2023届山东省高考考向核心卷数学试题含答案.pdf

数学试卷 第 1页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司2023 届届高高考考数数学学考考向向核核心心卷卷新新高高考考一一、单单项项选选择择题题：本本题题共共 8 个个小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1.已知集合24Axx，集合2320Bx xx，则AB()A.B.12xxC.24xxD.14xx2.若复数 z 满足i(23)72iz，则复数 z 的虚部为()A.52B.72C.52iD.7i23.已知向量2,9ma，1,1b，则“3m”是“/a b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，用 K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统，当 K 正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K、1A、2A正常工作的概率依次是12、23、23，已知在系统正常工作的前提下，求只有 K 和1A正常工作的概率是()A.49B.34C.14D.195.已知数列 na为等差数列，首项10a，若100410051aa，则使得0nS 的 n 的最大值为()A.2007B.2008C.2009D.20106.已知函数()sin()f xAx(0A，0，|2)的部分图象如图所示，()6f()数学试卷 第 2页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司A.12B.1C.12D.327.若正实数 x，y 满足1xy，且不等式241312mmxy有解，则实数 m 的取值范围是().A.3m 或32m B.32m 或3m C.332mD.332m 8.记,max,p pqp qq qp，设函数 221max e1,2xf xxmx，若函数 f x恰有三个零点，则实数m的取值范围的是()A.2,2B.9,22,4 C.99,2,44 D.,22,二二、多多项项选选择择题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求。全全部部选选对对的的得得 5 分分，有有选选错错的的得得 0 分分，部部分分选选对对的的得得 2 分分。9.某医院派出甲、乙、丙、丁 4 名医生到 A，B，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是()A.所有不同分派方案共34种B.若每家企业至少分派 1 名医生，则所有不同分派方案共 36 种C.若每家企业至少派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，则所有不同分派方案共 12 种D.若 C 企业最多派 1 名医生，则所有不同分派方案共 48 种10.已知 fx是 f x的导函数，且 3201f xxfxx，则()A.10f 数学试卷 第 3页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司B.01f C.f x的图象在1x 处的切线的斜率为 0D.f x在0,1上的最小值为 111.如图 1，在菱形 ABCD 中，2AD，60ADC，将ABC沿 AC 折起，使点 B 到达点 P的位置，形成三棱锥PACD，如图 2.在翻折的过程中，下列结论正确的是()A.ACPDB.三棱锥PACD体积的最大值为 3C.存在某个位置，使ADPCD.若平面APC 平面 ACD，则直线 AD 与平面 PCD 所成角的正弦值为15512.已知点(1,0)A，(1,0)B，(0,1)G，抛物线2:4C yx.过点 G 的直线 l 与 C 交于11,P x y，22,Q xy两点，直线 AP，AQ 分别与 C 交于另一点 E，F，则下列说法中正确的是()A.1212yyy yB.直线 EF 的斜率为12C.若POE的面积为5 36(O 为坐标原点)，则OE 与OP 的夹角为6D.若 M 为抛物线 C 上位于 x 轴上方的一点，|AMt MB，则当 t 取最大值时，ABM的面积为 2三三、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。13.已知函数()2lnf xx ，过点(0,2)P作曲线()yf x的切线 l，则 l 的方程为_.14.己知5234560123456211xxaa xa xa xa xa xa x，则2345aaaa_.数学试卷 第 4页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司（用数字作答）15.已 知 函 数()2coscossin44f xxxx，若 对 任 意 的 实 数 x，恒 有12()ff xf，则12cos_.16.已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，且PA 平面 ABCD，PAa，点M 为线段 PC 上的动点(不包含端点)，则当三棱锥MBCD的外接球的表面积最小时，CM 的长为_.四四、解解答答题题：本本题题共共 6 小小题题，共共 70 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。17.（10 分）已知等比数列 na的前 n 项和为nS，且21nnaS.(1)求na与nS；(2)记21nnnba，求数列 nb的前 n 项和nT.18.（12 分）在5coscoscos4aCcAbB，5sin()5sin()12BB，(0,)2B，13cos2cos25BB.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.已知ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且_.(1)求tan2B的值；(2)若1211tan,54Ac，求ABC的周长与面积.19.（12 分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 A，B 两个地区的 100 名观众，得到如下所示的 22 列联表.非常喜欢喜欢合计A3015数学试卷 第 5页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司Bxy合计已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众来自 B 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为 0.35.(1)现从 100 名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的 A，B 地区的人数各是多少？(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有 95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；(3)若以抽样调查的频率为概率，从 A 地区随机抽取 3 人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为 X，求 X 的分布列和期望.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，nabcd，20()P Kk0.050.0100.0010k3.8416.63510.82820.（12 分）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2.（1）求 A 到平面1ABC的距离；（2）设 D 为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值.21.（12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，斜率为3的直线l 与双曲线 C 交于,A B两点，点(4,2 2)M在双曲线 C 上，且1224MFMF.(1)求12MFF的面积；(2)若0 OBOB(O 为坐标原点)，点3,1N，记直线,NA NB的斜率分别为12,k k，问：12kk数学试卷 第 6页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12 分）已知函数()lnf xxx ，()e2xg xxxm.（1）求函数()f x的极值点；（2）若()()f xg x恒成立，求实数 m 的取值范围.数学试卷 第 7页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司2023 届届新新高高考考数数学学考考向向核核心心卷卷参参考考答答案案一一、单单项项选选择择题题1.答案：D解析：集合24Axx，集合232012Bx xxxx，14ABxx.故选 D.2.答案：B解析：由题意，得72i2327iiz，所以57i22z，则复数 z 的虚部为72.故选B.3.答案：A解析：若3m，则9,99ab，所以/a b；若/a b，则 21910m ，解得3m，得不出3m.所以“3m”是“/a b”的充分不必要条件.故选 A.4.答案：C解析：设事件 A 为系统正常工作，事件 B 为只有 K 和1A正常工作，因为并联元件1A、2A能正常工作的概率为228111339，所以184()299P A，又因为1221()()12339P ABP B，所以()1(|)()4P ABP B AP A，故选 C.5.答案：B解析：数列 na为等差数列，若100410051aa，则1004a与1005a异号.又首项10a，则公差0d，所以10040a，10050a，则10041005aa，即100410050aa.由等差数列的前 n 项和公式及等差数列数学试卷 第 8页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司的性质可得120082008100410052008100402aaSaa，1200910052009100520092009 22009022aaaSa，所以使得0nS 的 n 的最大值为 2008.故选B.6.答案：B解析：根据图像可得2A，3114126T，所以T，而2T，所以222T，代入点,26，得到22sin 26即sin13，所以2 32k，即2 6k，因为2，所以6，所以 2sin 26f xx，代入6x 得2sin 2666f 2sin16，故选 B.7.答案：A解析：因为正实数 x、y 满足1xy，则12xy，即1112xy，所以411411411512121yxxyxyxyxy141952212yxxy，当且仅当121xyxy 时，即当1323xy时，等号成立，即411xy的最小值为92，因为不等式241312mmxy有解，则23922mm，即22390mm，即2330mm，解得3m 或32m.故选 A.8.答案：B解析：设 2e1xg x，212h xxmx，则函数 g x在,上递增，且 20g，且函数 h x至多有两个零点，数学试卷 第 9页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司当2x 时，0g x，若函数 f x在2,上有零点，则 h x在2,上有零点，不妨设零点为0 x，则02x，此时000g xh x，则0000max,0f xg xh xg x，与题意矛盾，故函数()f x在2,上无零点.二次函数()h x图象的对称轴为直线2mx，若0m，当220m，解得2m 时，设函数 h x的两个零点为1x、2x，则12120102xxmx x，则10 x，20 x，函数 h x有两个负零点，符合题意；若0m，且需符合题意时，函数 h x在(0,2)上有两个零点，所以 2222092202mmhm，解得924m，综上，9,22,4m 故选B.二二、多多项项选选择择题题9.答案：BCD解析：选项 A，所有不同分派方案共43种，故 A 错误；选项 B，若每家企业至少分派 1 名医生，先把 4 名医生分成 3 组（2 人，1 人，1 人）再分配，则所有不同分派方案共2113421322C C CA36A（种）.故 B 正确；选项 C，若每家企业至少派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，则 A 企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共121213131213C C C AC A12（种），故 C 正确；选项 D，若 C 企业最多派 1 名医生，则 C 企业可以有 1 名医生和没有医生两种情况，则不同分派方案共1344C2248（种）.故 A 正确.故选 BCD.10.答案：BC解析：3201f xxfxx，23201fxxfx，令0 x，则 01f ，故 B正确；则 321f xxxx，2321fxxx，数学试卷 第 10页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司11 1 1 12f ，故 A 错误；f x的图象在1x 处的切线的斜率为132 10f ，故 C 正确；2321311 fxxxxx，当10,3x时，0fx，f x单调递减，当1,13x时，0fx，f x单调递增，f x在0,1上的最小值为122327f，故 D 错误.故选 BC.11.答案：ACD解析：选项 A，取 AC 的中点 O，连接 OP，OD，由于四边形 ABCD 为菱形，则ACOP，ACOD，又OPODO，OP 平面 POD，OD 平面 POD，所以AC 平面 POD，又PD 平面 POD，所以ACPD，故 A 正确；选项 B，在翻折过程中，当平面APC 平面 ACD 时，三棱锥PACD的体积最大，此时三棱锥PACD的体积21323134V，故 B 错误；选项 C，当2PD 时，易知APC，PDC都是边长为 2 的等边三角形，取PC的中点M，连接AM，DM，则AMPC，DMPC，又AM 平面ADM，DM 平面ADM，且AMDMM，所以PC 平面ADM，所以PCAD，故 C 正确；选项 D，当平面APC 平面 ACD 时，因为2PCCD，所以3POOD，所以6PD，所以PCD的面积22161562222S，设直线 AD 与平面 PCD 所成角为，点 A到平面 PCD 的距离为 d，则P ACDA PCDVV，即115132d，解得d 2 155，故15sin5dAD，故 D 正确.故选 ACD.12.答案：ACD解析：A 选项：易知2114yx，2224yx，则直线 PQ 的方程为121240 xyyyy y，又直线PQ 过点(0,1)G，所以1212yyy y，A 正确.数学试卷 第 11页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司B 选项：设233,4yEy，244,4yFy，则直线 PE 的方程为131340 xyyyy y，又直线 PE过点(0)1,A，所以134y y，同理可得244y y，所以431222344312214414444EFyyy ykyyyyyyyy，故 B 错误.C选项：223113544yyOP OEy y ，设POE，则|cos5OPOE ，又15 3|sin26POESOEOP ，所以3tan3，所以OE 与OP 的夹角为6，故 C 正确.D 选项：易知 B 为抛 物线的焦点，过 M 作 MD 垂直抛物线 C 的准线1x 于点 D，由抛物线的定义知，|1|sinAMAMMBMDMAD，即1sintMAD，当 t 取最大值时，MAD取最小值，即直线 AM 与抛物线 C 相切.设直线 AM 的方程为(1)yk x，由2(1)4yk xyx，得22224k xkx20k，则2242440kk，解得1k ，此时2222240k xkxk即2210 xx，所以x 1，又点M在 x轴上方，故(1,2)M，则11|2 2222ABMMSABy，故 D 正确.故选 ACD.三三、填填空空题题13.答案：e2e0 xy解析：由题意可设切点坐标为(,2ln)(0)tt t，因为()2lnf xx ，所以1()fxx，所以切线 l 的斜率12ln2tktt，整理得ln1t，et，则1ek，所以 l 的方程为12eyx，即e2e0 xy.14.答案：34解析：令0 x，得01a ；令1x，得50123456232aaaaaaa.二项式51x的通项公式为55155C1CrrrrrrTxx，又0652 C2a，4152 11C3a ，数学试卷 第 12页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司所以 23453223134aaaa .故答案为：34.15.答案：14解析：因为2222()2cossincossinsin2222f xxxxxx222211192cossinsin1 2sinsin=2 sin2248 xxxxxx（），且()f x对任意实数 x 恒有12()ff xf，所以121sin1 sin4，则1cos0，12121221coscoscossinsinsin4 .16.答案：2 33a解析：连接 MA，由题意可知三棱锥MBCD的外接球即四棱锥MABCD的外接球，则当三棱锥MBCD外接球的表面积最小时，四棱锥MABCD外接球的半径最小.设四棱锥MABCD外接球的球心为 O，半径为 R，连接 AC 与 BD 交于点1O.当 O 与1O不重合时，连接1OO，易知1OO 平面 ABCD，则11OOOC，连接 OC，在1RtOOC中，1ROCOC.当 O 与1O重合时，1ROCOC，所以当三棱锥MBCD的外接球的表面积最小时，O 与1O重合，1ROC.设 CM 的中点为 N，连接1O N，易知1O NCM，则11cosCNACOCNCOPC，所以2232CNaaa，解得33CNa，所以2 323CMCNa.四四、解解答答题题17.解析：(1)由21,nnaS得2=1nnSa，当1n 时，11121aSa，得11a；当2n时，112121nnnnnaSSaa，数学试卷 第 13页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司得12nnaa，2 分所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nna.所以2121nnnSa.4 分(2)由(1)可得1212nnnb，则21135211 11222nnnT 2111135(21)222nn，2311111135(21)22222nnTn ，6 分两式相减得23111111112(21)222222nnnTn，所以23111111124(21)22222nnnTn11112224(21)1212nnn 12362nn.10 分18.解析：(1)若选：由正弦定理得5sincossincossincos4ACCABB，故5sin()sincos4ACBB，2 分而在ABC中，sin()sin()sinACBB，故5sinsincos4BBB，又(0,)B，所以sin0B，则4cos5B，4 分则23sin3sin1 cos,tan5cos4BBBBB，故22tan24tan21tan7BBB.6 分数学试卷 第 14页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司若选：由5sin()5sin()12BB，化简得1cossin5BB，代入22cossin1BB中，整理得225sin5sin120BB，2 分即(5sin3)(5sin4)0BB，因为(0,)B，所以sin0B，所以3sin5B，4 分则4sin3cos,tan5cos4BBBB，故22tan24tan21tan7BBB.6 分若选：因为13cos2cos25BB，所以2132cos1cos25BB，即2122coscos025BB，则34(2cos)(cos)055BB.2 分因为(0,)2B，所以4cos5B，4 分则23sin3sin1 cos,tan5cos4BBBBB，故22tan24tan21tan7BBB.6 分(2)因为sin12tancos5AAA，且22sincos1,(0,)AAA，所以512cos,sin1313AA.8 分由(1)得43cos,sin55BB，则1245333sinsin()sincoscossin13513565CABABAB，数学试卷 第 15页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司由正弦定理得65sinsinsin12abcABC，则135,4ab.10 分故ABC的周长为11abc，ABC的面积为11133333sin5224658ABCSabC.12 分19.解析：(1)由题意得0.35100 x，解得35x，所以应从 A 地抽取20306100(人)，从 B 地抽取20357100(人).2 分(2)完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计65351004 分所以2K的观测值22()()()()()n adbckab cd ac bd2100(302035 15)1000.13.84165 3545 551001，所以没有 95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.6 分(3)从 A 地区随机抽取 1 人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为23，从 A 地区随机抽取 3 人，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则3110327P X，1213212(1)C339P X ，321221(2)C3943P X ，328(3)327P X.10 分所以 X 的分布列为数学试卷 第 16页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司X0123P12729498271248()01232279927E X .12 分20.解析：（1）设点 A 到平面1ABC的距离为 h，因为直三棱柱111ABCABC的体积为 4，所以11 1 11114333A A BCABCABCA B CVSAAV，2 分又1ABC的面积为2 2，111142 2333A A BCA BCVShh，所以2h，即点 A 到平面1ABC的距离为2.4 分（2）取1AB的中点 E，连接 AE，则1AEAB，因为平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC平面111ABB AAB，所以AE 平面1ABC，所以AEBC，又1AA 平面 ABC，所以1AABC，因为1AAAEA，所以BC 平面11ABB A，所以BCAB.6 分以 B 为坐标原点，分别以BC，BA，1BB的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，数学试卷 第 17页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司由（1）知，2AE，所以12AAAB，12 2AB，因为1ABC的面积为2 2，所以112 22ABBC，所以2BC，所以(0,2,0)A，(0,0,0)B，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，(1,1,1)D，(0,1,1)E，8 分则(1,1,1)BD ，(0,2,0)BA ，设平面 ABD 的法向量为(,)x y zn，则0,0,BDBA nn即0,20,xyzy令1x，得(1,0,1)n，10 分又平面 BDC 的一个法向量为(0,1,1)AE ，所以11cos,2|22AEAEAE nnn，设二面角ABDC的平面角为，则23sin1 cos,2AE n，所以二面角ABDC的正弦值为32.12 分21.解析：(1)依题意可知，12(,0),(,0)FcF c，则2221|(4)(2 20)(4)8MFcc，2222(4)(2 20)(4)8MFcc，2 分又1224MFMF，所以22(4)8(4)824cc，解 得216c(20c 舍 去)，又0c，所 以4c，则128FF，所 以12MFFV的 面 积18 2 28 22S .4 分(2)由(1)可22221681,16,abab解得228ab.数学试卷 第 18页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司所以双曲线 C 的方程为22188xy.6 分设1122,A x yB xy，则22,Bxy，则11113ykx，22213ykx.设直线 l 的方程为3yxm，与双曲线 C 的方程联立，消去 y 得228680 xmxm，由22(6)3280mm，得8m.8 分由一元二次方程根与系数的关系得2121238,48mmxxx x，所以12121212(3)(3)93()y yxmxmx xm xx 2298mm .10 分则1212121212121211133339yyy yyykkxxx xxx2122128381838mxxmxx ，故12kk为定值1.12 分22.解析：（1）由已知可得，函数()f x的定义域为(0,)，且1()xfxx，当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx，2 分所以()f x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)，所以1x 是()f x的极大值点，无极小值点.4 分（2）设()()()lnexh xf xg xxxxm，(0,)x，则11()1(1)e(1)exxh xxxxx，令1()ext xx，(0,)x，则21()e0 xt xx 对任意(0,)x恒成立，6 分所以1()ext xx在(0,)上单调递减.又12e02t，(1)1 e0t，数学试卷 第 19页（共 20页）学科网（北京）股份有限公司所以01,12x，使得0001e0 xt xx，即001exx，则001lnlnexx，即00ln xx.9 分因此，当00 xx时，()0t x，即()0h x，则()h x单调递增；当0 xx时，()0t x，即()0h x，则()h x单调递减，故0max0000()lne0 10 xh xh xxxxmm，解得1m，所以当1m 时，()()f xg x恒成立.12 分