的值通常取决于介质的弹性和质量密度。基本概念基本概念应力或胁强应力或胁强应变或胁变应变或胁变正压力正压力受力面积受力面积受力前立方体的体积受力前立方体的体积受力后立方体的体积受力后立方体的体积体积的增量体积的增量(容变情形容变情形)五、波的传播速度五、波的传播速度12现在学习的是第12页，共44页体变模量体变模量（）(长变情形长变情形)应力或胁强应力或胁强应变或胁变应变或胁变横截面积横截面积杨氏模量杨氏模量(切变情形切变情形)切向力切向力柱体底面积柱体底面积切变模量切变模量13现在学习的是第13页，共44页浅水波浅水波()()深水波深水波()()固体介质中的横波和纵波声速表达式：固体介质中的横波和纵波声速表达式：横波横波纵波纵波柔软细索和弦线中横波的传播速度：柔软细索和弦线中横波的传播速度：横波横波细索或弦线中张力细索或弦线中张力细索或弦线单位长度的质量细索或弦线单位长度的质量14现在学习的是第14页，共44页 例例16-1 频频率率为为3000Hz的的声声波波，以以1560m/s的的传传播播速速度度沿沿一一波波线线传传播播，经经过过波波线线上上的的A点点后后，再再经经13cm而而传传至至B点点。求求(1)B点点的的振振动动比比A 点点落落后后的的时时间间。(2)波波在在A、B两两点点振振动动时时的的相相位位差差是是多多少少？(3)设设波波源源作作简简谐谐振振动动，振振幅幅为为1mm，求求振振动动速速度度的的幅幅值值，是是否否与与波波的的传传播速度相等？播速度相等？解解 (1)波的周期波的周期波长波长B点比点比A点落后的时间为点落后的时间为即即 。15现在学习的是第15页，共44页(2)A、B 两点相差两点相差 ，B点比点比A点落后的相差为点落后的相差为(3)振幅振幅 A=1mm，则振动速度的幅值为，则振动速度的幅值为振动速度是交变的，其幅值为振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波速。，远小于波速。16现在学习的是第16页，共44页 解解 横波传播过程中各个质点在横波传播过程中各个质点在其平衡位置附近振动，且振动方向与传其平衡位置附近振动，且振动方向与传播方向垂直。播方向垂直。头头表表示示该该波波的的传传播播方方向向。试试分分别别用用小小箭箭头头表表明明图图中中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各各质质点点的的运运动动方方向向，并并画画出出经经过过1/41/4周周期期后后的的波波形曲线。形曲线。例例16-2 16-2 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭 根据图中的波动传播方向，可知在根据图中的波动传播方向，可知在C 以后的质点以后的质点B 和和A开开始振动的时刻总是落后于始振动的时刻总是落后于C 点，而在点，而在C 以前的质点以前的质点 D、E、F、G、H、I 开始振动的时刻却都超前于开始振动的时刻却都超前于C 点。点。17现在学习的是第17页，共44页 在在C 达到正的最大位移时，质点达到正的最大位移时，质点B 和和A 都沿着正方向运动，都沿着正方向运动，向着各自的正的最大位移行进向着各自的正的最大位移行进,质点质点B 比比A 更接近于自己的目更接近于自己的目标。标。质点质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行向已经过各自的正的最大位移，而进行向负方向的运动。负方向的运动。质点质点I、H 不仅已经过了自己的正的最大不仅已经过了自己的正的最大位移，而且还经过了负的最大位移，而进行位移，而且还经过了负的最大位移，而进行着正方向的运动。质点着正方向的运动。质点G 则处于负的最大则处于负的最大位移处。位移处。18现在学习的是第18页，共44页经经过过T/4，波波形形曲曲线线如如下下图图所所示示，它它表表明明原原来来位位于于C 和和I 间间的波形经过的波形经过T/4 ，已经传播到，已经传播到A、G 之间来了。之间来了。19现在学习的是第19页，共44页16-2 16-2 16-2 16-2 平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波 波动方程波动方程波动方程波动方程 波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。平面简谐波平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。相同的位移。平面简谐波平面简谐波20现在学习的是第20页，共44页1.1.1.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平平面面简简谐谐行行波波，在在无无吸吸收收的的均均匀匀无无限限介介质质中中沿沿x 轴轴的的正正方方向向传传播播，波波速速为为u。取取任任意意一一条条波波线线为为x 轴轴，取取O 作作为为x 轴轴的的原点。原点。O点处质点的振动表式为点处质点的振动表式为21现在学习的是第21页，共44页 考察波线上任意点考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于点振动的相位将落后于O点。若点。若振动从振动从O 传到传到P所需的时间为所需的时间为t，在时刻在时刻t，P点处质点的位移就点处质点的位移就是是O 点处质点在点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于点将落后于O点，其相位差为点，其相位差为 t。P点处质点在时刻点处质点在时刻t 的位移为：的位移为：22现在学习的是第22页，共44页因因 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波动方程波动方程。利用关系式利用关系式 和和 ，得，得其中其中23现在学习的是第23页，共44页波动表式的意义：波动表式的意义：上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐作简谐运动。运动。即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。24现在学习的是第24页，共44页即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线波形曲线(波形图波形图)。t 一定一定。令。令t=t1，则质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。25现在学习的是第25页，共44页沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：虚线：t2 时刻波形时刻波形x=u t波的传播波的传播26现在学习的是第26页，共44页波函数式中的波函数式中的，称为波的，称为波的位位相相。波在某点的相位反映该点质元的波在某点的相位反映该点质元的“运动状态运动状态”。所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。相速度相速度（相速相速）设设 t 时刻时刻 x 处的位相经处的位相经 t 传到传到（x+x）处，处，则应有则应有于是得到于是得到 即，即，简谐波的波速就是相速。简谐波的波速就是相速。27现在学习的是第27页，共44页 沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x oP 点的运动方程为点的运动方程为：28现在学习的是第28页，共44页例例题题16-3 频频率率为为=12.5kHz的的平平面面余余弦弦纵纵波波沿沿细细长长的的金金属属棒棒传传播播，棒棒的的杨杨氏氏模模量量为为Y=1.9 1011N/m2，棒棒的的密密度度 =7.6 103kg/m3。如如以以棒棒上上某某点点取取为为坐坐标标原原点点，已已知知原原点点处处质质点点振振动动的的振振幅幅为为A=0.1mm，试试求求:(1)原原点点处处质质点点的的振振动动表表式式，(2)波波动动表表式式，(3)离离原原点点10cm处处质质点点的的振振动动表表式式，(4)离离原原点点20cm和和30cm两两点点处处质质点点振振动动的的相相位位差差，(5)在在原原点振动点振动0.0021s时的波形。时的波形。解解 棒中的波速棒中的波速 波长波长 29现在学习的是第29页，共44页周期周期(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m(2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以m计计，t 以以s 计计。(3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 30现在学习的是第30页，共44页可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。(4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差为 (5)(5)t=0.0021s时的波形为时的波形为 式中式中x以以m计。计。31现在学习的是第31页，共44页例例题题16-4 一一横横波波沿沿一一弦弦线线传传播播。设设已已知知t=0时时的的波波形形曲曲线线如如下下图图中中的的虚虚线线所所示示。弦弦上上张张力力为为3.6N，线线密密度度为为25g/m，求求(1)振振幅幅，(2)波波长长，(3)波波速速，(4)波波的的周周期期，(5)弦弦上上任任一一质质点点的的最最大大速速率率，(6)图中图中a、b两点的相位差，两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。时的波形曲线。t=032现在学习的是第32页，共44页解解 由波形曲线图可看出：由波形曲线图可看出：(3)(3)由波速公式计算出由波速公式计算出(2)(2)=40cm；(1)(1)A=0.5cm；(4)(4)波的周期波的周期 33现在学习的是第33页，共44页(5)(5)质点的最大速率质点的最大速率 (6)(6)a、b两点相隔半个波长，两点相隔半个波长，b点处质点比点处质点比a点处质点的相位点处质点的相位落后落后。(7)(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰时的波形如下图中实线所示，波峰M1和和M2已已分别右移分别右移 而到达而到达 和和 处。处。t=3T/434现在学习的是第34页，共44页(5)(5)质点的最大速率质点的最大速率 (6)(6)a、b两点相隔半个波长，两点相隔半个波长，b点处质点比点处质点比a点处质点点处质点的相位落后的相位落后。(7)(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰时的波形如下图中实线所示，波峰M1和和M2已已分别右移分别右移 而到达而到达 和和 处。处。t=3T/435现在学习的是第35页，共44页16-3 16-3 16-3 16-3 波的能量波的能量波的能量波的能量 波的强度波的强度波的强度波的强度 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1.1.1.1.波的能量波的能量波的能量波的能量 考考虑虑棒棒中中的的体体积积V，其其质质量量为为m(m=V)。当当波波动动传播到该体积元时，将具有动能传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能和弹性势能Wp。平面简谐波平面简谐波 可以证明可以证明 36现在学习的是第36页，共44页体积元的总机械能体积元的总机械能W 对单个谐振子对单个谐振子 在在波波的的传传播播过过程程中中，任任一一体体积积元元都都在在不不断断地地接接受受和和放放出出能能量量，其其值值是是时时间间的的函函数数。与与振振动动情情形形相相比比，波波动动传传播播能能量量，振动系统并不传播能量。振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。介质中单位体积的波动能量。通常取能量密度在一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 37现在学习的是第37页，共44页2.2.2.2.波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导位于位于x 处的体积元处的体积元ab 的动能为的动能为 38现在学习的是第38页，共44页体积元体积元ab 的振速的振速体积元体积元ab 的胁变的胁变 据杨氏模量定义和胡克定律据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为该积元所受弹性力为 体积元弹性势能体积元弹性势能 39现在学习的是第39页，共44页由由V=Sx,，结合波动表达式，结合波动表达式 最后得：最后得：若考虑平面余弦弹性横波若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的只要把上述计算中的 和和 f 分别理解为体积元的切变和切力分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量用切变模量G 代替代替杨氏模量杨氏模量Y，可得到同样的结果。，可得到同样的结果。40现在学习的是第40页，共44页3.3.3.3.波的强度波的强度波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时间内，在单位时间内通过通过S 的能量。的能量。平均能流：平均能流：平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即41现在学习的是第41页，共44页介质的特性阻抗介质的特性阻抗 。I 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义:若若 ，有，有 。42现在学习的是第42页，共44页对于球面波，对于球面波，介质不吸收能量，介质不吸收能量时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等球面波表达式：球面波表达式：式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。43现在学习的是第43页，共44页 例题例题16-5 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体，液体的密度为的密度为1g/cm3，声速为，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。，求这时液体质点振动的振幅。解解 因因 ，所以，所以 可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。44现在学习的是第44页，共44页