第2章变换与序列傅立叶变换优秀PPT.ppt

第2章变换与序列傅立叶变换现在学习的是第1页，共77页第二章 z变换与序列傅立叶变换2-1 引言2-2 z变换的定义及收敛域2-3 z反变换2-4 z变换的基本性质和定理2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2-6 序列傅立叶变换及性质2-7 离散系统的系统函数及频率响应现在学习的是第2页，共77页2-1 2-1 引言引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算、卷积和、差分方程 的求解。现在学习的是第3页，共77页二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：z变换 序列傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换DFT(FFT)。z域分析、频域分析。现在学习的是第4页，共77页一、z变换定义 2-2 2-2 z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域 z变换式变换式 记作现在学习的是第5页，共77页二.收敛域 1.定义:使序列 的z变换 收敛的所有z值的集合称作 的收敛域。2.收敛条件：收敛的充要条件是绝对可和绝对可和。现在学习的是第6页，共77页为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即图2.1.1 环状收敛域jIm（z）Re（z）其中，称为收敛半径，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。因为 是复变量的函数，所以我们用复数 平面来表示。现在学习的是第7页，共77页常见的一类 变换是有理函数，即使 的那些 值称为 的零点，而使 的那些 值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。现在学习的是第8页，共77页(1).有限长序列2、序列形式与其z变换收敛域的关系现在学习的是第9页，共77页现在学习的是第10页，共77页x(n)n0n11.(3).右边序列收敛域现在学习的是第11页，共77页(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：现在学习的是第12页，共77页(5)左边序列x(n)0现在学习的是第13页，共77页(6)双边序列0nx(n)现在学习的是第14页，共77页其收敛域应包括即充满整个z平面。三、常用序列的z变换 1、单位样值序列现在学习的是第15页，共77页2、阶跃序列收敛域为 现在学习的是第16页，共77页3、单位斜变序列将上式两边对 求导得，两边同乘以 得，收敛域 现在学习的是第17页，共77页当时，这是无穷递缩等比级数。4.右边指数序列收敛域：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。现在学习的是第18页，共77页5、左边指数序列当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。现在学习的是第19页，共77页6、双边指数序列该序列的 变换为若 ，则上面的级数收敛，得到现在学习的是第20页，共77页 2-3 2-3 z反变换反变换一.定义：已知 及其收敛域,反过来求序列 的变换称作z反变换。记作：现在学习的是第21页，共77页z变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c现在学习的是第22页，共77页1、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）二.求z反变换的方法现在学习的是第23页，共77页 部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。现在学习的是第24页，共77页因此，可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；zk为 的各单极点，为 的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：通常，可表成有理分式形式：现在学习的是第25页，共77页解：的z反变换。例 利用部分分式法，求现在学习的是第26页，共77页现在学习的是第27页，共77页 2-4 2-4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性如果 ,则有：现在学习的是第28页，共77页例2-10 已知 ,求其z变换。解：现在学习的是第29页，共77页2.2.序列的移位序列的移位如果则有：例2-11 求序列 的z变换。现在学习的是第30页，共77页3.3.z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果，则证明：现在学习的是第31页，共77页4.4.序列的线性加权序列的线性加权(z域求导数域求导数)如果，则证明：现在学习的是第32页，共77页例2.3.3 求 的z反变换。解 将 两端对z求导得 依据移位性质得 再依据z域微分性质知 综合上述两式，得 现在学习的是第33页，共77页即所求序列为 现在学习的是第34页，共77页5.5.共轭序列共轭序列如果，则证明：现在学习的是第35页，共77页6.翻褶序列如果，则证明：现在学习的是第36页，共77页7.7.初值定理初值定理证明：现在学习的是第37页，共77页8.终值定理证明：现在学习的是第38页，共77页 又由于只允许 在 处可能有一阶极点，故因子 将抵消这一极点，因此 在上收敛。所以可取 的极限。现在学习的是第39页，共77页9.9.有限项累加特性有限项累加特性证明：现在学习的是第40页，共77页现在学习的是第41页，共77页差分：累加：现在学习的是第42页，共77页10.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)现在学习的是第43页，共77页证明：现在学习的是第44页，共77页例2-12解：现在学习的是第45页，共77页11.11.序列相乘序列相乘(z域卷积定理域卷积定理)其中,c是在变量v平面上，公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。现在学习的是第46页，共77页 12.12.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理(parseval)(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。如果则有:现在学习的是第47页，共77页*几点说明：这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理1.当 为实序列时2.当围线取单位圆 时，则3.当 时现在学习的是第48页，共77页2-5 2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号，为其理想抽样信号根据z变换的推导过程，可知：当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。即：或者：现在学习的是第49页，共77页 s平面用直角坐标表示为：z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，；这就是说，z的模只与s的实部相对应,z的相角只与s虚部 相对应。现在学习的是第50页，共77页00(1).与 的关系n ，即s平面的虚轴 ，即z平面单位圆；n ，即s的左半平面 ，即z的单位圆内；n ，即s的右半平面 ，即z的单位圆外。jImzRez现在学习的是第51页，共77页0jImzRez(2).与 的关系（）n 即s平面的实轴 即z平面正实轴；n 即s平行实轴的直线 即z始于原点的射线；n 即s宽的水平条带 即整个z平面。现在学习的是第52页，共77页2.5.2 2.5.2 z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为z平面的单位圆的参数，表示z平面的辐角，且 。现在学习的是第53页，共77页所以，序列在单位圆上的z变换为序列的傅氏变换。现在学习的是第54页，共77页2.5.3 常用信号的常用信号的z变换与拉氏变换、傅氏变变换与拉氏变换、傅氏变换换现在学习的是第55页，共77页2.5.1 2.5.1 定义定义反变换:2-62-6 序列的傅立叶变换（序列的傅立叶变换（DTFT）离散时间傅立叶变换收敛条件：收敛条件：现在学习的是第56页，共77页2.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性质的性质（1）周期性由序列的傅立叶变换公式：其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。现在学习的是第57页，共77页（2）DTFT的线性设那么式中a和b为常数。（3）DTFT 的时移和频移特性现在学习的是第58页，共77页（4）时域卷积定理设则（5）频域卷积定理设则现在学习的是第59页，共77页（6）帕塞瓦尔定理能量守恒（7）序列的翻褶与共轭现在学习的是第60页，共77页(8)DTFT的共轭对称性共轭对称序列 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。共轭反对称序列 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。序列可以分成共轭对称 部分与共轭反对称 部分现在学习的是第61页，共77页此时：对上面两式取DTFT，得到结论结论：序列的共轭对称部分 对应DTFT的实部，序列的共轭反对称部分 对应DTFT的虚部。现在学习的是第62页，共77页共轭分解序列共轭分解，对应频谱的实部和虚部分解序列的实部和虚部分解，对应频谱的共轭分解现在学习的是第63页，共77页2.6 利用z变换求解差分方程 1.零输入响应的z域求解对于线性移不变离散时间系统，在零输入条件下，即激励 时，其差分方程为，响应为 时的值，则初始条件为两边取单边z变换，并根据z变换的位移性质，可得现在学习的是第64页，共77页响应的序列可由z反变换求得现在学习的是第65页，共77页2.零状态响应的z域求解在零状态条件下，即 现在学习的是第66页，共77页3.全响应的z域求解现在学习的是第67页，共77页线性移不变系统 为单位抽样响应 称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2 2.7.7 离散系统的系统函数及频率响应离散系统的系统函数及频率响应2.7.1系统函数的定义现在学习的是第68页，共77页2.7.2 2.7.2 系统函数和差分方程的关系系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：现在学习的是第69页，共77页2.7.3 系统的频率响应系统的频率响应 系统的单位抽样响应 的傅氏变换也即单位圆上的z变换，称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：现在学习的是第70页，共77页正弦稳态响应正弦稳态响应 当系统输入为正弦序列时，则输出是同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度 的加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。输入：系统：响应：现在学习的是第71页，共77页2.7.4 利用 的零极点分析系统1系统的稳定性和因果性判定图2.7.1 因果稳定系统函数收敛域现在学习的是第72页，共77页 一线性移不变系统稳定的充要条件是 必须满足绝对可和：。z变换 的收敛域由满足 的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有 ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 ；而因果稳定系统的系统函数收敛域应包含 ，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。现在学习的是第73页，共77页2由零极点图分析系统的频率响应现在学习的是第74页，共77页模：相角：现在学习的是第75页，共77页2.2.几点说明几点说明 (1).表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量 。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。现在学习的是第76页，共77页零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。0。现在学习的是第77页，共77页