概率论与数理统计-二、 全概率公式.pdf
全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式二、二、复习返回1.样本空间的划分：样本空间的划分：(1)jijiBBji=;,2,1,?；(2)=?21BB 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，?,21nBBB为为 E 一组事件，若一组事件，若 则称则称,.,21nBBB?为为的一个划分。的一个划分。即：将即：将划分成一组互不相容的事件。划分成一组互不相容的事件。例例 1.掷一骰子，观察其点数。掷一骰子，观察其点数。解：解：样本空间样本空间=,12 34 5 6B11 2 3=,，B24 5=,，B36=是是的一个划分的一个划分C11 2 3=,，C23 4=,，C35 6=,不是不是的划分。的划分。2.全概率公式全概率公式A为一事件，为一事件，?,21nBBB为为的一个划分，的一个划分，且且P Bi()0，=1)()|()(nnnBPBAPAP证明：证明：)()()(21?+=nBBBAPAPAP)(21?+=nABABABP?+=)()|()()|()()|(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP=1)()|(nnnBPBAP则则5个个5个个2个个2个个3个个3个个例例1.有十个袋子，装球情况如左图所示。任选一个袋子，并从中任取两球有十个袋子，装球情况如左图所示。任选一个袋子，并从中任取两球.求取出的两球都是白球的概率。求取出的两球都是白球的概率。解：解：设设A表示取出的表示取出的 2 个球都是白球，个球都是白球，Bi表示所选的袋子中装球的情况属于第表示所选的袋子中装球的情况属于第i种种（i=123,）。）。P BP A BCC(),(|);112262210115=P BP A BCC(),(|);223262310315=P BP A BCC(),(|).334262510615=+P AP A B P BP A B P BP A B P B()(|)()(|)()(|)()112233=+=210115310315510615411500273.例例 2.某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有个，并且其中恰有)4,3,2,1,0(=ii个次品的概率如下：个次品的概率如下：一批产品中有次品数一批产品中有次品数0 1 2 3 4 概 率 0.10.20.40.20.1 求各批产品通过检查的概率。求各批产品通过检查的概率。解：解：设事件设事件Bi表示一批产品中有表示一批产品中有i个次品（个次品（i=012 34,），），则则P BP BP BP BP B().,().,().,().,().012340102040201=设事件设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的表示这批产品通过检查，即抽样检查的 10个产品都是合格品，则个产品都是合格品，则P A B(|),01=P A BCC(|).,19910100100900=P A BCC(|).,29810100100809=P A BCC(|).,39710100100727=P A BCC(|).49610100100652=P AP A B P Biii()(|)().0408142继续全概率公式全概率公式=1)()|()(nnnBPBAPAPP Bi()试验前的假设概率。试验前的假设概率。（?,2,1,0=i）如果进行一次试验，事件如果进行一次试验，事件A确实发生了，则应当重新估计事件的概率，即求确实发生了，则应当重新估计事件的概率，即求P B Ai(|)。P B Ai(|)试验后的假设概率。试验后的假设概率。（?,2,1,0=i）3.贝叶斯公式：贝叶斯公式：A为一事件，为一事件，?,21BB为为的一个划分，且的一个划分，且 P A(),0?,2,1,0)(=iBPi则则?,2,1,)()|()()|()|(1=iBPBAPBPBAPABPnnniii例例 3.临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 95%，对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占，对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占 96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 4，求：（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；（2）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率。，求：（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；（2）试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率。解：解：设事件设事件A表示试验结果呈阳性反应，事件表示试验结果呈阳性反应，事件B表示被表示被检检查者患有癌症，查者患有癌症，则据题意：则据题意：P B().=0004，P A B(|).=095，P A B(|).=096=P B().,0996P A B(|).,=005 P A B(|).=004()(|)()(|)()(|)()(|)1 P B AP B P A BP B P A BP B P A B=+=+=0004 0950004 095 0996 00400871.说明说明:试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大，还需要通过进一步的检查才能确诊。试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大，还需要通过进一步的检查才能确诊。()(|)()(|)2 P B AP BP A B=()(|(|)(P B P A BP A BP B+=+09960960050996.=000409609998.说明：试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大。说明：试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大。返回例例 4.（无线电通讯）在无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号为“（无线电通讯）在无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号为“”时收到信号为“”时收到信号为“”、“不清”、“不清”、“”的概率分别为、“”的概率分别为0.7、0.2和和0.1，当发出信号为“”时，收到信号为“，当发出信号为“”时，收到信号为“”、“不清”、“不清”、“”的概率分别为、“”的概率分别为 0、0.1 和和 0.9。如果整个发报过程中“。如果整个发报过程中“”和“”出现的概率分别为”和“”出现的概率分别为 0.6 和和 0.4，试问当收到信号“不清，试问当收到信号“不清”时应如何估计原发信号？。时应如何估计原发信号？。解：解：设事件设事件=A收到“不清”收到“不清”，=B发出“发出“”，=B发发出“”出“”。则据题意：则据题意：6.0)(=BP，4.0)(=BP，2.0)|(=BAP，1.0)|(=BAP)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP+=说明说明:原发信号为“原发信号为“”的可能性较大。”的可能性较大。75.01.04.02.06.02.06.0=+=25.0)|(1)|(=ABPABP例例 5.(选择题合理性选择题合理性)考试时每个选择题有考试时每个选择题有 4个答案，其中只有个答案，其中只有 1 个是正确的。当学生不会做时可以随机猜测，估计一个学生会做题与不会做题的概率相等。现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率。个是正确的。当学生不会做时可以随机猜测，估计一个学生会做题与不会做题的概率相等。现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率。解：解：设事件设事件=A学生答对该题学生答对该题，=B学生会做该题学生会做该题。则据题意：则据题意：,5.0)()(=BPBP1)|(=BAP,25.0)|(=BAP，)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP+=改进：一改进：一.是增加选择题的备选答案是增加选择题的备选答案 二对题目的难易度可作适当调整二对题目的难易度可作适当调整8.025.05.015.015.0=+=例例 6.（选购方案）玻璃杯成箱出售，每箱20 只，假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率分别为 0.8、0.1 和 0.1，顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机察看该箱中 4 只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（选购方案）玻璃杯成箱出售，每箱20 只，假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率分别为 0.8、0.1 和 0.1，顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机察看该箱中 4 只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。解：解：设事件设事件=A顾客买下该箱顾客买下该箱，=iB箱子中有箱子中有i只残只残次品次品，2,1,0=i。则据题意：则据题意：,8.0)(0=BP ,1.0)()(21=BPBP(1)利用全概率公式，可得：利用全概率公式，可得：)|()()(20iiiBAPBPAP=+=4204181.04204191.018.0.94316.0=.2,1,0,420420)|(=iiBAPi返回(2)利用贝叶斯公式，可得：利用贝叶斯公式，可得：)()|()()|(000APBAPBPABP=.84821.0)(18.0=AP习题二：习题二：8，13，14，15
