重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）.pdf

秘密启用前秘密启用前 20222023 学年度上期学情调研学年度上期学情调研高二数学试题卷高二数学试题卷注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共一、选择题；本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21.该数列的特点是:前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 na称为“斐波那契数列”，则2332132243334201520172016a aaa aaa aaaaaA1B2017C-1D-20172古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆若用面积为 144 的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切设椭圆在平面直角坐标系中的方程为22221(0)xyabab，下列选项中满足题意的方程为（）A2218116xyB2216581xyC22110064xyD22164100 xy3若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A=1xB2x C1x D4x 4已知 na是等差数列，若11a，33a，55a 成等比数列，且公比为q，则q（）A3B3C1D15在等比数列 na中，28,a a为方程240 xx的两根，则357a a a的值为（）A B C D36我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小 3 岁，九个儿子共 207 岁，问老大是多少岁?（）A38B35C32D297已知双曲线220022:10,0,xyCabP xyab是直线20bxaya上任意一点，若圆22002xxyy与双曲线C的右支没有公共点.则双曲线C的离心率的取值范围是（）A1,2B1,2C2,D42,8数列 na满足11a，对任意的*Nn都有11nnaaan，则122016111.aaa（）A20152016B20162017C40342017D40322017二、选择题；本题共二、选择题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9记nS为等差数列na的前n项和，nT为数列 nb的前n项和，且11,*.nnna abnN若40,S 55a，则（）A25nanB24nSnnC16nT D5nnab的最大值为210关于函数 xf xe，lng xx下列说法正确的是（）A对0 x，1g xx恒成立B对x R，f xex恒成立C若abe，ag bbg aD若不等式 f axaxxg x对1x 恒成立，则正实数a的最小值为1e11设数列 na是公差为d等差数列，nS为其前 n 项和，10a，且20202023SS，则（）A0d B20220aC56SSD2021S，2022S为nS的最小值12已知双曲线22:1169xyC，下列结论正确的是（）A双曲线 C 的渐近线方程为34yx=B双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为3C若直线 l 与 C 相交于 A、B 两点且 AB 的中点为8,3，则 l 的斜率为32D若直线ykx与 C 没有交点，则k的取值范围是33,44 三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13顶点在原点，经过圆2222 20Cxyxy：的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为_14数列na满足11a，22a，且2221 sin2cos22nnnnaa（*nN），则2020a_.15在ABC中，,a b c分别为角,A B C的对边，已知2221coscossinsin sin4ABCBC，且ABC的面积为3，则a的值为_16已知an是公差不为零的等差数列，a514，且 a1，a3，a11成等比数列，设 bn(1)n1an，数列bn的前 n项的和为 Sn，则 S2 021_.四、解答题；本题共四、解答题；本题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列 na满足132a，111,213,2nnnannkaank，其中*kN记2112nnban，*nN（1）求证：数列 nb是等比数列；（2）记212212nnnSaaaa，试比较2(1)133nnS与233nnS的大小，并说明理由18已知数列 na的前n项和为nS，12nnaaS，且12a.（1）求 na的通项公式；（2）若21 lognnbna，求221nnb的前n项和nT.19对于数列 A：a1，a2，a3，定义 A 的“差数列”A：213243,aa aa aa，（I）若数列 A：a1，a2，a3，的通项公式121nna，写出A 的前 3 项；（II）试给出一个数列 A：a1，a2，a3，使得A 是等差数列；（III）若数列 A：a1，a2，a3，的差数列的差数列 （A）的所有项都等于 1，且19a=92a=0，求1a的值.20已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，直线30 xy过其短轴的一个端点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点(2,1)P的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.21设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知132aa，1575S（*nN）（）求9S；（）若数列1144nnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT22已知椭圆C：222210 xyabab的左焦点为F，点61,2M在椭圆C上，且椭圆C上存在点N与点F关于直线yx对称（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线l与椭圆C只有一个公共点，点A，B是x轴上关于原点对称的两点，且点A，B在直线l上的射影分别为P，Q，判断是否存在点A，B，使得APBQ为定值，若存在，求出A，B的坐标及该定值；若不存在，请说明理由参考答案参考答案1C根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，2211nnna aa；当n为奇数时，2211nnna aa，所求式子最末项2015n，从而可得结果.由题意得：21321a aa，22431a aa，23541a aa，当n为偶数时，2211nnna aa；当n为奇数时，2211nnna aa23321322433342015201720161a aaa aaa aaaaa 本题正确选项：C本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律.2A由方程的要求，排除两个选项，再由矩形ABCD的面积确定正确选项由题意椭圆方程是22221(0)xyabab，排除 BD，矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22ab144，36ab 在椭圆2218116xy中，9,4ab，36ab，满足题意，在椭圆22110064xy中10,8ab，80ab,不满足题意故选：A3B试题分析：双曲线2213xy的右焦点为2,0 故抛物线22ypx中242pp 故其准线方程为2x 考点：抛物线的焦点，双曲线的焦点，抛物线的准线方程4C设na是公差为d的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得1d ，再由等比数列的定义，计算可得所求值解：设na是公差为d的等差数列，若11a，33a，55a 成等比数列，可得2315(3)(1)(5)aaa，即2111(23)(1)(45)adaad，化为2210dd，解得1d ，则1(1)naan，则公比为3111323111aaqaa，故选：C本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题5C利用韦达定理可得28a a，再根据等比数列的性质即可得出答案.解：在等比数列 na中，因为28,a a为方程240 xx的两根，所以2258a aa，所以5a，所以33575a a aa .故选：C.6B由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a为首项，公差为3的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a为首项，公差为3的等差数列，所以19 8932072a，解得135a，故选：B.本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n项和公式的基本量运算，属于基础题型.7B由直线20bxaya与渐近线0bxay的距离得到圆心00,P xy到直线0bxay的距离为2adc，再根据圆22002xxyy与双曲线 C 的右支没有公共点，由22adc求解.双曲线22221xyab的一条渐近线方程为0bxay，因为点00,P xy是直线20bxaya上任意一点，又直线20bxaya与直线0bxay的距离为：2222aadcab，即圆心00,P xy到直线0bxay的距离为：2adc,因为圆22002xxyy与双曲线 C 的右支没有公共点，所以22adc，即2cea，又1e,所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2.故选：B本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线0bxay与直线20bxaya的距离大于等于圆的半径2.8D利用累加法可得(1)2nn na，再裂项相消求和即可由题意得，对11nnaaan，故11a，212aa，323aa，1nnaan，累加可得(1)12.(2)2nn nann，11a 满足，所以(1)2nn na，则1112()1nann，122016111aaa1111140322(1)223201620172017故选：D9ABD由题意，列方程组求出等差数列na的首项1a和公差d即可求解na与nS，选项 A、B 可判断；由na可得nb，又111136Tb 即可判断选项 C，由1515282nnabnn，利用单调性即可求解最大值.解：因为数列na为等差数列，40S，55a，所以1145460adad，解得13,2ad，所以31225nann ，232542nnnSnn，故选项 A、B 正确；又因为11nnna ab，所以1112523nnnba ann，因为1n 时，111136Tb，所以选项 C 错误；因为2221515252341615282nnnnabnnnnnn，1n 时，11235ab，2n 时，2245ab ，3n 时，因为15282nn随着n的增大而增大，且大于 0，所以33255nnabab，综上，5nnab的最大值为2，故选项 D 正确；故选：ABD.10ABD选项 A：构造函数 ln10h xxxx，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项 B：构造函数()()xf xex，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项 C：构造函数()()0g xm xxx，根据导数判断函数在,e 内单调递减，从而判断选项错误；选项 D：把不等式 f axaxxg x变形为lnlnaxxeaxex，所以只需研究函数()xF xex的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.选项 A：令 ln10h xxxx，则 111xhxxx，因为0 x，所以由 0h x得01x；由 0h x得1x，所以 h x在0,1内单调递增，在1,内单调递减，所以 h x的最大值为 10h，所以对0 x，0h x 恒成立，即对0 x，1g xx恒成立，故选项 A 正确；选项 B：令()()xxf xexeex，则()xxee，由 0 x得1x；由 0 x得1x，所以 x在1,内单调递增，在,1内单调递减，所以 x的最小值为 10，所以对x R，0 x恒成立，即对x R，f xex恒成立，故选项 B 正确；选项 C：令()ln()0g xxm xxxx，则21 ln()xm xx，所以由 0mx得0 xe；由 0m x得xe，所以()m x在0,e内单调递增，在,e 内单调递减，所以当abe时，()()m am b，即()()g ag bab，所以abe，ag bbg a成立，故选项 C 错误；选项 D：因为不等式 f axaxxg x对1x 恒成立，即不等式lnaxeaxxx对1x 恒成立，又因为lnlnlnxxxex，所以不等式lnlnaxxeaxex对1x 恒成立；令()xF xex，则()1xF xe，当0 x 时，()10 xF xe 恒成立，所以()xF xex在0,单调递增，所以由不等式lnlnaxxeaxex对1x 恒成立，得lnaxx对1x 恒成立，即ln xax对1x 恒成立，由选项 C 知，ln()1xm xxx在1,e内单调递增，在,e 内单调递减，所以()m x的最大值为1()m ee，所以只需1ae，即正实数a的最小值为1e.故选：ABD.利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）()f xa恒成立型的可转化为min()f xa；（3）()()f xg x恒成立型的可以通过作差法构造函数()()()h xf xg x，然后求min()0h x，或者转化为minmax()()f xg x.11ABD根据题干条件找出1a和d的等量关系，分析出1a和d的符号后逐一判断即可.根据20202023SS可知，2021202220230aaa，由等差中项可得，202120222023202203aaaa，即20220a，故 B 正确；10a，2022102021aad，故102021ad ，故 A 正确；10a，0d 可知，等差数列单调递增，但20220a，说明12021,nannZ都是负数，故2021S最小，又20220a，于是20212022SS，它们均是最小值，故 D 正确；据刚才分析，60a，而6560SSa，故 C 错误.故选：ABD12AB结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正确选项.依题意，双曲线22:1169xyC，4,3,5abc，双曲线的渐近线方程为34 byxxa，A 选项正确.焦点5,0F到渐近线340 xy的距离为1535，B 选项正确.设1122,A x yB xy，则222211221,1169169xyxy，两式相减并化简得12121212916yyyyxxxx，若AB的中点为8,3，则12121212933,1682yyyyxxxx，即l的斜率为32，C 选项错误.双曲线的渐近线34yx=与双曲线没有交点，34k ，所以 D 选项错误.故选：AB13试题分析：由题意圆的圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点代入得，解得，因此抛物线方程考点：抛物线的标准方程142020当 n 为偶数时，可得出22nnaa，故偶数项是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.当 n 为偶数时，2223cos1 sin2cos1 cos2222nnnnnnnaaana，即22nnaa，故数列na的偶数项是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列，所以2122nnan，所以20202020a.故答案为：2020.本题考查数列的递推式，解题关键是得出当 n 为偶数时，可得出2na与na的关系式，进而求出na的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.152 3根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角 A 的值，再利用正弦定理和比例性质求得22bcasinBsinCsin A，结合ABC 的面积求出 a 的值ABC 中，由 cos2Acos2B+sin2CsinBsinC14，得 1-sin2A-（1-sin2B）+sin2Csin2B+sin2Csin2AsinBsinC，b2+c2a2bc，由余弦定理得 cosA222122bcabc，又 A（0，），A3；由正弦定理abcsinAsinBsinC，22bcasinBsinCsin A，即22143bcasin，化简得 a23bc；又ABC 的面积为 SABC12bcsinA3，bc4，a212，解得 a23故答案为 23.本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题163032根据已知条件求得na，进而求得nb，利用分组求和法求得2021S.设等差数列 na的公差为d，由于 a1，a3，a11成等比数列，23111aa a，即(a52d)2(a54d)(a56d).14d23a5d.又 d0，a514，知 d3，因此 ana5(n5)33n1，bn(1)n1(3n1).S2 021b1b2b3b2 021b1(b2b3)(b4b5)(b2 020b2 021)23 10103032.故答案为：303217（1）见解析；（2）2(1)213333nnnnSS理由见解析.（1）根据题意求1nnbb及1b，即可得到数列 nb是等比数列；（2）根据（1）得到数列 nb的通项公式及前n项和，然后根据题意将2nS和数列 nb的前n项和联系起来，得到2nS，进而得22nS，最后利用作差法比较2(1)133nnS与233nnS的大小即可（1）由题意得21221121212113312332223111222nnnnnnnnanannanbbananan，且11332ba，所以数列 nb是以 3 为首项，3 为公比的等比数列（2）由（1）知，3nnb，所以1123 1333132nnnbbb因为2112nnban，*nN，所以123112nnban，23122ba，11112ba，所以121321(1)22nnn nnbbbaaa而212212nnnSaaaa，11212133nnaaaa，13214naaa.所以1212233242324622nnnnnSnn，故222222232(1)4(1)6232812nnnSnnnn，而2(1)2(1)22111333333333nnnnnnnnSSSS，2212112 32893 2 32433 nnnnnnn，2114403nnn，故2(1)213333nnnnSS本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题18（1）2nna；（2）221n nn.（1）由题意结合数列na与nS的关系可得12nnaa，进而可得 na是公比2q=的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意22221111nnbnn，再由裂项相消法即可得解.（1）由12nnaaS可得当2n 时，1112nnaaS，1122nnnnnaaSSa，即12nnaa，又12a，na是公比2q=的等比数列，112nnnaa q；（2）由（1）知，221 log1 log 21nnnbnann n，2222221211111nnnbnnnn，22222211111112231nTnn22222211111112231nn2221111n nnn.本题考查了数列na与nS关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.19（I）1，2，4；（II）数列 A：2，2，2，2，；（III）819（I）先计算数列 A 的前 4 项，然后利用差数列的定义写出A 的前 3 项；（II）由差数列定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列 na的通项公式，然后利用数列的第 19 项和第 92 项即可求得首项的值.（I）数列 A：2，3，5，9，数列A：1，2，4 （II）数列 A：2，2，2，2，（III）数列（A）：1，1，1，1，设数列A：k，k+1，k+2，k+3，则数列 A：a2a1=ka3a2=k+112nnaakn以上叠加得11212nnnaank，即11212nnnanka则1919211817 99145 91akaaka，则154819ka.本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力.20（1）22143xy；（2）直线方程为2x，(2,0)M或240 xy，3(1,)2M（1）由离心率得12ca，由直线过短轴端点得3b，从而可求出a，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0 可求解（1）直线l与y轴交点为(0,3)，它是椭圆短轴端点，则3b，又12cea，所以22214aba，解得2a 椭圆方程为22143xy；（2）过(2,1)P斜率不存在的直线为2x，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M过(2,1)P斜率存在的切线方程设为1(2)yk x，由221431(2)xyyk x 得222(34)8(1 2)161680kxkkkk，222264(1 2)4(34)(16168)96(21)0kkkkkk ，12k ，此时121xx，1232yy，即3(1,)2M直线方程为11(2)2yx ，即240 xy切线方程为2x，(2,0)M或240 xy，3(1,)2M本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题 过椭圆外一点作椭圆的切线有两条，要注意考虑斜率不存在的情形特别是设斜率k求解时只有一解，说明还有一条是斜率不存在的21（）18；（）24nnTn.试题分析：（1）根据等差数列 na满足132aa，1575S，列出关于首项1a、公差d的方程组，解方程组可得1a与d的值，根据等差数列的求和公式可得9S递的值；（2）由（1）知3nan，从而可得11111441212nnnbaannnn，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列 na的公差为d，则112221510575adad即 1111510575adad，解得121ad，所以99 8921182S .（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知2 113nann ，11111441212nnnbaannnn，123nnTbbbb 111111233412nn11.2224nnn 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)11 11n nkknnk；（2）1nkn1nknk；（3）111121212 2121nnnn；（4）11122n nn11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22（1）22142xy；（2），存在点2,0A，2,0B 或2,0A，2,0B，使得APBQ为定值，该定值为 2（1）依题意可得点61,2M，0,Nc在椭圆上，代入得到方程组，解得即可；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，联立直线与椭圆方程，消元，根据0，得到,k m的关系，设,00A tt，则,0Bt，求出点到直线的距离AP、BQ，即可得到APBQ为定值时t的值，再计算斜率不存在时APBQ也为定值；解：（1）因为点61,2M在椭圆C上，所以221123ab由题意知,0Fc，因为点N与点F关于直线yx对称，所以点 N 的坐标为0,Nc，代入椭圆C的方程，得221cb，即2221abb，所以222ab，与221123ab联立并求解，得24a，22b，所以椭圆C的标准方程为22142xy（2）存在点A，B，使得APBQ为定值当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，将ykxm代入22142xy，得222124240kxkmxm，则22244 12240kmkm，得2242mk设,00A tt，则,0Bt，点,0A t到直线l的距离21tkmAPk，点,0Bt 到直线l的距离21tkmBQk，所以22222224211tkmt kAPBQkk，当242t，即2t 时，2APBQ，为定值，所以存在点2,0A，2,0B 或2,0A，2,0B，使得2APBQ当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x ，2,0A，2,0B 或2,0A，2,0B均满足2APBQ综上，存在点2,0A，2,0B 或2,0A，2,0B，使得APBQ为定值，该定值为 2【得解】解决本题时，易忽略直线l的斜率不存在的情况一般地，解决关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论 当直线的斜率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线的斜率存在时得到的结论，借助几何图形直观求解