运筹学线性规划问题与图解法.pptx
2 线性规划（LP:Linear Programming）问题与图解法 第1页/共21页2.1 问题的提出生产计划问题某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表产品A产品B资源限量劳动力设 备原材料9434510360200300利润元/kg70120第2页/共21页问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X23、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X10 X20第3页/共21页配料问题:每单位原料i含vitamin如下：原料 A B 每单位成本 1 4 1 0 2 2 6 1 2 5 3 1 7 1 6 4 2 5 3 8 每单位添 加剂中维生 12 14 8 素最低含量求：最低成本的原料混合方案第4页/共21页解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1+5x2+6x3+8x4 4x1+6x2+x3+2x4 12 x1+x2+7x3+5x4 14 2x2+x3+3x4 8 xi 0(i=1,4)第5页/共21页线性规划问题的基本特征决策变量：向量(x1 xn)T 代表一个具体的方案，一般有xi非负约束条件：线性等式或不等式目标函数：Z=(x1 xn)线性式，求Z极大（Max）或极小(Min)第6页/共21页线性规划问题的一般形式Max(min)Z=C1X1+C2X2+CnXna11X1+a12X2+a1nXn (=,(=,)b)b1 1a21X1+a22X2+a2nXn (=,(=,)b)b2 2 am1X1+am2X2+amnXn (=,(=,)b)bm mXj j 0(0(j=1,n)第7页/共21页简写式第8页/共21页向量式第9页/共21页其中：C=(c1,c2,cn)价值向量X=(x1,x2,xn)T决策向量Pj=(a1j.a2j,amj)T系数向量B=(b1,b2,bn)T 资源向量第10页/共21页矩阵式其中系数矩阵第11页/共21页2.2线性规划问题的图解法1图解法用于求解两个决策变量的线性规划问题，图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。如：maxZ=70X1+120X2 人力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X10 X20第12页/共21页 .90 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 x1 x29x1+4x2 3604x1+5x2 200 3x1+10 x2 300ABCDEFGHIZ=70 x1+120 x2第13页/共21页图中阴影部分为可行域（满足约束条件的点的集合）可行解：满足约束条件的解可行域是可行解的集合当等值线Z=70 x1+120 x2 平行移动到 H点时Z取得最大值 此时，x1=20,x2=24Z=70*20+120*24 设备和原材料恰好使用完，而人力节余84个单位即：设备约束和原材料约束条件取等号，而人力约束条件仍然取不等号 第14页/共21页2线性规划问题的解可行解：满足约束条件的解X=(x1,x2,xn)F可行域:可行解的集合(线性规划问题的可行域一般为凸集)最优解：使目标函数达到最优的可行解若线性规划问题有唯一最优解，则最优解一定在可行域的顶点处取得第15页/共21页线性规划问题可能存在无穷多个最优解（若线性规划问题有两个最优解，则一定有无穷多个最优解）线性规划问题可能存在无界解（即无最优解）线性规划问题可能存在无可行解（此时无最优解，可行域为空集）第16页/共21页3 线性规划问题的标准型目标函数极大化（或极小化）约束条件为等式，且右端常数全为非负决策变量非负第17页/共21页化标准型maxZ=70X1+120X2 maxZ=70X1+120X2+0S1+0s2+0s3 9X1+4X2360 9X1+4X2+S1 =360 4X1+5X2 200 4X1+5X2 +s2 =200 3X1+10X2 300 3X1+10X2 +s3=300 X10 X20 Xj0 j=1,2 其中S1，s2，s3 0为松弛变量第18页/共21页化标准型minZ=x1+2x2-3x3 maxZ=x12x2+3(x3x”3)x1+x2+x3 9 x1+x2+x3 x”3+s1=9-x1-2x2+x3 2 x12x2+x3 x”3 s2=2 3x1+x2-3x3=5 3x1+x23(x3 x”3)=5 x1 0 x2 0 x3无约束 x1 0 x2 0 x3 0 x”3 0 s10 s2 0 其中s1 为松弛变量，s2为剩余变量 x3x3x”3+0s1+0s2第19页/共21页线性规划的标准型 下列情况具体处理若要求目标函数求最大化若约束方程为不等式：非负松弛变量，非负剩余变量若变量不是非负：非正，自由变量，右边为非正任何形式的线性规划模型都可以化为标准型。第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页
