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_高等数学_课程教案授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章 第一节 微分中值定理本授课单元教学目标或要求：1 掌握罗尔定理、拉格郎日中值定理与柯西中值定理这三个的内容。2 了解上述三个定理之间的区别与联系。3 掌握罗尔定理与拉格郎日中值定理的应用，特别是用拉格郎日中值定理证明不等式。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：首先介绍费马引理，然后分别叙述罗尔定理、拉格郎日中值定理与柯西中值定理并给出证明；阐明三个定理之间的关系，即罗尔定理是拉格郎日中值定理的特例，而拉格郎日中值定理又是柯西中值定理的特例；强调上述三个定理前提条件的不同。讲授如何应用罗尔定理、拉格郎日中值定理解决问题。重点：1 费马引理的证明。2 罗尔定理、拉格郎日中值定理与柯西中值定理这三个定理的证明。3 用罗尔定理解决关于多项式方程实根个数的问题。4 用拉格郎日中值定理证明不等式。难点：1 用导数定义证明费马引理。2 如何构造函数来证明拉格郎日中值定理和柯西中值定理。3 用拉格郎日中值定理证明不等式。引导学生解决重点难点的方法：在讲解费马引理的证明的同时带领同学们复习导数定义，导数定义是很基本的但又是容易被忽略的，通过费马引理的证明让同学们对导数的定义有更深的认识。还可以从几何直观上解释费马引理，根据导数的几何意义，分析出在过函数图象上一点（0 x，0y）的切线斜率即非负又非正，所以只能为零，斜率为零，导数就为零。同样地，在讲解拉格郎日中值定理的证明时也要结合图形，直观的图形有助于学生理解证明思路。在讲解构造辅助函数时，要启发学生构造辅助函数的思路，引导学生自己思考一下这个问题，然后给出课本上构造的方式，即要构造出符合罗尔定理条件的辅助函数来，只要函数构造好了，证明也就完成了。在讲解如何用拉格郎日中值定理证明不等式时，要说明解题的关键是构造函数，因为拉格郎日中值定理是对函数来说的，而在题目中并没有给出函数来，其实这类题目只要能正确得写出函数，那么题目基本上就没什么问题了，那么正确构造函数的能力是要通过做一定量的习题才能达到的。所以在课堂上要讲授这方面的例题，并督促学生做这方面的习题。例题：1 不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf导数，说明方程0)(xf有几个实根，并指出它们所在的区间。2 证明当0 x时，xxxx)1ln(1。本授课单元教学手段与方法：课堂讲授费马引理和三个中值定理的内容和证明，借助几何图形帮助同学理解定理的证明过程。并将几个定理的证明过程进行比较。通过例题的讲解使同学深化理解中值定理。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 132 页，1，8，10，11（2），12。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章 第二节 洛比达法则本授课单元教学目标或要求：掌握洛比达法则，会用洛比达求函数的极限。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：讲授00型与型的洛比达法则，并证明当ax 时00型的洛比达法则，并讲授其他类型的未定型，如：0、00、1、0型的未定型。重点：1 当ax 时00型的洛比达法则的证明。2ax 或x时00型与型用洛比达法则求极限的方法。3 将0、00、1、0型的未定型转化为00型或型然后再用洛比达法则求极限。4 各种例题。难点：1 在用中值定理证明当ax 时00型的洛比达法则时，假设当0)()(aFaf，这个假设比较难让学生完全体会到它的用处以及为什么可以这样用。2 洛比达法则所要求的条件，尤其是第三个条件，即)()(limxFxf一定要存在。3 将0、00、1、0型的未定型转化为00型或型。4 在解题时分子与分母部分的函数表达式如何确定以及如何尽量简化计算。引导学生解决重点难点的方法：在证明当ax 时00型的洛比达法则时再回顾一下中值定理，强调一定要对)(xf和)(xF这两个函数进行补充定义才可以用中值定理。讲解例题的时候强调洛比达法则所必须满足的三个条件，讲解一个不满足条件但强行用洛比达法则导致一个明显错误结果的例题。如何确定分子与分母函数是解题经验问题，要通过做习题才能达到。将0、00、1、0型的未定型转化为00型或型也需要做足够的习题才可以。例题：1 求)0(sinsinlim0bbxaxx。3nxxxlnlim。3 求xxx1arctan2lim。4xnxexlim。5 求)0(lnlim0nxxnx。6 求xxx 0lim。本授课单元教学手段与方法：课堂讲授00型与型的洛比达法则，详细证明当ax 时00型的洛比达法则。通过具体的例第页，共页题讲解如何将0、00、1、0型的未定型转化为00型与型的未定型。通过具体例题讲解如何选择正确的未定型及如何简化运算。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 137 页，1（5）（9）（10）（13）（14）（15），2，3本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页_高等数学_课程教案授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性本授课单元教学目标或要求：1 掌握可导函数的单调性与函数导数符号之间的联系。并能应用这个联系解决问题。2 掌握曲线的凹凸性的定义；曲线的凹凸性的判别法，即定理 2。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：用可导函数的导数符号来确定单调性区间，并证明这一判别法，即证明定理 1。确定函数单调性的例题。用定理 1 证明不等式的例题。凹凸性的定义；曲线的凹凸性的判别法，即用函数的二阶导数来判别函数的凹凸性。重点：1 定理 1 的证明。2 利用定理 1 判别函数的单调性，以及如何找函数的单调区间，单调区间的分界点如何确定。3 利用定理 1 证明不等式。4 定理 2 及证明。难点：1 利用定理 1 证明不等式。2 定理 2 的证明。引导学生解决重点难点的方法：定理 1 的证明用几何直观的方式辅以图形来说明，根据导数的几何意义定理 1 的内容非常容易理解。通过例题讲解如何利用定理 1 找函数的单调区间时，强调找单调区间分界点的方法。通过例题讲解如何利用定理 1 证明不等式，着重讲解如何确定函数表达式。用几何直观的方式来解释定理 2 的内容。在给出严格证明之前，先给学生一个直观的感受，在直观上能感受到定理 2 应该是正确的，然后再严格证明它。证明定理 2 的时候让学生体会拉格朗日中值定理在证明定理 2 时的独特用法。例题：1 讨论函数32xy 的单调性。2 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间。3 证明：当1x时，xx132。本授课单元教学手段与方法：课堂讲授定理 1 与定理 2 的证明，并辅助以图形说明，以便于学生理解和记忆定理的内容。通过讲解例题让学生掌握如何用定理 1 确定函数的单调区间和证明不等式。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 151 页，3（1）（4）、4（2）（4）。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页_高等数学_课程教案授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值本授课单元教学目标或要求：会用定理 2 判别曲线的凹凸性，掌握拐点的定义及会判别曲线的拐点。掌握极值点的定义，以及函数极值点的必要条件、熟悉驻点的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：复习定理 2，根据例题讲解如何用定理 2 判别曲线的凹凸性。讲解拐点的定义，根据例题讲解如何找到曲线的拐点。讲解函数极值与极值点的定义，讲解并函数取得极值的必要条件。介绍驻点的概念。重点：1 用定理 2 判别曲线的凹凸性。2 找曲线的拐点。3 极值与极值点的定义。4 函数取得极值的必要条件。难点：极值与极值点的定义。函数极值与极值点的定义中包含很多细节性的东西，极值是局部性的概念，只是在极值点的某个邻域才能成立，学生比较难于理解“某个邻域”的意思。引导学生解决重点难点的方法：在讲解如何用定理 2 判别曲线的凹凸性时，多举例子，这个东西熟悉了就可以掌握。在讲解如何找曲线的拐点时，也要多举例子。在讲解极值与极值点的定义时，要说明极值与极值点的局部性，因为刚接触这一概念，学生很可能把极小值与极大值当做最小值与最大值。然后说明极值的所谓局部性是指在极值点的某一邻域成立即可。最后强调极值定义中的不等式是不是严格不等式。例如极小值定义要求在极值点0 x的某邻域内有)()(0 xfxf成立，这里的不等式是严格成立的。这一点是极小值（极大值）与最小值（最大值）定义上的一个区别。在讲解函数取得极值的必要条件时，结合图形，在直观上解释给学生，并要强调驻点是函数极值点的必要条件，并且这个必要条件成立也是有条件的，即函数是可导的。给出不可导点并且是驻点的具体例子，以让学生都这个必要条件有更深刻的认识。例题：1 判定曲线xyln的凹凸性。2 判定曲线3xy 的凹凸性。3 求曲线14123223xxxy的拐点。4 求曲线14334xxy的拐点及凹、凸的区间。5 求曲线3xy 的拐点。本授课单元教学手段与方法：结合众多详细的例题来讲解如何用定理 2 判别曲线的凹凸性及如何找到曲线的拐点。在讲解极值与极值点的定义时要结合图形说明这个概念的局部性。在讲解函数取得极值的必要条件时要举函数在不可导点取得极值的例子，帮助学生更好得理解这一定理。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 151 页 7（4）、8（3）、9（2）、11本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页_高等数学_课程教案授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第五节函数的极值与最大值最小值本授课单元教学目标或要求：掌握函数极值点的第一充分条件与第二充分条件，并会应用第一充分条件与第二充分条件求函数的极值与极值点本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：讲解函数取得极值的第一和第二充分条件的内容，并证明函数取得极值的第一和第二充分条件。讲授如何利用第一和第二充分条件来求函数的极值与极值点。重点：1 函数取得极值的第一充分条件的内容与证明。2 函数取得极值的第二充分条件的内容与证明。3 利用第一充分条件求函数的极值与极值点。4 利用第二充分条件求函数的极值与极值点。难点：1 如何让学生理解导数符号的变化与函数值变化的关系，因为本章是关于导数的应用，那么把握导数符号的变化与函数值之间的关系是本质的东西。2 第一充分条件的证明。3 第二充分条件的证明。引导学生解决重点难点的方法：结合以前学过的函数（可导函数）导数与单调性的关系，并辅之以图形帮助同学理解导数符号的变化与函数值变化的关系。让学生在接触第一充分条件与第二充分条件的严格证明之前，先从直观上把握这两个充分条件的内容，并意识到这是由函数导数的性质推导出的函数本身的性质，这就是函数导数的应用。在讲解如何利用这两个充分条件求函数的极值与极值点时，要多举些例子，在举例子的时候说明这两个充分条件在应用时的联系和区别，即对某些函数这两个充分条件都可以用，但是一般上来说，在这两个条件都可用的时候，用第二个充分条件步骤必较简单。还有对某些函数第二个充分条件失效，原因有二：一是函数没有二阶导数，另一是函数在极值点出的二阶导数为零。在第二个充分条件失效时就只能用第一个充分条件来求函数的极值与极值点。例题：1 求函数32)1()4()(xxxf的极值。2 求函数1)1()(32 xxf的极值。3 求函数25431)(xxxf的极值。本授课单元教学手段与方法：在证明函数取得极值的第一充分条件与第二充分条件的时候要结合图形帮助学生在直观上理解如何利用导数来判断函数的性质。通过讲解例题帮助学生掌握如何用第一充分条件与第二充分条件求函数的极值与极值点，在讲例 1 与例 2 时对比说明第一充分条件与第二充分条件在应用时的区别。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 160 页 1（4）（7）（8）（10）、3本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页_高等数学_课程教案授课类型_理论课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第五节 函数的极值与最大值最小值 第六节 函数图形的描绘本授课单元教学目标或要求：掌握函数的最大值与最小值的定义。理解函数的最大值与最小值的定义与函数极值定义的区别与联系；会求闭区间上连续函数的最大值与最小值，会解求最大值或最小值的应用题。掌握描绘函数图形的一般步骤。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：介绍函数的最大值与最小值的定义；讲解求闭区间上连续函数的最大值与最小值的一般步骤；讲解如何求最大值或最小值的应用题；讲解描绘函数图形的一般步骤。重点：1 求闭区间上连续函数的最大值与最小值的一般步骤。2 求最大值或最小值的应用题。3 描绘函数图形的一般步骤。难点：1 函数的最大值与最小值的定义与函数极值定义的区别与联系。2 如何让同学理解求闭区间上连续函数的最大值与最小值的一般步骤。因为在闭区间内部最大值最小值一定是极值，学生在学了求极值的方法后，在这里又不用求极值的充分条件，而是用必要条件找出所有驻点和不可导点。还有为什么要把端点考虑近来。3 具体的求最大值或最小值应用题的解法。引导学生解决重点难点的方法：通过详细比较极值与最大（小）值定义，来找出函数的最大值与最小值的定义与函数极值定义的区别与联系。然后得出在闭区间内部最大值最小值一定是极值，再通过举例说明在闭区间的左右端点处也可以取到最大（小）值，那么就很自然得得出了在求闭区间上连续函数的最大值与最小值的一般步骤。然后再解释在这个一般步骤里面为什么只要找到区间内部所有的不可导点和驻地就可以了，为什么不必进一步求出所有的极值点。应用题的解法关键是要能从文字中提炼出一个恰当的函数表达式，然后对这个函数求最大（小）值。在讲函数图形的描绘时，结合一个例子按照步骤描绘出函数的图象，这样有助于学生记住这些步骤。例题：1 求函数23)(2xxxf在-3，4上的最大值与最小值。2 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁。问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？3 画出函数1)(23xxxxf的图形。4 画出函数2221)(xexf的图形。本授课单元教学手段与方法：在讲解函数的最大值与最小值的定义与函数极值定义的区别与联系的时候要结合图形帮助学生在直观上理解。通过讲解例题帮助学生掌握如何用求闭区间上连续函数的最大值与最小值的一般步骤来求函数的最大值。本授课单元思考题、讨论题、作业：教材第 160 页 4（1）（3）、5、7、9、15教材第 166 页 1本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第页，共页_高等数学_课程教案授课类型_习题课_授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章小结、习题课本授课单元教学目标或要求：复习第三章主要内容，进一步熟练有关本章的习题。讲解部分课后作业。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：关于用中值定理证明不等式的习题；用洛比达法则求未定型的极限；利用函数单调性证明不等式；求函数的极值；求函数最大（小）值；求函数最大（小）值的应用题；重点：1 用罗尔中值定理证明多项式函数实数解的情况。2 用中值定理证明不等式的习题。3 用洛比达法则求未定型的极限。4 利用函数单调性证明不等式。5 求函数最大（小）值的应用题。难点：1 用中值定理证明不等式的习题。2 用洛比达法则求未定型的极限。3 求函数最大（小）值的应用题。引导学生解决重点难点的方法：根据批改作业的情况，了解学生问题集中的地方，然后选择一部分课后作业在课堂上讲。通过详解例题来让学生熟悉关于这些题目的要点。关于用中值定理证明不等式的习题，利用函数单调性证明不等式习题和求函数最大（小）值的应用题习题，这三类问题都有共同点就是都是要找出函数表达式，只要恰当的函数表达式找到后，题目基本上就能按照步骤做出来，至于如何才能找到恰当的函数表达式，就要多做些练习。可以找些难度大的题目让学生练习一下。例题：1 求xxx)arctan2(lim。2 当0 x时，xxx1arctan)1ln(。3 设0,20,)(2xxxxxfx，求)(xf的极值。4 作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值。本授课单元教学手段与方法：在课堂上讲授学生问题集中的地方，让学生对自己易犯错误的地方印象深刻一点。然后在课堂上讲授一些难度比课后习题大的题目。可以讲些考研的真题，让对本章知识掌握比较好的学生看到考研对题目难度的要求，起到一个激励的作用。本授课单元思考题、讨论题、作业：设2ebae，证明)(4lnln222abeab。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学全真课堂 詹瑞清，卢海敏 学苑出版社 2004。注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。