第23节 可逆矩阵优秀PPT.ppt
第23节 可逆矩阵1现在学习的是第1页，共36页一、逆矩阵的定义、唯一性一、逆矩阵的定义、唯一性二、矩阵可逆的判别定理及求法二、矩阵可逆的判别定理及求法三、可逆矩阵的运算性质三、可逆矩阵的运算性质主要内容主要内容:四、思考与练习四、思考与练习2现在学习的是第2页，共36页一、逆矩阵的定义、唯一性一、逆矩阵的定义、唯一性则矩阵则矩阵 称为称为 的的可逆矩阵或逆阵可逆矩阵或逆阵.概念的引入概念的引入:在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的的逆逆）；）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中的相当于数的乘法运算中的1 1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得3现在学习的是第3页，共36页定义：定义：例例 :设设4现在学习的是第4页，共36页唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.证明证明：5现在学习的是第5页，共36页则则逆矩阵的求法一：待定系数法逆矩阵的求法一：待定系数法例例1 1:设设解解：设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,6现在学习的是第6页，共36页又因为又因为所以所以7现在学习的是第7页，共36页二、二、矩阵可逆的判别定理及求法矩阵可逆的判别定理及求法定理定理:证明证明：8现在学习的是第8页，共36页奇异矩阵：奇异矩阵：非奇异矩阵：非奇异矩阵：（退化矩阵）（退化矩阵）（非退化矩阵）（非退化矩阵）9现在学习的是第9页，共36页10现在学习的是第10页，共36页推论：推论：证明证明：注：注：11现在学习的是第11页，共36页(1)(2)逆矩阵的求法二：伴随矩阵法逆矩阵的求法二：伴随矩阵法12现在学习的是第12页，共36页(3)可逆可逆13现在学习的是第13页，共36页三、可逆矩阵的运算性质三、可逆矩阵的运算性质证明证明：14现在学习的是第14页，共36页证明证明：15现在学习的是第15页，共36页证明证明：(5)若若 可逆，则有可逆，则有16现在学习的是第16页，共36页例例2 2：求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解17现在学习的是第17页，共36页同理可得同理可得故故18现在学习的是第18页，共36页例例3 3：设设解解19现在学习的是第19页，共36页于是于是20现在学习的是第20页，共36页21现在学习的是第21页，共36页解解：例例4 4：22现在学习的是第22页，共36页而而所以所以原方程两端原方程两端右右乘矩阵乘矩阵 ,左左乘矩阵乘矩阵则则23现在学习的是第23页，共36页注：注：24现在学习的是第24页，共36页设设A,B均为均为n阶方阵，已知阶方阵，已知 ，可可逆，且逆，且例例5求证：求证：A可逆可逆证证 由于可逆，于是有可逆，于是有 25现在学习的是第25页，共36页即即上式两边取行列式可得上式两边取行列式可得又由于又由于 可逆可逆,于是于是 且已知且已知 从而可得从而可得 故故A可逆可逆26现在学习的是第26页，共36页例例6 6：所以所以 可逆，且可逆，且证：证：所以所以 可逆，可逆，27现在学习的是第27页，共36页 例例7:设为为3阶方阵，阶方阵，则，则_.解：解：28现在学习的是第28页，共36页 例例8 设设阶方阵阶方阵的伴随矩阵为的伴随矩阵为证明：证明：（1）若）若，则，则（2）29现在学习的是第29页，共36页 例例9:设设 ,求求 解解 而而 故故30现在学习的是第30页，共36页31现在学习的是第31页，共36页 这是因为如果APP1 则AkPkP1 从而 (A)a0Ea1A amAm Pa0EP1Pa1P1 PammP1 P()P1 设(x)a0a1x amxm为x的m次多项式 A为n阶矩阵 记 (A)a0Ea1A amAm(A)称为矩阵A的m次多项式 v矩阵的多项式的计算 (1)如果APP1 则(A)P()P132现在学习的是第32页，共36页 设(x)a0a1x amxm为x的m次多项式 A为n阶矩阵 记 (A)a0Ea1A amAm(A)称为矩阵A的m次多项式 (1)如果APP1 则(A)P()P1v矩阵的多项式的计算 (2)如果diag(1 2 n)为对角阵 则 ()diag(1)(2)(n)这是因为 ()a0Ea1 amm a0diag(1 1 1)a1diag(1 2 n)amdiag(1m 2m nm)diag(1)(2)(n)33现在学习的是第33页，共36页1.逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.3.逆矩阵的计算方法：逆矩阵的计算方法：2.2.逆矩阵逆矩阵 存在存在小结：小结：34现在学习的是第34页，共36页四、思考题：四、思考题：答：答：35现在学习的是第35页，共36页2、设、设为行列式中元素的代数余子式，且，又，求.，36现在学习的是第36页，共36页
