高考数学一轮复习配餐作业54椭圆的概念及其性质含解析理.doc

1配餐作业配餐作业( (五十四五十四) ) 椭圆的概念及其性质椭圆的概念及其性质(时间：40 分钟)一、选择题1已知ABC的顶点B、C在椭圆y21 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的x2 3另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是( )A2 B63C4 D123解析 如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4。故选 C。 3答案 C2(2016·广东适应性测试)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，椭圆上一点Px2 a2y2 b253到两焦点的距离之和为 12，则b( )A8 B6C5 D4解析 由题意得 2a12，e ，解得a6，c2，所以b4，故选c a535a2c2D。答案 D3(2016·湖北八校二联)设F1，F2为椭圆1 的两个焦点，点P在椭圆上，若x2 9y2 5线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )|PF2| |PF1|A. B.5 145 13C. D.4 95 9解析 由题意知a3，b。由椭圆定义知|PF1|PF2|6。在PF1F2中，因为5PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2x轴，所以2|PF2| ，所以|PF1|6|PF2|，所以，故选 B。b2 a5 313 3|PF2| |PF1|5 13答案 B4(2016·呼和浩特调研)设直线ykx与椭圆1 相交于A，B两点，分别过x2 4y2 3A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于( )A. B±3 23 2C± D.1 21 2解析 由题意可得，c1，a2，b，不妨取A点坐标为，则直线的斜3(1， ±3 2)率k± 。故选 B。3 2答案 B5设椭圆1 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2是直角三角形，则x2 4y2 3PF1F2的面积为( )A3 B3 或3 2C. D6 或 33 2解析 a2，b，c1，则点P为短轴顶点(0，)时，F1PF2，PF1F2是正33 3三角形，若PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|，SPF1F2 ··2c 。故选 C。b2 a3 2(或|PF2|b2 a)1 2b2 ab2c a3 2答案 C6(2017·郑州模拟)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2x2 a2y2 b2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A. B2223C.2 D.563解析 设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m。由椭圆的定义可得ABF1的周长为 4a，即有24a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在 RtAF1F2中，2223|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即222c()a，即e ，故选 D。63c a63答案 D二、填空题7直线x2y20 过椭圆1 的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为x2 a2y2 b2_。解析 直线x2y20 与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2。直线x2y20 与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1。故a2b2c25，椭圆方程为y21。x2 5答案 y21x2 58点P是椭圆1 上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径x2 25y2 16为 1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_。解析 由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2 (|PF1|PF2|F1F2|)·11 2 |F1F2|·yP3yP8，1 2所以yP 。8 3答案 8 39(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的x2 a2y2 b2右焦点，直线y 与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是b 2_。解析 由题意可得B，C，F(c,0)，则由BFC90°得·(32a，b2)(32a，b2)BFCF·c2a2b20，化简得ca，则离心率(c32a，b2) (c32a，b2)3 41 4324e 。c a2363答案 63三、解答题10已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是 2。3(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点。当|PM|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围。解析 (1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)。x2 a2y2 b2由题意知Error!解得Error!所以椭圆方程为1。x2 16y2 12(2)设P(x0，y0)，且1，x2 0 16y2 0 12所以|PM|2(x0m)2y2 0x2mx0m2122 0(1x2 0 16)x2mx0m2121 4 2 0 (x04m)23m212(4x04)。1 4所以|PM|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为x04m。由题意知，当x04 时，|PM|2最小，所以 4m4，所以m1。又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以 1m4。答案 (1)1 (2)1,4x2 16y2 1211如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(a>b>0)的左、右x2 a2y2 b2焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C。5(1)若点C的坐标为，且|BF2|，求椭圆的方程；(4 3，1 3)2(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值。解析 (1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|a，又C，所以b2c22(4 3，1 3)1，解得b1。(4 3)2 2(1 3)2 b2所以椭圆方程为y21。x2 2(2)直线BF2的方程为 1，与椭圆方程1 联立组成方程组，解得A点坐标x cy bx2 a2y2 b2为，则C点坐标为，(2a2c a2c2，b3 a2c2)(2a2c a2c2，b3 a2c2)kF1C。b3 a2c2 2a2c a2c2cb3 3a2cc3又kAB ，由F1CAB得·1，即b43a2c2c4，b cb3 3a2cc3(b c)所以(a2c2)23a2c2c4，化简得e 。c a55答案 (1)y21 (2)x2 255(时间：20 分钟)1(2017·深圳模拟)过椭圆1 的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，Fx2 25y2 16是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是( )A14 B16C18 D20解析 F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF1的周长为6|PF1|F1Q|PQ|PF1|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF1即PQF的周长取得最小值为102×418。故选 C。答案 C2(2016·浙江高考)已知椭圆C1：y21(m>1)与双曲线C2：y21(n>0)的焦x2 m2x2 n2点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )Am>n且e1e2>1Bm>n且e1e21Dmn，又(e1e2)2··1>1，所以e1e2>1。故选 A。m21 m2n21 n2n21 n22n21 n2n42n21 n42n21 n42n2答案 A3(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆C的方程为1，A，B为椭圆C的左、x2 4y2 3右顶点，P为椭圆C上不同于A，B的动点，直线x4 与直线PA，PB分别交于M，N两点，若D(7,0)，则过D，M，N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为_。解析 设点P(x0，y0)，M(4，yM)，N(4，yN)，则直线PA，PB所在的直线方程分别为y(x2)，y(x2)，依题意，可求得yM，yN。y0 x02y0 x026y0 x022y0 x02(3，yM)，(3，yN)，DMDN·9，DMDN12y2 0 x2 04又1，123x4y，即9，x2 0 4y2 0 32 02 012y2 0 x2 04·0，MN为过D，M，N三点的圆的直径。DMDN设定点为E(t,0)，则MN为线段DE的垂直平分线，又线段MN为圆的直径，令圆心为F(4，a)，可得|EF|FD|，即，解得4t2a02472a02t1 或 7(舍)，所以定点坐标为(1,0)。答案 (1,0)4(2016·浙江高考)如图，设椭圆y21(a>1)。x2 a27(1)求直线ykx1 被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围。解析 (1)设直线ykx1 被椭圆截得的线段为AP，由Error!得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2。2a2k 1a2k2因此|AP|x1x2|·。1k22a2|k| 1a2k21k2(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|。记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1k2。由(1)知，|AP|，|AQ|，2a2|k1| 1k2 11a2k2 12a2|k2| 1k2 21a2k2 2故，2a2|k1| 1k2 11a2k2 12a2|k2| 1k2 21a2k2 2所以(kk)1kka2(2a2)k k0。2 12 22 12 22 1 2 2由于k1k2，k1，k2>0 得1kka2(2a2)k k0，2 12 22 1 2 2因此1a2(a22)，(1 k2 11)(1 k2 21)因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)>1，所以a>。2因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1<a，2由e 得，c aa21a所求离心率的取值范围为 0<e。22答案 (1)· (2)2a2|k|1a2k21k2(0，228