2020届中考数学专题复习-几何三大变换之平移探讨.pdf

1 最新 2020 届中考数学专题复习：几何三大变换之平移探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。结合 2011 和 2019 年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。一、构造平移图形：典型例题：例 1.（2019 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个 9 X 9 的正方形网格中有一个格点ABC设网格中小正方形的边长为 l 个单位长度(1)在网格中画出ABC 向上平移 4 个单位后得到的AlBlCl(2)在网格中画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 900后得到的AB2C2(3)在(1)中ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域的面积 【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1，ABC 向上平移过程中，边 AC 所扫过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形，边 AC 所扫过区域的面积=42=8。2【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的A1B1C1即可。（2）根据图形旋转的性质画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 90后得到的AB2C2。（3）根据ABC 向上平移 4 个单位后得到的A1B1C1，ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。例 2.（2019 黑龙江龙东地区 6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将ABC 向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度，画出两次平移后的A1B1C1;（2）写出 A1、C1的坐标；（3）将A1B1C1绕 C1逆时针旋转 90，画出旋转后的A2B2C1，求线段 B1C1旋转过程中扫过的面积(结 果保留)。【答案】解：（1）两次平移后的A1B1C1如图所示：（2）由A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。（3）旋转后的图形如图所示：3 由勾股定理可知，2211B C1417，2901717S 3604扇形。线段 B1C1旋转过程中扫过的面积为174。【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的A1B1C1即可。（2）根据A1B1C1在坐标系中的位置写出 A1、C1的坐标；（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的A2B2C1，再根据勾股定理求出 B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段 B1C1旋转过程中扫过的面积。例 3.（2019 贵州六盘水 10 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形RtABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1），点 B 的坐标为（1，1）（1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA1B1C1试在图中画出图形RtA1B1C1，并写出 A1的坐标；（2）将 RtA1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90后得到 RtA2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C2并计算RtA1B1C1在上述旋转过程中 C1所经过的路程 【答案】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形。点 A1的坐标为（1，0）。（2）如图所示，A2B2C2即为所求作的三角形。4 根据勾股定理，A1C1=222+3=13，旋转过程中 C1所经过的路程为901313=1802。【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。【分析】（1）根据网格结构找出点 ABC 平移后的对应点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标即可。（2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1绕点 A1顺时针旋转 90后的对应点 A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出 A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。例 4.（2019 安徽省 8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）和点 A1.（1）画出一个格点A1B1C1，并使它与ABC 全等且 A 与 A1是对应点；（2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的.【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：5 (2)作图如上，AB=10，AD=10，BD=2 5，AB2+AD2=BD2。ABD 是直角三角形。AD 可以看作由 AB 绕 A 点逆时针旋转 90得到的。【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）利用ABC 三边长度，画出以 A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出 A1B1C1。（2）利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D，得出 D 点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与AB 的位置关系。例 5.（2019 海南省 8 分）如图，在正方形网络中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1.（2）平移ABC，使点 A 移动到点 A2（0，2），画出平移后的A2B2C2并写出点 B2、C2的坐标.（3）在ABC、A1B1C1、A2B2C2中，A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .6【答案】解：（1）ABC 关于原点 O 对称的A1B1C1如图所示：（2）平移后的A2B2C2如图所示：点 B2、C2的坐标分别为（0，2），（2，1）。（3）A1B1C1；（1，1）。【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出 A、B、C 三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。（2）根据平移的性质，点 A（2，4）A2（0，2），横坐标加 2，纵坐标减 2，所以将 B（2，0）、C（4，1）横坐标加 2，纵坐标减 2 得到 B2（0，2）、C2（2，1），连接即可。（3）如图所示。例 6.（2019 江苏泰州 10 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点 A、B、C 在小正方形的顶点上，将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A1B1C1，然后将A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90得到A1B2C2（1）在网格中画出A1B1C1和A1B2C2；7（2）计算线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格，22AC 222 2。将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：42=8。再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底，以 2为高的平行四边形的面积：42=6。当A1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90到A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以 A1为圆心以以2 2为半径，圆心角为 90的扇形的面积，重叠部分是以 A1为圆心，以2 2为半径，圆心角为 45的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：2452 2=360 线段 AC 在变换到 A1C2的过程中扫过区域的面积=86=14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。例 7.（2019 甘肃白银 3 分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【】8 A B C D【答案】A。【考点】生活中的平移现象。【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到。故选 A。练习题：1.（2019 江苏常州 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点 O 为位似中心，将ABC向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点 A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2，且A2B2C2恰与DEF 拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。3.（2019 福建泉州 9 分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为 1），反比例函数kyx与直线的交点 A、B 均在格点上，根据所给的直角坐标系（点 O 是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点 A、B 的坐标后，把直线 AB 向右平移平移 5 个单位，再在向上平移 5 个单位，画出平移后的直线 AB.（2）若点 C 在函数kyx的图像上，ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，请写出点 C 的坐标.9 4.（2019 湖北武汉 7 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1，点 A 的对应点为 A1，点 B1的坐标为(0，2)，在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90得到线段 A2B2，点 A1的对应点为点 A2(1)画出线段 A1B1、A2B2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点 A 经过 A1到达 A2的路径长 5.（2019 湖南张家界 6 分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点ABC 向右平移 4 个单位得到A1B1C1，再将A1B1C1绕点 C1点旋转 180得到A2B2C2 6.（2019 四川凉山 6 分）如图，梯形 ABCD 是直角梯形（1）直接写出点 A、B、C、D 的坐标；（2）画出直角梯形 ABCD 关于 y 轴的对称图形，使它与梯形 ABCD 构成一个等腰梯形（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形（不要求写作法）10 7.（2019 辽宁丹东 8 分）已知：ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是 1 个单位长度）（1）画出ABC 向下平移 4 个单位得到的A1B1C1，并直接写出 C1点的坐标；（2）以点 B 为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC 位似，且位似比为 21，并直接写出 C2点的坐标及A2BC2的面积 二、点的平移：典型例题：例 1.（2019 广东肇 庆 3 分）点 M（2，1）向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是【】A（2，0）B（2，1）C（2，2）D（2，3）【答案】B。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点 M（2，-1）向上平移 2 个单位长度，12=1。平移后的点坐标是（2，1）。故选 B。11 例 2.（2019 辽宁鞍山 3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（1，4）向右平移 2 个单位长度后，再向下平移 3 个单位长度，得到点 P1，则点 P1的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点 P（1，4）向右平移 2 个单位长度，向下平移 3 个单位长度，1+2=1，43=1。点 P1的坐标为（1，1）。例 2.（2019 江苏泰州 3 分）如图，数轴上的点 P 表示的数是1，将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P，则点 P表示的数是 【答案】2。【考点】数轴和数，平移的性质。【分析】如图，根据平移的性质，点 P表示的数是 2。例 3.（2019 安徽省 4 分）如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线，与O 过 A点的切线交于点 B，且APB=60，设 OP=x，则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【】【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用 AB 与O 相切，BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用 x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：AB 与O 相切，BAP=90，OP=x，AP=2x，BPA=60，AB=3(2x)，APB 的面积23y(2x)2，（0 x2）。PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在 0 x2 的部分。故选 D。12 例4.（2019浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线ABDCA的路径运动，回到点 A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是【】ABC D【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】因为动点 P 按沿折线 ABDCA 的路径运动，因此，y 关于 x 的函数图象分为四部分：AB，BD，DC，CA。当动点 P 在 AB 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，且 y=x，四个图象均正确。当动点 P 在 BD 上时，函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项 B错误。当动点 P 在 DC 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，故选项 A，C 错误。当动点 P 在 CA 上时，函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。例 5.（2019 浙江温州 4 分）如图，在ABC 中，C=90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是【】A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案】C。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图所示，连接 CM，M 是 AB 的中点，13 SACM=SBCM=12SABC，开始时，SMPQ=SACM=12SABC；由于 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 也到达 BC 的中点，此时，SMPQ=14SABC；结束时，SMPQ=SBCM=12SABC。MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选 C。例 6.（2019 湖北黄石 3 分）如图所示，已知 A11(,y)2，B2(2,y)为反比例函数1yx图像上的两点，动 点 P(x,0)在 x 正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是【】A.1(,0)2 B.(1,0)C.3(,0)2 D.5(,0)2【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把 A11(,y)2，B2(2,y)分别代入反比例函数1yx 得：y1=2，y2=12，A（12，2），B（2，12）。在ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长 AB 交 x 轴于 P，当 P 在 P点时，PAPB=AB，即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大。设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入得：12=k+b21=2k+b2，解得：k=15b=2。直线 AB 的解析式是5yx2 。当 y=0 时，x=52，即 P（52，0）。故选 D。14 例 7.（2019 辽宁大连 3 分）如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 CDE 上移动，若点 C、D、E 的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标的最大值为【】A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。【分析】抛物线的点 P 在折线 CDE 上移动，且点 B 的横坐标的最小值为 1，观察可知，当点 B 的横坐标的最小时，点 P 与点 C 重合。C（1，4），设当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=a x+1+4。B（1，0），20=a 1+1+4，解得 a=1。当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为2y=x+1+4。观察可知，当点 A 的横坐标的最大时，点 P 与点 E 重合，E（3，1），当点 A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为2y=x3+1。令y=0，即2x3+1=0，解得x=2或x=4。点 A 在点 B 的左侧，此时点 A 横坐标为 2。故选 B。点 A 的横坐标的最大值为 2。例 8（2019 北京市 5 分）操作与探究：（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移 1 个 单位，得到点 P 的对应点 P.点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对 应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是3，则点 A表示的数是 ；若点 B表示的 数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重 合，则点 E 表示的数是 ；15 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0,n0），得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A,B 的对应点分别为 A,B。已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标。【答案】解：（1）0；3；32。（2）根据题意得，3am1 3am20 an2 ，解得1a21m2n2.设点 F 的坐标为（x，y），对应点 F与点 F 重合，11xx221y2y2，解得x1y4。点 F 的坐标为（1，4）。【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B 表示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解：点 A：313+1=1+1=0。设点 B 表示的数为 a，则13a+1=2，解得 a=3。设点 E 表示的数为 b，则13a+1=b，解得 b=32。（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，16 然后设点 F 的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。例 9.（2019 江苏常州 9 分）已知，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边CD 上的动点（点 P 异于 C、D 两点）。连接 PM，过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式 ；（2）若点 E 与点 A 重合，则 x 的值为 ；（3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上？若存在，求 x 的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）y=x24x。（2）2+2或22。（3）存在。过点 P 作 PHAB 于点 H。则 点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上，P D=PD=4x，E D=ED=y=x24x，EA=ADED=x24x2，P DE=D=900。在 RtDP H 中，PH=2，DP=DP=4x，DH=2224x2x8x+12。E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD=900，E DADP H。E DEAD PD H，即222x4xx4x+24xx8x+12，即22x4x+2xx8x+12，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得22x2。当2+2x2时，y=22+22+25+2 2+4=2222，此时，点 E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。17 当22x2时，y=222225+2 2+4=2222，此时，点 E 在边 AD 上，符合题意。当22x2时，点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCPPDE，DEDPCPCM，即y4xx1。y=x24x。（2）当点 E 与点 A 重合时，y=2，即 2=x24x，x24x2=0。解得x22。（3）过点 P 作 PHAB 于点 H，则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上，可得E DA与DP H 相似，由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。例 10.（2019 江苏苏州 8 分）如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆 上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为x 2x4.当5x=2 时，求弦 PA、PB 的长度；当 x 为何值时，PD PC的值最大？最大值是多少？lPDCBOA【答案】解：（1）O 与直线 l 相切于点 A，AB 为O 的直径，ABl。又PCl，ABPC.CPA=PAB。AB 为O 的直径，APB=90。PCA=APB.PCAAPB。PCPAAPAB，即 PA2=PCPD。PC=5x=2，AB=4，5PA4102。18 在 RtAPB 中，由勾股定理得：PB16106。（2）过 O 作 OEPD，垂足为 E。PD 是O 的弦，OFPD，PF=FD。在矩形 OECA 中，CE=OA=2，PE=ED=x2。CD=PCPD=x2（x2）=4x。2PD PC=2 x24x=2x+12x 162=2 x3+2。2x4 当x=3时，PD PC有最大值，最大值是 2。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）由直线 l 与圆相切于点 A，且 AB 为圆的直径，根据切线的性质得到 AB 垂直于直线 l，又PC 垂直于直线 l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到 AB 与 PC 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA 与PAB相似，由相似得比例，将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长，在 RtAPB 中，由 AB 及 PA 的长，利用勾股定理即可求出 PB 的长。（2）过 O 作 OE 垂直于 PD，与 PD 交于点 E，由垂径定理得到 E 为 PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出 EC=OA=2，用 PC-EC 的长表示出PE，根据 PD=2PE 表示出 PD，再由 PC-PD 表示出 CD，代入所求的式子中，整理后得到关于 x 的二次函数，配方后根据自变量 x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值 练习题：1.（2019 山东东营 3 分）将点 A（2，1）向左平移 2 个单位长度得到点 A，则点 A的坐标是【】A(2，3)B（2，）C（4，1）D.（0，1）2.（2019 广西来宾 3 分）在平面直角坐标系中，将点 M（1，2）向左平移 2 个长度单位后得到点 N，则点N 的坐标是【】A（1，2）B（3，2）C（1，4）D（1，0）3.（2019 广西玉林、防城港 3 分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点 A(1，0)处向右跳 2 个单位长度，再向上跳 2 个单位长度到点 A处，则点 A的坐标为 .19 4.（2019 四川攀枝花 3 分）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5，4），AD=2若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线 OAADDC 运动，到达 C 点时停止；F点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度设 E 运动秒 x 时，EOF 的面积为 y（平方单位），则 y 关于 x 的函数图象大致为【】ABCD 5.（2019 四川内江 3 分）如图，正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿ABC的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），2yPC,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【】A.B.C.D.6.（2019 江苏无锡 10 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，DAB=60点 P 从 A 点出发，以cm/s的速度，沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 ts（1）当 P 异于 AC 时，请说明 PQBC；（2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1个公共点和 2 个公共点？7.（2019 广东河 源 9 分）如图，矩形 OABC 中，A(6，0)、C(0，2 3)、D(0，3 3)，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足PQO60(1)点 B 的坐标是 ，CAO ，当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标 为 ；20(2)设点 P 的横坐标为 x，OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应 的自变量 x 的取值范围 8.（2019 福建南平 14 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且1=B=C （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若B=45，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合），求 CE 的最大值；若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）9.（2019 福建漳州 14 分）如图，在YOABC 中，点 A 在 x 轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动 点 P 从点 O 出发，以 1cms 的速度沿线段 OAAB 运动；动点 Q 同时从点 O 出发，以 acms 的速度沿线段 OCCB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 (1)填空：点 C 的坐标是(_，_)，对角线 OB 的长度是_cm；(2)当 a=1 时，设OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时，S 的值最大?(3)当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的三角形与OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围 21 10.（2019 福建福州 13 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PDBC，交 AB 于点 D，连接 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t0)(1)直接用含 t 的代数式分别表示：QB_，PD_(2)是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由并探究如 何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；(3)如图，在整个运动过程中，求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长 11.（2011 湖北黄石 3 分）初三年级某班有 54 名学生，所在教室有 6 行 9 列座位，用(,)m n表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(,)m n，如果调整后的座位为(,)i j，则称该生作了平移,a b,mi nj,并称ab为该生的位置数。若某生的位置数为 10，则当mn取最小值时，m n的最大值为 .三、直线（线段）的平移：典型例题：例 1.（2019 湖南娄底 3 分）对于一次函数 y=2x+4，下列结论错误的是【】A 函数值随自变量的增大而减小 B 函数的图象不经过第三象限 22 C 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=2x 的图象 D 函数的图象与 x 轴的交点坐标是（0，4）例 2.（2019 福建南平 3 分）将直线 y=2x 向上平移 1 个单位长度后得到的直线是 【答案】y=2x1。【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。【分析】直线 y=2x 经过点（0，0），向上平移 1 个单位后对应点的坐标为（0，1），平移前后直线解析式的 k 值不变，设平移后的直线为 y=2xb。则 20+b=1，解得 b=1。所得到的直线是 y=2x1。例 3.（2019 湖南娄底 4 分）如图，AB 的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段 AB 平移到至 A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则 a+b=【答案】2。【考点】坐标与图形平移变化。【分析】A（1，0）转化为 A1（2，a）横坐标增加了 1，B（0，2）转化为 B1（b，3）纵坐标增加了 1，a=0+1=1，b=0+1=1。a+b=1+1=2。23 例 4.（2019 江西南昌 3 分）如图，有 a、b、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【】A a 户最长 B b 户最长 C c 户最长 D 三户一样长【答案】D。【考点】生活中的平移现象，平移的性质。【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此 a b c 三线长度相等。故选 D。例 5.（2019 广西河池 12 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在 的直线建立平面直角坐标系，抛物线217yxx422=-+经过 A、B 两点.（1）写出点 A、点 B 的坐标；（2）若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA、CA 和抛物 线于点 E、M 和点 P，连结 PA、PB.设直线 l 移动的时间为 t（0t4）秒，求四边形 PBCA 的面积 S（面积单位）与 t（秒）的函数关系式，并求出四边形 PBCA 的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 P，使得PAM 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。（2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。24 设直线 AC：y=kx+b，由 A（8，0），C（0，4）得 8k+b=0b=4，解得1k=2b=4。直线 AC：1y=x42。直线 l 移动的速度为 2，时间为 t，OE=2t。设 P22t2t7t4，在1y=x42中，令 x=2t，得y=t4，M（2t，t4）。BC=8，PM=222t7t4t4=2t6t8，OE=2t，EA=42t，22PMABCMP11SSS2t6t882t42t2t6t822 梯形 2=4t20t16。四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式为2S=4t20t16（0t4）。225S=4t20t16=4 t412，四边形 PBCA 的最大面积为 41 个平方单位。（3）存在。由（2），在 0t4，即 0t8 时，AMP 和APM 不可能为直角。若PAM 为直角，则 PACA，AOCPEA。OCOAEAEP。设 P217ppp422 骣-+桫，则 OC=4，OA=8，EA=8p，EP=217pp422-+，248178ppp422，整理得2p11p24=0-+，解得12p=3p=8，（舍去）。当p=3时，221717pp4=334=102222-+-?。P（3，10）。当 P（3，10）时，PAM 是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在217yxx422=-+中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=1 或 x=8。A（8，0），B（0，4）。（2）由 AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点 C 的坐标，从而用待定系数法求出直线 25 AC 的解析式，得到点 M 关于 t 的表达式，根据PMABCMPSSS梯形求出四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形 PBCA 的最大面积。（3）存在。易知，AMP 和APM 不可能为直角。当PAM 为直角时，AOCPEA，根据比例关系列出方程求解即可。例 6.（2019 广东广州 14 分）如图，抛物线233y=xx+384与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0），M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 【答案】解：（1）在233y=xx+384中，令 y=0，即233xx+3=084，解得 x1=4，x2=2。点 A 在点 B 的左侧，A、B 点的坐标为 A（4，0）、B（2，0）。（2）由233y=xx+384得，对称轴为 x=1。在233y=xx+384中，令 x=0，得 y=3。OC=3，AB=6，ACB11SAB OC6 3922 。在 RtAOC 中，2222AC=OA+OC4+35。设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有12ACh=9，解得 h=185。如图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h=185，这样的直线有 2 条，分别是 L1和 L2，则直线与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D。26 设 L1交 y 轴于 E，过 C 作 CFL1于 F，则 CF=h=185，18CFCF95CE4sinCEFsinOCA25。设直线 A