《概率论与数理统计》学习笔记四.pdf
概率论与数理统计学习笔记四 主 题主 题：概率论与数理统计学习笔记 学习时间学习时间：整学期 概率论与数理统计学习笔记四 概率论与数理统计学习笔记四 随机变量及其概率分布（二）随机变量及其概率分布（二）一、随机变量的分布函数 一、随机变量的分布函数 对于离散型随机变量，可用其分布律来刻画它的概率分布情况，但对连续型随机变量，由于其可能取值已经不能一一列举出来，因此就不能象在对离散型随机变量那样，用分布律来描述它（如连续型随机变量常常取某一区间的所有的值），这种情况下，为了研究随机变量取值落在某区间的概率12P xXx就有必要引进新的概念，这就是随机变量分布函数的概念。本节所介绍的随机变量的分布函数，适合于任何类型的随机变量，不管是离散型的还是非离散型的，分布函数是用来确定随机变量的概率分布的有力的数学工具。设X是一个随机变量，对任意实数x，令 ()(),F xP Xxx=（1）称为随机变量的分布函数。()F x 二、分布函数的性质 二、分布函数的性质()F x （1）是()F xx的单调非降函数，即若 12xx，则有 ()()12F xF x。事实上，12xx时，由于 1221xXxXxXx=即()()()12211,()()2,xXxXxXxXxXx=且 所以 122P xXxP XxP Xx=1 ()()21F xF x=而 120P xXx，因此 ()()12F xF x 概率论与数理统计学习笔记四（2）()()()01,0,1F xF=且F-=。其中 ()()limxFF x=()()limxFF x=（3）即在每一点处是右连续的。()()()()()00,0limyxF xF xF xF y+=+=,()F x利用 ()()122P xXxF xF x=1 （2）可证得 ()()()(00P XaF aF aF aF a)0=+=（3）事实上，由（2）式，对任何正数 ()()P aXaF aF a=令0,P Xa=上式左边将变成，右边将变为()(0F aF a)，故得 ()()0P XaF aF a=所以概率P Xa=等于分布函数()F x在 a 点的右极限与左极限的差值，称为()F x在 a 点处的跳跃值（或跃度）。三、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的分布函数 若已知离散型随机变量X的分布律为 ,1,2,kkPXxpk=L 则X的分布函数为()kkkxxxxF xP Xxp=k （4）例 设随机变量X的分布律为 概率论与数理统计学习笔记四 012111362XP 求（1）X的分布函数()F x （2）13,1,1222P XPXPX3 解 当()00 xF xP Xx=时，=，当()10103xF xP X=时，当()1111201362xF xP XP X=+=+=时，当 ()21xF x=时综上所述X的分布函数为 ()0,01,0131,1221,2xxF xxx=1123P X=()3311112222PXFF=0()331122PXFFP X=+=116 例 2 有 5 件产品，其中 2 件次品,3 件正品，从中任取 2 件，所取得的次品数用X表示，求（1）X的分布律；（2）X的分布函数；概率论与数理统计学习笔记四 解 X可能取值为 0，1，2，是离散型随机变量。（1）X的分布是如下的超几何分布 22523/,0,1,2.kkP XkC CCk=也即 012361101010XP（2）X的分布函数()F x：利用公式 (),iiiixxxxF xP Xxp=()0,03,01109,12101,2xxF xxx=四、概率密度函数的定义 四、概率密度函数的定义 定义 设()F x是随机变量X的分布函数，若存在非负函数()f x，使得对任何实数x，有 ()()xF xf t=dt （1）则称X是连续型随机变量，并称()f x是X的概率分布密度函数，简称为X的概率密度或分布密度。在连续型随机变量情形，由（1）式知，()F x是一连续函数。五、概率密度五、概率密度()f x的性质：的性质：（1）；()0fx（2）()1f x dx=；（3）；(2112xxP xXxf x dx?()(),P xXXxF xxF x+=+?从而有()()P xXxxF xxF xxx+=?这表示X落在长为x?的区间(,x xx+?上的平均概率密度，当时，其极限为 0 x?()()()()0limxF xxF mf xFxx+=?0limxP xXxxx+=?，表示随机变量X在点x处的概率密度，因此上述定义中非负函数()f x称为X的概率密度。六、常见连续型随机变量的分布 六、常见连续型随机变量的分布 （1）均匀分布 设随机为变量X具有概率密度函数 ()1,0,axbf xba=其它.（2）称X在,a b上服从均匀分布。该随机变量的分布函数为 概率论与数理统计学习笔记四 ()0,1,xaxaF xaxbbaxb=()f x x 其中0,X常数，称 服从参数为的指数分布。由（4）式可得，其分布函数为 （5）()1,0,0.xexF xx=0,()F x 1 x x 概率论与数理统计学习笔记四 指数分布有重要的应用，可作为电子元件寿命的分布，也用于排队论和可靠性理论等领域。（3）正态分布 设随机变量X的概率密度函数为 ()()2221,2xf xex=（6）其中，为常数，0，则称X服从参数为2,的正态分布（或高斯分布），记为 ()2,XN?正态分布的分布函数为 ()()22212tdtxF xe=（7）注：对于正态变量X，()2,XN?，若()1,1,0,1N=则称为标准正态分布，其概率分布密度函数记为 ()221 2xxex=（8）其分布函数记为 ()221 2txxedtx=)（9）()(1xx=（10）()102=（12）事实上，()2212txxedt=令 tu=()2212uxed=u 概率论与数理统计学习笔记四 2212uxedu=22112uxedu=()1x=若()2,XN?，则 ()xF x=2112xxP xxx=(12)事实上 ()()22212txF xe=dt 令tu=2212uxedu=2212uxedux=例 1 设()2,XN?，求X落在区间(),kk+内的概率，其中 1,2,3.k=解 PXkPkXk=+()()()()1kkk=k ()21k=对分别得 1,2,3k=()()()2110.6826;22210.9544;32310.9973.P XP XP X=概率论与数理统计学习笔记四 由于正态变量X在()3,3+内取值的概率已达到 99.73%，因此可认为X几乎不在区间()3,3+之外取值，这在工程技术中一般称为正态变量的“3”规则。例 2 设公共汽车车门的高度是按成年男子与车门的顶碰头的机会在 0.01以下来设计的，成年男子高X(单位为 cm)服从正态分布()2170,6N，问车门高度应确定为多少？解 设车门高度为()h cm，按设计要求应有 0.01P Xh 即 0.99P Xh 因 ()2170,6XN?，故 1700.996hP Xh而 ()2.320.98980.99=求(1)k 的值；（2）0.1P X 解（1）()301,33xkfx dxkedxk=.3（2）300.10.13xP Xedxe=例 4 已知随机变量X具有概率密度 概率论与数理统计学习笔记四 ()20,01,02412xf xxxx=求()F x。解 当()0 00,xxF xdt=时，=当()()001102 044xxxF xf t dtdtdtx=+时，2111111222xtx=+=+=1x ()0,01,02411,2xF xxxxx=例 5 设，求 ()21,2XN?01.6,57.PXPX2 解 1.6 10 101.622PX=()()()()0.30.50.310.50.6179 1 0.69150.3094=+=()()7.2 15 157.2223.120.99900.97730.0217PX=?若5，求。C解 由题设知 0.95PXC=概率论与数理统计学习笔记四 即 0.95PCXC+=又 故有()2,XN?0.95CC=，21C=.95，0.975C=.查表得 1.96C=所以 1.96C=例 7 根据以往经验，某工厂生产的产品的次品率为 5%，为保证产品的质量，工厂规定：随机地抽查 5 件产品中，经过检验如果次品数超过 1 件，就要停产检查加工程序，问停产的概率是多少？解 令X为随机抽取的 5 件产品中的次品数，由题意知，即服从参数为 5，0.05 的二项分布。()5,0.05XB?所求为 ()()()54151101 11 0.050.051 0.05 0.02PP XP XP XC=即工厂停产的概率是 0.02。例 8 设所生产的某种零件的长度与规定长度的偏差X（单位：mm）服从正态分布，若偏差的绝对值不超过 2.4（mm），则属于合格品，现独立生产5 个零件，问至少有 4 个合格品的概率是多少？()20,2N解 一个零件合格的概率为 ()2.42.42.422 21.210.7698P X=设独立生产的 5 个零件中合格品数为Y，则 ()5,0.7698YB?概率论与数理统计学习笔记四 因此 5 个零件中至少有 4 个合格品的概率为 ()()(4145445 0.76981 0.76980.7698 0.6745P YP YP YC=+=+)5
