概率论与数理统计JA(48,11-12)11.pdf

离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 第二章 随机变量及其分布 1 1 随机变量随机变量 第二章 随机变量及其分布 例例 1 1 袋中有袋中有3 3只只黑黑球，球，2 2只只白白球，从中任意取出球，从中任意取出3 3 只球我们将只球我们将3 3只黑球分别记作只黑球分别记作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白只白球分别记作球分别记作4 4，5 5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为 543542532432541531431521421321，S1 随机变量 考察取出的考察取出的3 3只球中的只球中的黑球的个数。黑球的个数。我们记取出的我们记取出的黑球数为黑球数为X，则，则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3因此，因此，X 是一个变量但是，是一个变量但是，X 取什么值依赖于取什么值依赖于 试验结果，即试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 样本点样本点 黑球数黑球数 X 样本点样本点 黑球数黑球数 X 321，3 541，1 421，2 432，2 521，2 532，2 431，2 542，1 531，2 543，1 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空是样本空 间间S上的函数：上的函数：SeeXX 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件例如情况来刻划随机事件例如 2 X 表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等 第二章 随机变量及其分布 22 XeXe：表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；、字母字母随机变量用大写的英文随机变量用大写的英文通常通常ZYX等来表示等来表示、或希腊字母或希腊字母 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 例例2 掷一颗骰子，令掷一颗骰子，令 X：出现的点数出现的点数 则则 X 就是一个随机变量就是一个随机变量 4 X 表示掷出的点数不超过表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；这一随机事件；取偶数取偶数X 表示掷出的点数为偶数这一随机事件表示掷出的点数为偶数这一随机事件 它的取值为它的取值为1，2，3，4，5，6 例例3 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令：在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数 则则 Y 就是一个随机变量就是一个随机变量 100 Y 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；10050 Y 表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一辆这一随机事件随机事件 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 它的取值为它的取值为 0，1，注意注意 Y 的取值是可列无穷个！的取值是可列无穷个！例例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该该电子元件电子元件的寿命的寿命 则则Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数就是一个随机变量它的取值为所有非负实数 500 Z 1000 Z表示表示该该电子元件的寿命大于电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件小时这一随机事件 表示该表示该电子元件电子元件的寿命不超过的寿命不超过500小时这一随机事件小时这一随机事件 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 注意注意 Z Z 的取值是不可列无穷个！的取值是不可列无穷个！例例 5 掷一枚硬币，令：掷一枚硬币，令：.0;1掷硬币出现反面掷硬币出现反面掷硬币出现正面掷硬币出现正面X则则X是一个随机变量是一个随机变量 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 说说 明：明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量 例例 6 掷一枚骰子，在掷一枚骰子，在例例2中，我们定义了随机变量中，我们定义了随机变量X表示出现的点数我们还可以定义其它的随机表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：变量，例如我们可以定义：.0;1出现奇数点出现奇数点出现偶数点出现偶数点Y .60;61点数不为点数不为点数为点数为Z等等等等 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量离散型随机变量 离散型随机变量的分布率与性质离散型随机变量的分布率与性质 一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布率与性质一、离散型随机变量的分布率与性质 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 1)离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，的取值是有限个或可列无穷个，则称则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 2离散型随机变量离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 2)离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为，nxxx21并设并设 ,2,1 npxXPnn则称上式或则称上式或 X 1x 2x，nx P 1p 2p，np 为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律的分布律 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 3)3)离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质:;0 npn，有，有对任意的自然数对任意的自然数.1 nnp例例 1 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令 X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律 kXP 第二章 随机变量及其分布 具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X 的可能取值为的可能取值为.1065，k5，6，7，8，9，10 并且并且 510C41 kC=求分布率一定要说求分布率一定要说明明 k 的取值范围！的取值范围！2离散型随机变量 例例 2 将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令 X-3-1 1 3 kP 第二章 随机变量及其分布 X：出现的正面次数与反面次数之差：出现的正面次数与反面次数之差 试求：试求：（1）X 的分布律；的分布律；解：解：X 的可能取值为的可能取值为 81838381-3，-1，1，3 并且分布率为并且分布率为 .35.1)2(XP 11 XPXP.86 35.1XP2离散型随机变量 例例 3 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为 ，2141 ncnXPn试求常数试求常数c解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得 11411nnncnXP第二章 随机变量及其分布 该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有 1411nnc341141cc 所以所以 3 c2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 例例 4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率灯，每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过.以以 X 表示汽车表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布的分布律律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p 2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 解：解：以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：X pk 0 1 2 3 4 p 或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 例例 4(续续)(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 以以 p=1/2 代入得：代入得：X pk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例例 4(续续)2离散型随机变量 二、一些常用的离散型随机变量二、一些常用的离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 1)Bernoulli分布分布 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 1,0,)1(1 kppkXPkkX 0 1 P 1-p p 或或 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 Bernoulli分布分布 为参数为参数其中其中10 p pBX，记作记作12离散型随机变量 Bernoulli分布也称作分布也称作 0-1 分布或两点分布分布或两点分布 第二章 随机变量及其分布 Bernoulli分布的概率背景分布的概率背景 进行一次进行一次Bernoulli试验，试验，A是随机事件。设：是随机事件。设：qpAPpAP 1，设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数发生的次数,或者设或者设 不发生不发生若事件若事件发生发生若事件若事件AAX01 pBX,1则则2离散型随机变量 2 2）二）二 项项 分分 布布 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 nkppCkXPknkkn，101 为参数为参数为自然数，为自然数，其中其中10 pn 的二项分布，的二项分布，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量pnX第二章 随机变量及其分布 pnBX，记作记作2离散型随机变量 分布律的验证分布律的验证 由于由于 以及以及 n 为自然数，可知为自然数，可知 nkppCknkkn，1001 又由二项式定理，可知又由二项式定理，可知 nkknkknppC01 nkppCkXPknkkn，101 所以所以 是分布律是分布律 第二章 随机变量及其分布 11 npp1 0 p 2离散型随机变量 说 明 显然，当显然，当 n=1 时时 分布分布服从服从此时，此时，BernoulliX pBX，1特例特例分布是二项分布的一个分布是二项分布的一个这说明，这说明，Bernoulli第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 二项分布的概率背景 进行进行n重重 Bernoulli 试验，试验，A是随机事件。设在每次是随机事件。设在每次试验中试验中 qpAPpAP 1，令令 X 表示表示这这 n 次次 Bernoulli 试验中事件试验中事件A发生的发生的次数次数 pnBX，则则第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 种种，这种指定的方法共有，这种指定的方法共有失败失败现现次出次出，其余，其余成功成功次出现次出现次试验中，指定次试验中，指定在在knCAknAkn 则则出现出现次试验次试验第第设设,AiAi nknknnkknkkAAAAAAAAAAAAAAkX121212111 说明：说明：pqqpCkXPknkkn 1 nk，210 所以所以 2离散型随机变量 第二章 随机变量及其分布 例例5 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取，现从中取 出出15件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：B=取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C=取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 ,取出一件产品为次品取出一件产品为次品 A .1.0 AP则则 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作件产品，故可近似看作是一是一15重重Bernoulli试验试验 解：解：所以，所以，1322159.01.0 CBP CPCP 11411515001595.01.09.01.01 CC2离散型随机变量 例例 6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能 答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测 至少能答对至少能答对4道题的概率是多少？道题的概率是多少？,对的题数对的题数表示该学生靠猜测能答表示该学生靠猜测能答设设X ，答对一道题答对一道题 A则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验 415，则则BX第二章 随机变量及其分布 41 AP则则解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，2离散型随机变量 所以所以 44 XPP道题道题至少能答对至少能答对 54 XPXP5445414341 C641 第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 二项分布的分布形态二项分布的分布形态 由此可知，二项分布的分布率由此可知，二项分布的分布率 则则，若若pnBX pqkqkpnkXPkXP 1111 kXP 先是随着先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少这个使得的增大而减少这个使得 kXP 能次数能次数称为该二项分布的最可称为该二项分布的最可达到其最大值的达到其最大值的0k第二章 随机变量及其分布 2离散型随机变量 可以证明：可以证明：；不是整数，则不是整数，则如果如果pnkpn110 ；或或是整数，则是整数，则如果如果11110 pnpnkpn第二章 随机变量及其分布 pqkqkpnkXPkXP 11112离散型随机变量 例例 7 对同一目标进行对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的次独立射击，设每次射击时的 命中率均为命中率均为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？其相应的概率是多少？射击中命中目标的次数射击中命中目标的次数表示表示300X 则由题意则由题意 ，44.0300 BX ，它不是整数，它不是整数由于由于44.13244.01300 第二章 随机变量及其分布 解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试验令：2离散型随机变量 因此，最可能射击的命中次数为因此，最可能射击的命中次数为 其相应的概率为其相应的概率为 第二章 随机变量及其分布 132 44.132 0 k 168 132 132 300 56.0 44.0 132 C X P 04636.0 2离散型随机变量