概率论与数理统计第二版4 西南财经大学出版社ch4 ans.pdf

1概率论习题四解答概率论习题四解答 习题习题 4.1 1 一箱产品 20 件，其中 5 件优质品，不放回地抽样，每次一件，共抽取两次，设取到的优质品件数为 X，求 E(X)解：X 的全部可能取值为 0,1,2，38211901050220215=CCXP，381519075122011515=CCCXP，19119010222025=CCXP，则 X 的分布列为19138153821210X，故21381919123815138210)(E=+=X 2 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个是旧球，采取不放回抽样，每次一个直到取到新球为止，求下列随机变量的数学期望（1）抽取次数 X；（2）取到的旧球个数 Y 解：（1）X 的全部可能取值为 1,2,3,4，431291=XP，4491191232=XP，22091091121233=XP，2201991011121234=XP，则 X 的分布列为22012209449434321X，故3.122028622014220934492431)(E=+=X（2）Y 的全部可能取值为 0,1,2,3，430=YP，4491=YP，22092=YP，22013=YP，则 Y 的分布列为22012209449433210Y，故3.02206622013220924491430)(E=+=X 3 随机变量 X 只取 1,2,3 共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求 E(X)解：设 PX=1=a d，PX=2=a，PX=3=a+d，由非负性知 a 0 且|d|a，由规范性知：PX=1+PX=2+PX=3=(a d)+a+(a+d)=3a=1，得31=a，故 E(X)=1 (a d)+2 a+3 (a+d)=6a+2d=2+2d，31|d 4 设随机变量 X 的密度函数为=,1|,0,1|,11)(2xxxxf 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 2求 E(X)解：0)1(1)(d21)1(1d11d)()(E11212112212112=+xxxxxxxxxfX 5 连续型随机变量 X 的密度函数为 0，又知 E(X)=0.75，求 k 和 a 的值 解：由规范性知，111d)(10110=+=+=+akaxkxkxdxxfaa，又知75.022dd)()(E10210=+=+=+akaxkxkxxxxxfXaa，故 k=3,a=2 6 设随机变量 X 的概率分布为51=kXP，k=1,2,3,4,5求 E(X),E(X 2)及 E(X+2)2 解：3515514513512511)(E=+=X，11515514513512511)(E222222=+=X，27517516515514513)2(E222222=+=+X 7 设随机变量 X 的密度函数为=,0,0,0,e)(xxxfx 求 E(X),E(2X),E(e 2X)解：1)e(0dee)de(ded)()(E00000=+=+=+xxxxxxxxxxxxxfX，2de2d)(2)2(E0=+xxxxxfXx，31e31dedeed)(e)e(E03030222=+xxxxxXxxxxf 8 球的直径测量值 X 在(a,b)上均匀分布，求球体积 V 的数学期望 解：X U(a,b)，有 X 的密度函数为=,0,0,0,e4)(4yyyfyY 则+=0404204204222d2ee)de(de4d)()(EyyyyyyyyfyYyyyyY 81E21d)(21de4210004=+=+YyyyfyyYy，（1）85813212)(E3)(E2)32(E)(E22=YXYXZ；（2）因 X 与 Y 独立，有8341213)(E)(E3)3(E)(E=YXXYW 12设(X,Y)的联合分布律为 151156151115315200210XY 求 E(3X 2Y)及 E(2XY)解：321510153)1(15611513153)4(152)2(00)23(E=+=YX；5815241534156215101530152000)2(E=+=XY 13一学徒用机床接连加工 10 个零件，设第 i 个零件报废的概率为i+11,（i=1,2,3,10），求报废零件个数的数学期望 解：设 X 表示报废零件个数，有 X 的全部可能取值为 1,2,3,10，令=,0,1个零件没有报废第个零件报废第iiXi 0 xy 2 y=x/2x=2G G：0 x 2,0 y x/2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 4有111+=iXPi，1110+=iXPi，11)(E+=iXi，i=1,2,3,10，又因=101iiXX，故0199.2277205599111141312111)(E)(E101101=+=+=LiiiiXX 习题习题 4.2 1 求习题 4.1 中第 1,6,7 题所给随机变量的方差 解：第 1 题中 X 的分布列为19138153821210X，且21)(E=X，382319143815138210)(E2=+=X，故7627413823)(E)(E)(D22=XXX；第 6 题中 X 的分布为51=kXP，k=1,2,3,4,5，且 E(X)=3，则11515514513512511)(E222222=+=X，故 D(X)=E(X 2)E(X)2=11 9=2；第 7 题中 X 的分布为=,0,0,0,e)(xxxfx 即 X e(1)，故 D(X)=1 2 地铁的运行间隔时间为两分钟，一旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望和方差 解：设 X 表示旅客的候车时间，有 X U(0,2)，故12)(E=+=baX，3112)()(D2=abX 3 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩 X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分 84 分之间的概率 解：设 X N(,2)，有=E(X)=72，且023.0)7296(1)96(196=FXP，则977.0)24(=，224=，=12，故6826.01)1(2)1()1()127260()127284()60()84(8460=FFXP 4 公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在 1%以下设计的，设男子身高服从均值为175cm，方差为 36cm2的正态分布问车门高度应设计为多少？解：设 X N(,2)，有=E(X)=175，2=D(X)=36，又设车门高度是 x cm，则01.0)6175(1)(1=xxFxXP，有99.0)6175(=x，33.26175=x，故 x=188.98 cm 5 随机变量 X 的分布律为 5.01.04.0210PX，又 Y=3X+1，求 E(Y),D(Y)解：E(X)=0 0.4+1 0.1+2 0.5=1.1，E(X 2)=02 0.4+12 0.1+22 0.5=2.1，D(X)=E(X 2)E(X)2=2.1 1.12=0.89，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 5故 E(Y)=3E(X)+1=4.3，D(Y)=9D(X)=8.01 6 在习题 4.1 第 7 题中，求 D(2X)和 D(e2X)解：习题 4.1 第 7 题中 X 的分布为=,0,0,0,e)(xxxfx 即 X e(1)，有 D(X)=1，故 D(2X)=4D(X)=4；因31e31dedeed)(e)e(E03030222=+xxxxxXxxxxf，51e51dedeed)(e)e(E)e(E0505044422=+xxxxxXXxxxxf，故4543151)e(E)e(E)e(D222222=XXX 7 设 X 的方差为 2.5，利用切比雪夫不等式估计以下概率：P|X E(X)|7.5 解：由切比雪夫不等式得：0444.04525.75.25.7)(D5.7|)(E|22=XXXP 8 随机地掷 10 颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在 20 和 50 之间的概率 解：设 Xi表示第 i 颗骰子出现的点数，有616161616161654321iX，则27616615614613612611)(E=+=iX，且691616615614613612611)(E2222222=+=iX，则1235449691)(D=iX；设 10 颗骰子点数总和为=101iiXX，有352710)(E)(E101=iiXX，12350)(D)(D101=iiXX，由切比雪夫不等式得：2212350)(D|35|=XXP，故8704.05447270023501512350115|35|50202=XPXP 9 一机床制造长度为 50cm 的工件，由于随机扰动，工件长度总有一定的误差，统计表明，长度的均方差为 2.5mm若工件的实际长度在 49.25 50.75mm 之间算合格，请估计该机床制造工件的合格率 解：设 X 表示工件长度，有 E(X)=50cm，D(X)=0.252 cm2，由切比雪夫不等式得：2225.0|50|XP，故工件的合格率为8889.09875.025.0175.0|50|75.5025.4922=&FXPii 2 某微机网络系统有 120 个终端，每个终端有 5%的时间在使用若各终端使用与否是相互独立的试求有不少于 10 个终端在使用的概率 解：设 X 表示在使用的终端个数，有 X B(120,0.05)，E(X)=np=6，D(X)=npq=5.7，且 n=120 很大，由中心极限定理知：)7.5,6(NX&，故1038.08962.01)26.1(1)7.569(1)9(19110=&FXPXP 或0465.09535.01)68.1(1)7.5610(1)10(110=&FXP 注：此题 n 很大，p 很小，np 较小，最好是用泊松分布近似，（一般当 np 10 时，用泊松分布近似，当 np 10 时，用正态分布近似）因 X B(120,0.05)，=np=6，即)6(PX&，故 PX 10=1 PX 9=1 0.9161=0.0839（此题按二项分布计算的准确答案是 0.0786）3 设供电网中有 10000 盏灯，夜晚每盏灯开着的概率都是 0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率 解：设 X 表示同时开着的灯数，有 X B(10000,0.7)，E(X)=np=7000，D(X)=npq=2100，且 n=10000 很大，由中心极限定理知：)2100,7000(NX&，故)210072006800()210070007200()6800()7200(72006800=&FFXP 11)36.4(2)36.4()36.4(=&4 在某地区的一家保险公司里有 2 万人参加了人寿保险，每人每年付 8 元保险费，若投保人死亡，则保险公司向其家属赔付 2000 元，设该地区的人口死亡率为万分之五，求（1）该保险公司亏本的概率；（2）该保险公司一年的利润不少于 12 万元的概率 解：（1）设 X 表示一年中投保人的死亡人数，有 X B(20000,0.0005)，则 E(X)=np=10，D(X)=npq=9.995，且 n=20000 很大，由中心极限定理知：)995.9,10(NX&，保险公司一年共收保险费 20000 8=160000 元，最多可以赔付802000160000=人而不会亏本，故保险公司亏本的概率为0)14.22(1)995.91080(1)80(180=&FXP；（2）一年利润 120000 元，即赔付 40000 元，共20200040000=人，故一年的利润不少于 12 万元的概率9992.0)16.3()995.91020()20(20=FXP 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 11注：此题 n 很大，p 很小，np 较小，最好是用泊松分布近似，因 X B(20000,0.0005)，=np=10，即)10(PX&，故080=&XP，PX 20=0.9984（此题按二项分布计算的准确答案是 0.9984164）5 某车间有 150 台机床独立工作，每台机床工作时耗电量均为 5 千瓦，且只有 60%的时间运转，问该车间应供电多少千瓦，才能以 99.9%的概率保证车间的机床能够正常运转？解：设 X 表示同时运转的机床数，有 X B(150,0.6)，E(X)=np=90，D(X)=npq=36，且 n=150 很大，由中心极限定理知：)36,90(NX&，又设供电可保证 x 台机床同时运转，即供电 5x 千瓦，则999.0)690()(=xxFxXP&，有08.3690 x，x 108.48，故取 x=109，该车间应供电 5x=545 千瓦 复习题四复习题四 1 设随机变量 X 具有分布kkXP21=,k=1,2,，求 E(X)和 D(X)解：=11221)(EkkkkkkX，设=1)(kkkxxS，收敛区间为 x (1,1)，有=11)(kkkxxxS，11,1)(10=xxxxdtttSkkx，两边关于 x 求导，得2)1(11)(xxxxxS=，即11,)1()(2=xxxxS，故2)21(2)(E1=SkXkk；又=12122221)(EkkkkkkX，设=12)(kkxkxT，收敛区间为 x (1,1)，有=112)(kkxkxxT，11,)1()()(210=xxxxSkxdtttTkkx，两边关于 x 求导，得32)1(1)1()(xxxxxxT+=，即11,)1()(32 0，求发现沉船所需的平均搜索时间 解：设 T 表示发现沉船所需搜索时间，T 的全部可能取值(0,+)，当 t 0 时，PT t=F(t)=1 e vt，则密度函数 f(t)=F(t)=ve vt，t 0，故vvttttvttttfTvtvtvtvtvt1)e1(0dee)de(ded)()(E00000=+=+=+课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 123 轮船横向摇摆的随机振幅 X 的密度函数为=,0,0,e)(2222其他xxxfx 试求：（1）E(X)；（2）遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：（1）+=020202022dee)de(ded)()(E22222222xxxxxxxxxfXxxxx，令2xt=，有tx2=，txd2d=，有222d2e0)(E02=+=+tXt；（2）4559.0e)e(ded)()(E422222)(E2222=+xxXxxxxfXXP 4 某公司生产的机器其无故障工作时间 X 有密度函数（单位：万小时）=,0,1,1)(2其他xxxf 公司每售出一台机器可获利 1600 元，若机器售出后使用 1.2 万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损 1200 元；若在 1.2 到 2 万小时内出故障，则予以维修，由公司负担维修费 400 元；在使用 2万小时以后出故障，则用户自己负责，求该公司售出每台机器的平均获利 解：设 Y 表示售出每台机器的获利，则=,2,1600,22.1,1200,2.1,1200)(XXXXgY 故+=2222.122.112d11600d11200d1)1200(d)()()(ExxxxxxxxfxgY 211600)2.1121(1200)12.11(1200)1(1600)1(1200)1(1200222.12.11+=+=+xxx=200+400+800=1000 5 设某产品每周需求量 Q 等可能地取 1,2,3,4,5（单位：件），生产每件产品的成本为 30 元，每件产品的售价为 90 元，没售出的产品以每件 10 元的费用存入仓库，问每周生产多少件产品能使所期望的利润最大 解：设每周生产 x 件产品，Y 表示所得利润，当 Q x 时，卖出 x 件，Y=60 x；当 Q x 时，卖出 Q 件，存入仓库 x Q 件，Y=60Q 40(x Q)=100Q 40 x；则=,40100,60)(xQxQxQxQgY 因 Q 等可能地取 1,2,3,4,5，应该有 1 x 5，当 x=1 时，恒有 Q x，Y=60 x=60，E(Y)=60；当 1 x 2 时，若 Q=1，有 Q x，Y=100Q 40 x，若 Q 2，有 Q x，Y=60 x，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 13xxxY40206054)40100(51)(E+=+=，有 60 E(Y)100；当 2 x 3 时，若 Q 2，有 Q x，Y=100Q 40 x，若 Q 3，有 Q x，Y=60 x，xxxxY20606053)40200(51)40100(51)(E+=+=，有 100 E(Y)120；当 3 x 4 时，若 Q 3，有 Q x，Y=100Q 40 x，若 Q 4，有 Q x，Y=60 x，1206052)40300(51)40200(51)40100(51)(E=+=xxxxY；当 4 x 5 时，若 Q 4，有 Q E(Y)100；故当 3 x 4 时，所期望的利润最大 6 设某种商品每周的需求量 X 服从区间(10,30)上的均匀分布，而经销商店进货数量为区间(10,30)中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利期望值不少于 9280 元，试确定最少进货量 解：因 X U(10,30)，有 X 的密度函数为 a 时，Y=500a+300(X a)=300X+200a，即+=,200300,100600)(aXaXaXaXXgY 故+=+3010d201)200300(d201)100600(d)()()(EaaxaxxaxxxfxgY 5250350215)10215()515(2302102+=+=aaaxxaxxaa，要使得92805250350215)(E2+=aaY，有040303502152+aa，可得26362 a，故 a 可取 21,22,23,24,25,26，最少进货量为 21 7 某人用 n 把钥匙去开门，只有一把能打开，今逐个任取一把试开，求打开此门所需开门次数 X 的均值及方差，假设（1）打不开的钥匙不放回；（2）打不开的钥匙仍放回 解：（1）X 的全部可能取值为 1,2,n，nXP11=，nnnnXP11112=，nnnnnnXP1211213=，nnnnnnnnXP1112123121=L，则 X 的分布列为nnnnnX1111321LL，故211)1(211131211)(E+=+=+=nnnnnnnnnXL，6)12)(1(1)12)(1(611131211)(E22222+=+=+=nnnnnnnnnnnXL，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 1412112)1)(1(4)1(6)12)(1()(E)(E)(D2222=+=+=nnnnnnXXX；（2）X 的全部可能取值为 1,2,k,，nXP11=，nnnXP112=，nnnXP1132=，nnnkXPk111=，即 X 的分布列为LLLLnnnnnnnnnnkXk111111132112，则=1111)(EkknnnkX，设=1111)1()1()(kkkkkxxxkxxS，收敛区间为 x (1,1)，有=111)(kkkxxxS，11,11)(10=xxxxdtttSkkx，两边关于 x 求导，得2)1(111)(xxxxxS=，即11,11)(=xxxS，故nnnSnnnkXkk=)1(11)(E11；又因=112211)(EkknnnkX，设=112112)1()1()(kkkkxkxxxkxT，x (1,1)，有=1121)(kkxkxxT，11,)1(1)(21110=xxxkxxkxdtttTkkkkx，两边关于 x 求导，得32)1(1)1(1)(xxxxxxT+=，即11,)1(1)(2+=xxxxT，故nnnnTnnnkXkk=211222)1(11)(E，故nnXXX=222)(E)(E)(D 8 设随机变量 X1,X2,Xn相互独立，且都服从正态分布 N(,2)记=niiXnZ1|1 求 E(Z),D(Z)解：因 Xi N(,2)，有密度函数222)(e21)(=xxf，则+=xxxxXxxide21)(2de21|)(|E22222)(2)(222e)(2122)(de21222)(222)(2222=+xxx，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 15且222D)E(E)|(|E=iiiiXXXX，则22222|)(|D=iX；故221|)(|E1)(E1=nnXnZnii，22212221|)(|D1)(DnnnXnZnii=9 证明函数(t)=E(X t)2 在当 t=E(X)时取得最小值，且最小值为 D(X)证：因(t)=E(X t)2=E(X 2 2tX+t 2)=E(X 2)2t E(X)+t 2=E(X 2)E(X)2+E(X)2 2t E(X)+t 2=D(X)+E(X)t 2 D(X)，故当 t=E(X)时(t)取得最小值 D(X)10设随机变量 X 与 Y 有联合分布律为 8181141811101XY（1）求证 E(XY)=0；（2）问当、取何值时，X 与 Y 不相关；（3）当 X 与 Y 不相关时，X 与 Y 独立吗？解：（1）由规范性知：18581814181=+=+，得83=+，=83，故083181081)1(41)1(8101)(E=+=+=XY；（2）因41281)8181(1)4181()1()(E+=+=+=X，21281)41(1)8181(0)81()1()(E+=+=+=Y，则)41)(81(4)212)(412(0)(E)(E)(E),(Cov=+=YXXYYX，故当41,81=或81,41=时，Cov(X,Y)=0，X 与 Y 不相关；（3）当41,81=时，X 与 Y 的分布表为 214141214181811214181811101jippXY 因 pij=pi p j，故 X 与 Y 独立；当81,41=时，X 与 Y 的分布表为 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 16834183838181811854181411101jippXY 因64158385411111=ppp，故 X 与 Y 不独立 11设(X,Y)有联合密度函数=,0,10,10,2),(其他yxxyxf 定义两个新的随机变量 U,V 如下：+=,1,0,1,1YXYXV 试求 U 与 V 的协方差 Cov(U,V)及相关系数 UV 解：因 U,V 的全部可能取值 0,1，且=+=121121121211d)12(dd2ddd),(1,0,01yyxyxxyyxyxfYXYXPVUPyyyyD 41)41(0)(1212=yy，=+=121112112dd2ddd),(1,0,13xxxxDxyxyxxyxyxfYXYXPVUP 125)4161(31)34(d)24(121231212=xxxxx，=+=210210122101d)21(dd2ddd),(1,1,14yyxyxxyyxyxfYXYXPVUPyyyyD 414121)(2102=yy，即(U,V)的联合分布为 01 1x yD1 D2 D3 D4 D1：1/2 y 1,1 y x yD2：0 x 1/2,x y 1 x D3：1/2 x 1,1 x y x D4：0 y 1/2,y x 1 y课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 1741125112141010UV 则32)41125(1)12141(0)(E=+=U，31)41121(1)12541(0)(E=+=V，且32)41125(1)12141(0)(E222=+=U，31)41121(1)12541(0)(E222=+=V，则923232)(E)(E)(D222=UUU，923131)(E)(E)(D222=VVV，又4141112501210410)(E=+=UV，故361313241)(E)(E)(E),(Cov=VUUVVU，819292361)(D)(D),(Cov=VUVUUV 12用一机床制造大小相同的零件，标准重为 1kg，由于随机误差，每个零件的重量（单位：kg）在（0.95,1.05）上均匀分布设每个零件重量相互独立（1）制造 1200 个零件，问总质量大于 1202kg 的概率是多少？（2）最多可以制造多少个零件，使零件总质量误差总和的绝对值小于 2kg 的概率不小于 0.9 解：（1）设 Xi表示第 i 个零件的重量，有 Xi U(0.95,1.05)，12)(E=+=baXi，1200112)()(D2=abXi，因 1200 个零件的总质量=12001iiX，有1200)(1200112001=iiiiXEXE，1)(1200112001=iiiiXDXD，且 n=1200 很大，由中心极限定理知：)1,1200(12001NXii&=，故0228.09772.01)2(1)110001202(1)1202(1120212001=&FXPii；（2）设制造 n 个零件，其总质量=niiX1，有nXEXEniinii=11)(，1200)(11nXDXDniinii=，可知数量 n 很大，由中心极限定理知：)1200,(1nnNXnii&=，则9.01)1220(2)12002()12002()2()2(2|1=+=+=nnnnnnnnFnFnXPYYnii&，得95.0)1220(n，65.11220n，9891.4165.11220=n，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 18故 n 1763.0854，即最多可以制造 1763 个零件 注：若取为645.11220n，就有1167.42645.11220=n，得 n 1773.8195，最多可以制造 1773 个零件 13某公司生产的电子元件合格率为 99.5%装箱出售时，（1）若每箱中装 1000 只，问不合格品在 2 到 6只之间的概率是多少？（2）若要以 99%的概率保证每箱中合格品数不少于 1000 只，问每箱至少应多装几只这种电子元件？解：（1）设 X 表示 1000 只电子元件中的不合格品数，有 X B(1000,0.005)，则 E(X)=np=5，D(X)=npq=4.975，且 n=1000 很大，由中心极限定理知：)975.4,5(NX&，故)35.1()45.0()975.452()975.456()2()6(62=XXFFXP 5851.019115.06736.01)35.1()45.0(=+=+=；（2）设每箱多装 x 只电子元件，Y 表示这 1000+x 只电子元件中的不合格品数，则 Y B(1000+x,0.005)，有 E(Y)=np=5+0.005x，D(Y)=npq=4.975+0.004975x，数量 n 很大，由中心极限定理知：)004975.0975.4,005.05(xxNY+&，每箱中合格品数不少于 1000 只，即不合格品数 Y x，则99.0)004975.0975.4005.05()(+=xxxxFxYPY，即33.2004975.0975.4005.05+xxx，得方程)004975.0975.4(33.2)5995.0(22xx+，即02977.999.02xx，故 x 10.274，即每箱至少应多装 11 只电子元件（或由于可以看出 x 较小，33.2004975.0975.4005.05+xxx可近似为33.255x，得 x 10.21）注：此题 n 很大，p 很小，np 较小，最好是用泊松分布近似，（1）因 X B(1000,0.005)，=np=5，即)5(PX&，故 P2 X 6=PX 6 PX 1=0.7622 0.0404=0.7218；（此题按二项分布计算的准确答案是 0.7225）（2）因 Y B(1000+x,0.005)，且显然 x 较小，5=&np，即)5(PY&，则 PX x 0.99，查泊松分布表得 x 11 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m