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第 21 卷第 5 期 数 学 教 育 学 报 Vol.21,No.5 2012 年 10 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Oct.,2012 收稿日期：20120503 基金项目：北京市属高等学校人才强教计划项目 PHR（IHLB,201102）作者简介：李双（1977），女，天津人，北京工商大学讲师，北京大学博士生，主要从事密码学、信息安全、数学教育等研究 概率论与数理统计教材与实践概率论与数理统计教材与实践 李 双（北京工商大学 理学院，北京 100048）摘要：目前国内应用普及率比较高的概率论与数理计教材看，大体分为 3 类，一类是适用于经济管理类的教材；一类是适用于高等学校工科、理科（非数学专业）的教材；一类适用于数学专业的教材浙江大学概率论与数理统计（第 4 版）具有注重启发式教学、应用范围广、内容编排合理等特色概率论与数理统计的入门级教材，应该弱化数学推导，加强直观理解；重视知识的发现过程，在探索中培养兴趣；培养学生思维能力，传授学生思想方法 关键词：概率论；数理统计；教材；教学方法 中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：10049894（2012）05008404 随着社会的信息化程度的不断提高，概率统计的思想和方法显得越来越重要，在数学课程中加强概率统计的分量也成为必然，如何使每一名学生具备基本的随机意识和统计的思想方法，已越来越成为各国教育界所重视的问题 在这样的背景下，一本好的概率统计教材就显得尤为重要！浙江大学概率论与数理统计（第 4 版）1是普通高等教育“十一五”国家级规划教材该书自 1979 年 3 月初版至今，历经多年教学实践的考验，得到了国内广大院校和任课教师的认可，发行量为国内同类教材中最多的 1 出版与作者情况 浙江大学概率论与数理统计由高等教育出版社出版第四版是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，是在第三版的基础上修订编写而成 第一作者盛骤（1932），女，浙江温岭人，浙江大学应用数学系教授1952 年毕业于浙江大学数学系，留校任教1988 年晋升为教授现为中国运筹学会可靠性学会常务理事 盛骤一直从事基础课教学，编写了 7 种教材，主要有：概率论与数理统计（第一编者），为全国各高校工科、理科及师范（除数学系外）各专业广泛用作教科书，又被广大工程技术人员作为参考书，并向东南亚各国发行，自 1979年出版以来累计印数达136.48万册；常微分方程组与稳定性理论（第二编者）；线性代数与数理统计（第一编者）；高等数学（第一编者），1990 年 10 月获华东地区大学出版社首届优秀图书二等奖等 2 中国概率统计教学和教材的背景 在我国的数学教育中，概率统计较晚才得到重视，但近年来得到了很大的重视，涌现出一大批好的教材，特别是在国家“十五”、“十一五”发展规划中涌现出了大量的有关概率统计的教材24 2.1 面向 21 世纪教材 1996 年原国家教委开始组织实施“高等教育面向 21 世纪教学内容和课程体制改革计划”，其中子项目经济学门类数学基础课研究和管理学门类数学基础课研究分别由中国人民大学和北京大学承担 考虑到这两大学科门类数学基础课的共同特点，教育部又将这两个子项目整合为“经济管理学类专业数学基础课程设置与教学内容改革研究”，集中力量合作研究，并成立了以魏权龄教授和范培华教授为项目主持人的课题组由此孕育出概率论与数理统计2，中国人民大学龙永红主编，高等教育出版社出版，目前最新版本是第三版 也是我国目前高等学校经济管理学科概率论与数理统计学科的代表教材 编写面向 21 世纪教学内容和课程体系改革相关教材主要考虑以下问题2：为适应我国在 21 世纪社会主义建设和经济发展的需要，培养“厚基础、宽口径、高素质”的人才，基础课，特别是数学基础课不应削弱，而应适当加强 考虑到目前绝大多数综合性大学、工科院校都设立了经济或管理学科的有关专业，但各校、各专业方向对数学基础的要求有一定的差异，这套教材应照顾到多数院校教学的实际情况，便于教师和学生使用 作为一门数学基础课的教材，首先注意保持数学学科本身的科学性、系统性，但在引入一些概念时尽可能采用学生易于接受的方式叙述，对个别冗长、繁琐的推理则略去，而更突出有关理论、方法的应用和数学经济模型的介绍 作为经济管理学科各专业的数学基础教材，编者注意了专业后继课程的需要，并考虑学生继续深造的需要，教材的各章均配备了 A，B 两组习题一般达到 A 组习题的水平，就已经符合本课程的基本要求 B 组习题是为了数学基础要求较高的专业或学生准备的 2.2 普通高等教育“十五”国家级规划教材 概率论与数理统计教程3由茆诗松、程依明、濮晓龙编著，高等教育出版社出版 本教材是适应高等院校数学系和统计系的数学专业教材 本书内容分为 8 章，前 4 章为概率论，后 4 章为数理统计在编写上作了一些尝试，比如把随机变量的定义分两步完成 其直观定义在第一章就出现了，用来表示事件，较为严格的定义在第二章中完成在随 第 5 期 李 双：概率论与数理统计教材与实践 85 机变量层次上，教材更强调分布的概念在概率的定义上，采用了公理化系统，而把频率、古典概率、几何概率和主观概率作为确定概率的 4 种方法 在统计部分教材尽量从数据出发提出问题和研究问题，对总体、抽样分布、检验的拒绝域等概念的叙述都作了一些改进，增加了描述性统计的内容和贝叶斯统计初步，让学生能较为全面的认识统计 全书图文并茂，共有 100 多幅图，例子近 250 个，很多例子更贴近人们的社会、经济、生活和生产管理，增强学生的学习兴趣，让学生从概率统计的具体应用实例入门，进入数学的殿堂，使各种概念和定理成为有源之水、有本之木 2.3 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 经济数学概率论与数理统计4第二版主编：吴传生，由高等教育出版社出版此教材是在第一版（普通高等教育“十五”国家级规划教材）的基础上修订而成的，是经济数学首门国家级精品课程的使用教材 本教材的特点是把数学知识和经济学、管理学的有关内容有机结合，融经济于数学，体现“数学为本，经济为用”的原则 在统计部分也增加了现实生活中常用的 p 值检验法和 Excel 软件在统计中的运用 概率论与数理统计1第四版，浙江大学，盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社出版 为全国各高校工科、理科及师范（除数学系外）各专业广泛用作教科书，又被广大工程技术人员作为参考书，并向东南亚各国发行，自 1979年出版以来累计印数达 136.48 万册 从目前国内应用普及率比较高的概率论与数理计教材看，大体分为 3 类，一类是适用于经济管理类的教材；一类是适用于高等学校工科、理科（非数学专业）的教材；一类适用于数学专业的教材 不论是哪种教材，目前高等教育界基本形成了一个共识，那就是，作为概率论与数理统计的入门书，应该着眼于概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法，突出概率论与数理统计的基本思想和应用背景，强调直观性和准确性，叙述简洁明了，从具体问题入手，深入浅出，循序渐进，避免采用纯数学的严密逻辑方式叙述 2.4 其它流行教材 谈到其它流行教材，不得不谈数理统计学界唯一的院士陈希孺教授的概率论与数理统计第 1 版，中国科学技术大学出版社出版全书分为 6 章，简洁明了虽然这本概率论与数理统计 是入门级的教材，但也是一本经典教材 陈希孺院士的书很流畅，从一个思想过渡到另一个思想很自然，比如从参数估计过渡到假设检验 这本教程揭示了很多问题的简单知识点之间的联系，使得读者慢慢对统计的思想有了个概貌统计思想其实是一个体系，比如概率思维、估计思想、假设检验思想等，学习数理统计最重要的目的就是掌握统计思想，并把这种思想应用到实际问题中 数理统计学教程第 1 版，陈希孺、倪国熙，中国科学技术大学出版社出版 该书两位作者是我国数理统计学界的知名学者，尤其是第一作者陈希孺先生是我国杰出的数理统计学家和教育家 这本教材是数理统计学的基础教程，内容包括基本概念、点估计、假设检验、区间估计、Bayes 统计与统计判决理论、线性统计模型和多元分析基础等 阅读该书对数学基础要求不高，没有要求读者具有测度论基础 该书语言流畅优美，统计思想和统计概念讲述非常精准，可以看出是作者厚积薄发的结果，是一本适合于真正想要理解统计观点和本质的读者阅读的经典教材 以上这些教材都很重视概率统计方法的背景和思想的介绍，由浅入深，深受广大读者的喜爱 3 教材的特色 下面讨论浙江大学第四版概率论与数理统计，这本教材所包含内容和难易程度介于经济管理类概率统计和数学专业概率统计之间 3.1 启发式教学 该书在选材和叙述上尽量做到联系实际，注重应用，力图将概念写得清晰易懂，便于教学在例题和习题的选择上也作了努力，这些题目既具有启发性，又有广泛的应用性，从题目的广泛性也可以看到本门课程涉及生活和技术应用领域的广泛性，读者将会发现这些例题和习题是饶有趣味的 3.2 应用范围广 该书可作为高等学校工科、理科各专业的教材和研究生入学考试的参考书，也可供工程技术人员、科技工作者参考选用本教材的院校类别较为广泛，专业不一，学生程度不一 本教材内容要比教学大纲多一些，要比教师在课堂讲授的多一些，这样能够照顾到各个专业的需要，能满足不同程度学生的学习需要 3.3 内容编排 该书由概率论与数理统计两部分构成，添加了现实生活中常用的一些思想和方法 第四版是在第三版的基础上修订编写而成 本版新增加了以下内容：介绍了 Bootstrap 方法的基本思想和方法，它是近代统计中的一种用于数据处理的重要方法该书介绍了用Bootstrap 方法求参数点估计和区间估计的具体做法 新增了在数理统计中应用Excel软件一章 介绍了Excel软件及其在数理统计中的应用，举例介绍了应用 VBA 语言编写“宏”求解具体的数理统计问题 新增了假设检验问题的 p 值检验法 新增了箱线图，箱线图能大致描述随机变量分布的一些重要性质，还能检验疑似异常点 对第三版原有的例题和习题作了一些调整，增加了有关加强基本概念、基本运算的习题，在例题和习题的选择上扩大了设计的范围例如，农业、保险业、医学、商业、管理学、体育等 3.4 小结和参读资料 为了帮助读者抓住要点，提高学习质量与效率，在各章末增写了小结 小结中所包含的内容，有的是用来说明概念的现实背景和含义，对某些概念与方法所基于的概率和统计思想作了进一步的阐述；有的则阐明一章内容的重点和基本要求；有的则指出学习时应注意之点 小结也能起到提纲挈领的作用 86 数 学 教 育 学 报 第 21 卷 书末还增加了参读材料：随机变量样本值的产生，这些内容在解决实际问题时是常会用到的 3.5 配套课件和配套辅导教材 本次修订也包括配套辅导书 概率论与数理统计习题全解指南 4 概率论与数理统计课程的思考与探讨 作为概率论与数理统计的入门级教材，应该向更多的学生敞开大门，通过普通高等教育使得概率统计知识成为一个公民的必备常识！第一，弱化数学推导，加强直观理解 数理统计的理论基础是实变函数、测度论 这两门课程对于很多学生来说有一定的难度，特别是非数学专业的学生，根本没有机会学到这两门课程，那么如何编排教材才能既把理论讲清楚，能让学生好理解，又不至于陷入专业数学殿堂中去，一直是研究者在思索的一个问题 我国目前的教材，多是延续前苏联教材的模式，重视严谨的逻辑体系，对每一环节的学习倾向于一次达到相当深入的程度，刻意强调各个知识环节的紧密联系；作为数学教师，本身是数学专业，一旦碰到需要数学推导、理论证明的问题，通常变得兴奋起来，滔滔不绝、洋洋洒洒地在黑板给同学们演示整个证明过程 原本目的是要向学生展示数学的美，结果却是差强人意，很少有学生会自始至终地跟着老师的证明思路一直地思考 虽然目前概率论与数理统计教材种类较多，但课程内容变化不大，体系单一，同时教学计划及大纲要求过死，导致教师只对书本负责，难于顾及对学生创新意识的培养，影响了教师教学主动性的发挥 在教授和教学方法上教师侧重于符号演算和解题技巧的教学，忽视问题背景设计及数学文化修养方面的教育5 研究者常常思考：这样的数学推导、逻辑证明到底对学生的学业和成长有多大的帮助？是对逻辑思维的一个训练过程，这一点是值得肯定的 但高等数学中的公式可能很多学生今后一生也不会再用到，那么还有必要把教材主要篇幅、教学的重点放在定理的推导、公式的演算上吗？对于有些问题可能如果可以给出直观地解释可能更有利于学生的理解，也能使学生的记忆更深刻 例如在统计部分关于样本方差的概念，有两个定义，不同的教材处理方式不同 有些教材只介绍一个定义，有些教材介绍两个定义，一个定义为样本方差，一个定义为样本方差的修正值这两个关于样本方差的定义一个是 niiXXnS122)(1，系数除以样本个数 n另一个是 niiXXnS122)(11，系数除以样本个数减 1，即 n1对于这两个关于样本方差 的定义没有实质性的区别，表示的都是样本点与均值偏差的平均值；区别之处只是系数不同 针对这样两个关于样本方差的定义，当介绍完估计的优良评价标准后，知道系数除以n1，得到的是关于总体方差的一个无偏估计；而除以系数n 得到的关于总体方差的估计不是无偏估计但是对于学生来说就很难理解，为什么样本容量是 n 而除以 n1 得到的统计量反而更好，是无偏估计？对于这个问题，如果首先引导学生发现样本方差定义式中的 n 项和线性相关，即 niiXX10)(就是说其中至少有一项可以由另外 n1 项线性表示，也就是说自由度是 n1，这样在对统计量处理时除以对应的自由度，可以得到比较好的估计，这是统计中常用的处理方法这样一来，同学们理解起来更容易，也能更好地理解知识的更深层的东西！如能在教材编排和课堂教学中这样处理，呈现给学生的不仅是简单的概念和定理，而最关键的是统计的思想和方法 第二，重视知识的发现过程，在探索中培养兴趣 兴趣是学习最有效的动力 兴趣不仅对学习重要，对事业的成功同样是重要的数学家韦尔斯（AndrewWiles）十年磨一剑攻克费尔马大定理，就是从小就迷上了这个世界难题培养学生的兴趣，老师非常关键物理学家弗里希（O.R.Frisch）曾说“科学家必定有孩童般的好奇心要成为一个成功的科学家，必须保持这种孩提时的天性”通常在教学中，要求教师对所讲授的内容非常熟悉，在课堂上能行云流水一般地讲授给同学们，让学生在知识学习的过程中，同时享受一气呵成的畅快但是就某些问题可以设置情景，制造问题，引起学生兴趣比如教师可能就某一问题，精心设置“陷阱”，致使问题推导不下去了，甚至是推导的过程中有错误，这时候就会有学生发现问题，提出来，然后老师再兴致勃勃地与同学们一起来探讨，究竟问题出在哪里这种情况对学生来说，虽然不是一下子接受到正确无误的知识，然后把它记下来，而是经过曲折的探索找到了正确的答案其实这样的过程是很重要的，在探索讨论的过程中发现知识，会理解得更透彻、印象也更深刻在教学的过程中可以考虑设计这样的虚假错误，让同学们去发现，培养他们探索发现的能力！同样在教材编排处理的时候也可以尝试，提出问题，然后给出参考解决方案，当然有些方法未必正确或者是适用，通过接下来的论述说明，给出正确的方法以及某些方法不恰当的原因，这样可以增加教材的可读性对于来源于生活的问题，还原生活，拉近与学生的距离，引起他们的兴趣这些方法都是可以提高学生兴趣的有效手段 例如对于概率部分著名的生日问题：求 n 个人中至少有两人生日相同的概率 首先可以询问班级同学中是否有两个人出生在同一天？这个小的情景设置，定会引起同学们的讨论，成为课堂中的一个小高潮在大家一片议论声中，根据班级学生的人数，告诉大家他们班至少两位同学生日相同的概率，同学们一定会惊讶，唏嘘不已接下来给出 n 等于不同值时的概率 设 pn=p（n 个人中至少两人生日相同），有结果 406.020p，696.030p，965.050p，992.060p这 个结果出乎意料，有悖于我们“同年同月同日生乃是千古奇缘”的传统观念此时会引起同学们思考的极大兴趣，再给 第 5 期 李 双：概率论与数理统计教材与实践 87 出具体的分析过程 生日问题看成 n 个球放入 N=365 个盒子中，用前面讲过的盒子模型 365365!11365365365!nnnnPpn 可以直接算出对于同龄的人群样本中，当人数达到 60 个人时，两个人生日相同的概率高达 99.2%，所以同班同学中有两个人生日相同的概率非常大，并不是偶然 学习如化学反应，兴趣就如反应过程中的催化剂，加速化学反应的速度和强烈程度 只要有兴趣，学到的知识能扩大对学习的兴趣，诱使学生主动地去学习新的东西 第三，培养学生思维能力，传授学生思想方法 今天的高等教育比较普遍的一个现象就是很少有同学毕业后从事所学专业的工作，大学 4 年的专业知识学习，花费了很多的时间、精力，也花费了很多的心血，这些不是在做无用功 比如说关于中心极限定理的学习，多数人一辈子用不到中心极限定理，那为什么在概率统计课程中要学习？事实上是透过学习中心极限定理这一系列的东西，慢慢发展抽象能力数学大概是表现抽象最极致的一门学科 数学思想是不可能像填鸭那样灌输给学生的 能否较好的把数学思想介绍给学生，要求是双向的 既要求老师善于讲，也要求学生有兴趣、肯思考在数理统计中常见的模型就是从盒子抽球这个模型，许多具有不同背景的实际问题都可以转换为盒子模型，如上面提到的生日问题 如果单纯地思考盒子和球，问题就显得抽象，对于学生来讲有一定的困难 但如果把这样的原始模型换成具体实例，比如换成军事问题、金融问题，就能提起学生的兴趣，使学生在分析实际问题的时候培养思维能力，学会思考问题的思想方法 同样为了帮助学生能更好地把握和理解有关的思想和方法，可以在教学中适当地穿插介绍一些历史人物和故事，例如 t 分布是怎样发现的学生 t-分布可简称为 t 分布其推导由威廉戈塞（William Sealy Gosset）于1908 年首先发表，当时他还在都柏林的吉尼斯父子酿酒厂工作 因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名之后 t 检验以及相关理论经由罗纳德 费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher,FRS）的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生（Student）分布通过历史人物的介绍也能培养学生对本课程的学习兴趣 数学教师要知道在专业知识的传授过程中如何才能给学生一些东西，使学生能够终身受益 通过专业知识的学习能使学生的思维得到锻炼，传授给学生一些重要的思想方法，使学生在分析问题时，能有一个正确科学的看问题的角 度例如在假设检验中1100:HvsH关于最终 的结论，如果不能拒绝原假设，那么很多学生，包括很多教科书中都是处理为接受原假设 现实生活中，也会遇到这样的情形，当不能否定一种方案时，就一定要接受此种方案吗？科学的思想方法是：未必接受此种方案 当然这背后蕴含着数理统计中有关犯第一类错误（即 P（拒绝 H0|H0真）拒真的概率）、第二类错误（即 P（接受 H0|H1真）纳伪的概率）的理论作为基础 那么授课的重点以及教材的功能是在知识传授过程中教给学生科学的思想方法，这一点更重要，也会对学生的一生有重要的影响 5 结 束 语 在大学概率论与数理统计课程中，应该教学生什么？不容置疑，要介绍重要的结果，漂亮的方法，巧妙的技巧和广泛的应用 但最重要的是介绍数学的思想 数学最富有吸引力，最迷人，最具有威力，也是最本质的就是她的思想 有人曾说“数学训练的好处就是一个人可以去追溯根本”这个根本正是数学赋予人类的精髓思想方法、抽象能力 参 考 文 献 1 盛骤，谢式千，潘承毅概率论与数理统计（第 4 版）M北京：高等教育出版社，2008 2 龙永红概率论与数理统计教程（第 2 版）M北京：高等教育出版社，2009 3 茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计M北京：高等教育出版社，2006 4 吴传生经济数学概率论与数理统计（第 2 版）M北京：高等教育出版社，2009 5 刘玉波，汤大林，马仲立关于美国微积分改革的思考J数学教育学报，2011，20（3）：8082 Light Analysis of Textbooks on Probability and Statistics LI Shuang(School of Science,Beijing Technology and Business University,Beijing 100048,China)Abstract:Depending on four categories of“textbook series for 21st Century”,“fifteen national level planning materials”,“11th Five-Year national planned textbooks”and“others”,the article introduces some popular teaching materials on probability and statistics.Focusing on the basic information and main feature of“Probability theory and mathematical statistics”published by Zhejiang University,which has the largest circulation in the similar materials.According to the writers teaching knowledge and experience,the article presents some thoughts and comments about our textbook and teaching method for the curriculum of probability and statistics.Key words:Probability;statistics;textbook;teaching method.责任编校：陈汉君
