高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题教师用书理苏教.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题教师用书理苏教中的概率与统计问题教师用书理苏教1(2017·淮安月考)一射手对同一目标进行 4 次射击，且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为_答案 2 3解析 设此射手未命中目标的概率为 p，则 1p4，所以 p，故 1p.2在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率是_答案 4解析 依题意可行域为正方形，输出数对(x，y)形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为 P.3红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件“每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后”为事件 A，则事件 A 发生的概率为_答案 1 8解析 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，基本事件总数 n2×2×28.每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件 A，则事件 A 包含的基本事件个数 m1，事件 A 发生的概率 P.2 / 124设集合 P2，1,0,1,2，xP 且 yP，则点(x，y)在圆x2y24 内部的概率为_答案 9 25解析 以(x，y)为基本事件，可知满足 xP 且 yP 的基本事件有25 个若点(x，y)在圆 x2y24 内部，则 x，y1,1,0，用列表法或坐标法可知满足 x1,1,0且 y1,1,0的基本事件有9 个所以点(x，y)在圆 x2y24 内部的概率为.5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次，得到茎叶图如图所示从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派_(填甲或乙)运动员合适答案 甲解析 根据茎叶图，可得甲×(787981849395)85，乙×(758083859295)85.xs×(7885)2(7985)2(8185)2(8485)2(9385)2(9585)2，s×(7585)2(8085)2(8385)2(8585)2(9285)2(9585)2.因为甲乙，s<s，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适. 题型一 古典概型与几何概型例 1 (1)(2016·山东)在1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_3 / 12(2)若任意 xA，则A，就称 A 是“和谐”集合，则在集合M1,0， ， ，1,2,3,4的所有非空子集中， “和谐”集合的概率是_答案 (1) (2)1 17解析 (1)由已知得，圆心(5,0)到直线 ykx 的距离小于半径，<3，解得<k<，由几何概型得 P.(2)由题意， “和谐”集合中不含 0 和 4，而 2 和，3 和成对出现，1和1 可单独出现，故“和谐”集合分别为1，1，1,1，2，3，1,3，1,2，1,2，1,3，3， ，2，2， ，1，1，3， ，1，1，1,3， ，2，1,3， ，2，3， ，2， ，1，1，共 15 个，而集合 M 的非空子集有 281255 个，故“和谐”集合的概率是 P.思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏(1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_(2)已知函数 f(x)x2bxc，其中 0b4,0c4，记函数 f(x)满足条件为事件 A，则事件 A 发生的概率为_答案 (1) (2)5 8解析 (1)基本事件共有 36 个列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，4 / 12(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于 10 的有 30 个故所求概率为 P.(2)即为作出 0b4,0c4 及表示的区域(图略)，由几何概型概率公式得所求概率为 P.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例 2 某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为 1,2,3，10 的十个小球活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金 30元；三球号码都连号为二等奖，奖金 60 元；三球号码分别为 1,5,10为一等奖，奖金 240 元；其余情况无奖金(1)求员工甲抽奖一次所得奖金 的概率分布与均值；(2)若员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，则他中奖次数 的方差是多少？解 (1)由题意知甲抽奖一次，基本事件总数是 C120，奖金 的可能取值是 0,30,60,240，P(240)，P(60)，P(30)，P(0)1.故 的概率分布为03060240P11 247 151 151 120E()0×30×60×240×20.5 / 12(2)由(1)可得乙抽奖一次中奖的概率是 1，四次抽奖是相互独立的，中奖次数 B(4，)，V()4××.思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应(2016·泰州模拟)为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队 A，B，C，D 中选出 12 人组成校男子篮球队，队员来源如下表：队别ABCD人数4323(1)从这 12 名队员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；(2)比赛结束后，学校要评选出 3 名优秀队员(每一个队员等可能被评为优秀队员)，设其中来自 A 队的人数为 ，求随机变量 的概率分布和均值解 (1)“从这 12 名队员中随机选出两名，两人来自同一个队”记作事件 A，则 P(A).(2) 的所有可能取值为 0,1,2,3.因为 P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以 的概率分布为01236 / 12P14 5528 5512 551 55E()0×1×2×3×1.题型三 概率与统计的综合应用例 3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的均值解 (1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当 X130,150时，T500×13065 000.所以 TError!(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得 T 的概率分布为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 E(T)45 000×0.153 000×0.261 000×0.365 7 / 12000×0.459 400.思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100后得到如图所示的频率分布直方图(1)求图中实数 a 的值；(2)若该校高一年级共有 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数；(3)若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率解 (1)由已知，得 10×(0.0050.0100.020a0.0250.010)1，解得 a0.03.(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于 60 分的频率为110×(0.0050.010)0.85.由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为 640×0.85544.(3)易知成绩在40,50)分数段内的人数为 40×0.052，这 2 人分别记为 A，B；成绩在90,100分数段内的人数为 40×0.14，这 4 人分别记为 C，D，E，F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，8 / 12(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15 个如果 2 名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100分数段内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.记“这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M，则事件M 包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 7 个，故所求概率 P(M).1(2016·陕西西北工业大学附中二模)甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏：口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢游戏：口袋中有质地、大小完全相同的 6 个球，其中 4 个白球、2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢(1)求游戏中甲赢的概率；(2)求游戏中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，请说明理由解 (1)游戏中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×525(个)，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13 个基本事件，游戏中甲赢的概率为 P.(2)设 4 个白球为 a，b，c，d,2 个红球为 A，B，则游戏中有放回地依次摸出两球，基本事件有 6×636(个)，其中乙赢有(a，A)，9 / 12(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共 16 个基本事件，游戏中乙赢的概率为 P.|<|，游戏更公平2某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率解 (1)样本平均值为22.171920212530 6(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为，故推断该车间 12 名工人中有 12×4(名)优秀工人(3)设事件 A：“从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1 名优秀工人” ，则 P(A).3一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 b，c.(1)z(b3)2(c3)2，求 z4 的概率；(2)若方程 x2bxc0 至少有一根 x1,2,3,4，就称该方程为“漂亮方程” ，求方程为“漂亮方程”的概率解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个10 / 12当 z4 时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以 P(z4).(2)若方程一根为 x1，则 1bc0，即 bc1，不成立若方程一根为 x2，则 42bc0，即 2bc4，所以Error!若方程一根为 x3，则 93bc0，即 3bc9，所以Error!若方程一根为 x4，则 164bc0，即 4bc16，所以Error!由知(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“漂亮方程”的概率为 P.4(2016·南京、盐城、徐州联考)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有 2 名男生、3 名女生，乙组有 3 名男生、1 名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选 2 名成员参加某项活动(1)求选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数，求 X 的概率分布和均值解 (1)选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C·C·CCCC21 种(2)X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).11 / 12所以 X 的概率分布为X0123P1 207 209 203 20E(X)0×1×2×3×.5某班甲、乙两名同学参加 100 米达标训练，在相同条件下两人 10次训练的成绩(单位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出茎叶图如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在11.5,14.5之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率解 (1)甲、乙两人 10 次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好(2)设甲同学的成绩为 x，乙同学的成绩为 y，则|xy|<0.8，得 x0.8<y<0.8x，如图，阴影部分面积即为 3×32.2×2.24.16，则 P(|xy|<0.8)P(x0.8<y<0.8x).*6.一次考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个是正确的评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得 512 / 12分，不答或答错得零分” 某考生已确定有 8 道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜请求出该考生：(1)得 60 分的概率；(2)所得分数 X 的概率分布和均值解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A， “有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件 B， “有一道题不理解题意”选对为事件 C，P(A)，P(B)，P(C)，得 60 分的概率为 P×××.(2)X 可能的取值为 40,45,50,55,60.P(X40)×××；P(X45)C××××××××××；P(X50)×××C××××C×××××××；P(X55)C××××××××××；P(X60)×××.故 X 的概率分布为X4045505560P1 817 4817 487 481 48E(X)40×45×50×55×60×1 48.