重积分的应用.pptx

1第六节一、平面图形的面积及立体体积一、平面图形的面积及立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的重心三、物体的重心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第1页/共34页2解：解：解：解：所求立体的体积为所求立体的体积为第2页/共34页3解：解：解：解：另解：另解：1.能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有对区域具有可加性可加性.分布在分布在有界闭域有界闭域上的整体量上的整体量.2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法-元素法元素法问题：满足什么条件的量可用重积分解决？问题：满足什么条件的量可用重积分解决？第3页/共34页4元素法的步骤：元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.元素法也可推广到三重积分上元素法也可推广到三重积分上第4页/共34页5 设曲面S的方程为曲面S在xoy面上的投影为区域D，如图，设小区域点(x,y)为S上过点M(x,y,z)的切平面，以的边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面S为截切平面为则有则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A无限积累而成.第5页/共34页6-曲面曲面曲面曲面S S的面积元素的面积元素的面积元素的面积元素因为为在xoy面上的投影，则有第6页/共34页7a ab b第7页/共34页8设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得曲面面积公式为：即 设曲面的方程为：第8页/共34页9xzy解：解：xoy例例1.求球面求球面，含在圆柱体，含在圆柱体内部的那部分面积内部的那部分面积.曲面方程：曲面方程：由对称性知：由对称性知：,第9页/共34页10 xoy面积为：面积为：第10页/共34页11二、重 心 设密度函数为的空间物体 V，在 V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T,是小块的质量可用近似代替,若 把每一块看作质量集中在的质点时,整个物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为在属于 T 的每一小块 上任取一点于 第11页/共34页12第12页/共34页13的重心坐标:当物体 V 的密度均匀分布时,即 为常数时，则有当自然地可把它们的极限定义作为 V 第13页/共34页14同样可以得到,密度函数为的平面薄板 D 的 重心坐标:当 为常数时，则有第14页/共34页15例2 求密度均匀的上半椭球体的重心.解 设椭球体由 表示.借助对 又由为常数,所以 称性知道故得 即求得上半椭球体的重心坐标为 第15页/共34页16因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算.第16页/共34页17得：得：第17页/共34页18例例3.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量第18页/共34页19第19页/共34页20第20页/共34页21第21页/共34页22 G 为引力常数推广到空间立体：设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数第22页/共34页23 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定二代一定 (与方向有关)第23页/共34页24与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内与路径无关，(4)在G内存在u(x,y),使(3)在G内，(2)使闭曲线在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立.第24页/共34页251.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式第25页/共34页26第二类曲线积分第26页/共34页27计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义闭区域D的面积第27页/共34页284.曲线积分曲线积分，其中，其中是是沿逆时针方向一周沿逆时针方向一周.3.设设L为从点为从点(1,1)到点到点(0,0)的直线段，则的直线段，则（A）；（；（B）3 ；（C）0 ；（D）第28页/共34页29第29页/共34页30第30页/共34页31解8.第31页/共34页32解第32页/共34页33第33页/共34页34感谢您的观看！第34页/共34页