热力学与统计物理第九章.pdf
第九章第九章第九章第九章 系综理论系综理论系综理论系综理论习题习题习题习题 9.19.19.19.1 证明在正则分布中熵可表为其中是系统=ssskSlnsEseZ=1处在s态的概率。证证证证：多粒子配分函数)ln(ln=ZZkS)1(1ssEsEeZeZ=)2(ln=kEkEkkkeeEZ由(1)知sssssEZEZEZeslnln1;lnln+=+=代至(2)得;+=+=ssssssZZZln1ln1lnln1ln于是=ssskZZkSlnlnln习题习题习题习题9.29.29.29.2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证证证证：()222121;iziyixNissEpppmEeZs+=符号=iiziyixdpdpdpdp符号=iiiidzdydxdq()()2/33)(232332!1222122212222NNNNpppmNNpppmNNpppNmhNVZdpehNVdpehNVdpdqehNZzyxNiiziyixNiiziyixm=+=利用式（9.5.3）类似求。VNTkVZZZP=1ln1SU,习题习题习题习题9.39.39.39.3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温课后答案网度为。T试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解解解解：()()=+jjjiiiiiziyixppppppmnndqdpdzdydxdpdpdpehnnZjzjyjxiziyix222222212)(321!1()2/3)(321)(2121212!nnnnnnmhnnVZ+=()kTnnPVVkTnnVZP)(ln12121+=+=习题习题习题习题9.59.59.59.5 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。解解解解：QmNZN2/32!1=()()()ZQmNQNNmZUNNN/2!12/3!2ln2/32/312/3=drfVNVQQQNNN+=121212;1)2/3()=efefdrfVNQrN121212121;212()+=drfVNVdreVNNTkUdreVNQNNNN12121212122/3;22一般认为较小；drfVN1222VakNTdrfVNVdreVNNTkUNN/2/32122/312212+=习题习题习题习题9.69.69.69.6 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为，其中：SBNTkpS/1+=为液体的面积，为两分子的互作用势。()=SrdreNBkT;212/课后答案网解解解解：二维气体+=iiiyixppNdydxdpdpehNZjiiiyixm)(22221!1QmNdpdqedqehNNrNiypixpmjiij)2(!1!1)22(21)(2=+其中定义nrdrdrdreQjiij21)(=1)(=ijrijefnjiijnjiijdrdrfdrdrdrfQ121)1()()1(+=+=只保留前部分=+=2112211;drdrfVdrdrfdrdrfSNnijjinijN其中变量代换+=2112222drdrfSNSQNN()1221;2/rrrrrR=+=+=drfSNSQNN12122据式（9.5.3）+=drfSNSNdrfVNSNQ1221222ln21lnlnln+=SBkNTdrfSNNTkPVSQZP121ln1ln112习题习题习题习题9.79.79.79.7 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温L下的内能和热容量。解解解解：一维线形原子链,.1,0,/2,=nLnkck共有个振动，存在最大频率cLddDLdkdn2/)(;2/=ND=LNcNdcLNdDDD/22)(0令decLUdeDUUkTkT+=+=1002)(kTdxdxkT=/+=+=12)1(2220220 xxexdxckLTUedxxTkcLUU高温近似+=+kNTUdxckLTUUx02202;课后答案网低温近似其中DexkNTUdxckLTUUx6/22201220+=+DDk=习题习题习题习题 9.89.89.89.8 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L L L L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。解解解解：二维：面 积S S S S内，波 矢 范 围 内 辐 射 场 振 动 自 由 度 为yxdkdk2244skdkddksdkyx=横波按频率分布为dcSdSkdk2120224=纵波按频率分布为dcSdSkdk2220224=()()()+=+=+=22212221112112ccSBdBdccSdDdDdD纵横()deBUedDUUDDktkt+=+=0200011令kTdxdxkT=,dxexkTBUdxkTexkTBUUkTxxD+=+=023022011低温近似300230404.21+=+kTBUdxexkTBUUx高温近似23003021+=+kTkTBUdxxkTBUUDkTD计算略。vCBNNBNdDDDD4222)(202=课后答案网习题习题习题习题9.99.99.99.9 利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数，从而求内能Zln和熵。解解解解：式（3.9.4）+=ieeeZ1lnlnln20德拜频谱BND93=对于振动()(1ln1lnlnln2020020 xdeeBdDeeeZDD=+=+=代换()()dxxeBdBDDx2003201ln2+=()340340151531+=+=DNUBU计算略S高温近似，T0()=3ln1lnln300200dBdBZDD()=DdBab0203031ln3()BBDD9ln3330+=（计算略）()NN+=ln30习题习题习题习题9.109.109.109.10 固体的结合能和德拜特征温度都是体积的函数。利用上题求0UDV得的求低温条件下固体的物态方程。令，试证明，在高温及低温ZlnVDlnln=下，课后答案网固体的物态方程都可表为：。VUUdVdUp00+=解解解解：以低温为例()3030340115ln+=+=+=DDDAUAUNUZ据正则分布热力学公式（9.5.3），将及视为体积的函数。0UDV（1）VAVUVZpVAVUVZDDDD=4404403ln13ln据热力学式（9.5.1）得出：4403ln=DAUZ（2）4403ln+=DAUZU联立（1）（2）得出：()VUUVUpDD=00()VUUdVdUVVUUdVdUD0000lnln+=其中；原式得证。高温情况可作类似处理（略）VDlnln=习题习题习题习题9.119.119.119.11 固体中某种准粒子遵从玻色分布，具有以下的色散关系。试4Ak=证明在低温范围内，这种准粒子的激发所导致的热容量与成比例。（铁磁铁中的自23T旋波具有这种性质）证证证证：色散关系；粒子体系（固体）2Ak=N()dkkVddkdkVdkdkdkVdDzyx22202302030sin44=dAVAAdAV2/12/32222=课后答案网令，2/322AVB=()=DDNdBdD02/10BND2323=()()+=+=DDdeDBUdeDUUkTkT02300011()+=DdeDBUUkT02301代换；kTx=+=DdxexkTkTBUUx0232301当时；0T()+=023232501dxexkTBUUx；于是()()250kTUU23TCTUv=习题习题习题习题9.149.149.149.14 用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。解解解解：参照 9.17 关于玻耳兹曼体系配分函数的处理=lllllle00lnlnln过渡到连续能量分布得:()323232222ln=+dpeehVdpdpdpehVpmzyxpppmzyx30232.22=+mmdeehVpm2322323322=hmVemehV课后答案网利用热力学式可求得,等(略)kTNpV=kTNU23=注:-单粒子处于 能级的能量。ll习题习题习题习题9.169.169.169.16 设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡，被吸附的分子可以在吸附面上作二维运动，其能量为，束缚能是大于 0 的常数。试根022mp0据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。解解解解：2exp)2(!00022201)2(02),(02+=ehmAehmNAdpdpehNeAdehNeNNNNNmpNNNNpqENNN因而，022ln+=ehmkTA，又=N022+ehmkTA，故，232)2(mkThkTpe=kTemkThhmpAN02322)2(2=得出，=ANkTemkThkTp0212)2(习题习题习题习题9.179.179.179.17 利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。解解解解：；由于玻耳兹曼系，粒子可分辨，从而=NSENse()+=llllaEaeaaaaN!321为简单起见，考虑无简并（有简并情况完全可类似处理）()+=llllaEaeaaaa!1321()lllaElalea+=!1()()=+=0!1lllllaaaEleCxpea于是：()=+=课后答案网()()()()+=laaalalmaaamlaalSENlNlllllmmmllSeaeaaeaeaa!1!1!1()()laaaallaaallllllllleaaeaa=+1!1!1!()()lleeal+=exp1即对无简并情况()leal+=对有简并者，类似处理可得（略）()leall+=简并度课后答案网
