七年级数学培优资料上册.pdf

-1-七年级数学上册 培优材料 2015 年 9 月 1 日 -2-第一章 丰富的图形世界 一、三视图 我们将观测者从正面、左面、上面三个不同角度观察到的同一个空间几何体而画出的图形叫做三视图.一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状.三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，这样就基本能完整的表达出物体的结构.一般来说，未作说明的情况下，主视图在图纸的左上方，左视图在主视图的右方，俯视图在主视图的下方.若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）.在初中阶段，我们主要学习和研究多个相同的立方体码放在一起的几何空间的三视图.在一道视图题目中，如果给出了三视图，或者只给出主视图、俯视图而限制左视图，或者给出主视图、左视图问最多或最少（网格限制法，第 9、21 题），那么要牢牢记住口诀：俯视打基础，主视疯狂建，左视拆违章.-3-1、（山东淄博）如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（）2、（山东枣庄）一物体及其正视图如下图所示，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（）(A)(B)(C)(D)3、（山东济宁）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）。4、（山东青岛）如图所示圆柱的左视图是（）A B C D 5、（重庆）将如图的 RtABC 绕直角边 AC 旋转一周，所得几何体的主视图是（）（A）（B）（C）（D）(2)(1)-4-题图 6、（浙江金华）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（）7、（湖南岳阳）下面的三个图形是某几何体的三种视图，则该几何体是（）A、正方体 B、圆柱体 C、圆锥体 D、球体 8、（浙江义乌）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（）圆柱 正方体 三棱柱 圆锥 9、（湖南怀化）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（）正面 A B C D 俯视图侧视图主视图-5-12 个 13 个 14 个 18 个 10、（四川成都）下左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）11、（甘肃白银）如图所示的几何体的右视图（从右边看所得的视图）是（）12、（浙江宁波）与如图所示的三视图对应的几何体是()13.（2008 四川）在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来.如图所示，则这堆正方体货箱共有（）主视图 左视图 A B C D 4 31 2 2 1-6-左 视 图俯 视 图 主 视 图A.9 箱 B.10 箱 C.11 箱 D.12 箱 14、（四川绵阳）下列三视图所对应的直观图是（）A B C D 15、（江苏盐城）如图，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是（）A B C D 16（江西）桌面上放着 1 个长方体和 1 个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）左面 A B -7-17、（山东枣庄）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）A 18、（广东韶关）小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是（）19、右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是_。(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)。20、(2014 贵州黔东南)在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为 n，则 n 的最小值为_ DCBA-8-二、正方体表面展开图 如果不考虑旋转，正方体表面展开图共有以下十一种情况.1.一四一型 以上六种展开图可归结为四方连线，即 ，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。2.一三二型 3.三三型 4.二二二型 从以上 11 种图形可以看出：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形后总有5 条楞相连。也就是说，把一个立方体沿着楞剪开，至少需剪 7 刀。-9-fedcbafedcba无论哪一种排列方式，要想折叠成立方体，都不能出现“5 连方”、“7”、“凹”、“田”.（1）（2）（3）如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中 1 号面与 3 号面是对面，3 号面又与 5 号面是对面，出现矛盾。如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点只与三条棱相连。如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。对面相隔不相连，这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如下图所示，a 对 b，c 对 d，e 对 f.1 2 3 4 5 -10-1（2004 海口）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）2（2005 扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：只需添加一个符合要求的正方形；添加的正方形用阴影表示.)3（2006 浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）4（2004 镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）（正方体纸盒）（A）（B）（C）（D）-11-5（2004 海南）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形 A、B、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在 A、B、C内的三个数依次是（）（A）0，2，1（B）0，1，2（C）1，0，2（D）2，0，1 6.（2005 济南）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在 A 面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）7.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的_.程 前 你 祝 似 锦 -12-三、堆叠染色与六面数字 1.堆叠染色 当许多相同的正方体堆叠在一起时，从不同的方位所看到的正方形的面积之和便是需要染色的面积.如：例 1 图中的俯视图是一个 33 的正方形网格，面积为 9，所以从上面看，这 14 个正方体需要染色的面积等于 9.例 1.一个画家有 14 个边长为 1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如下图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）A19m2 B21m2 C33m2 D34m2 首先，把露出来的表面分成两部分-向上的部分和面向侧面的部分(包括面向前、后、左、右的)先算面向上面的:很明显，把它们压到一个平面上，就会发现这部分的面积总和相当于 9 个正方形的面积(想象一下，当你从上俯视时所看到的景象);下面算面向侧面的:最下面的一层，面积和是 34=12(可以数)第二层，24=8 第三层，14=4 所以，这部分的面积总和是 12+8+4=24 那么，整个东西露出来的表面积总和就是 9+24=33 -13-例 2.棱长为 a 的正方体，摆放成如图所示的形状（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下 20 层，求该物体的表面棱长为 a 的正方体，摆放成如图所示的形状 2.六面数字 在正方体中，任何一个面的四周总有 4 个面相围绕，根据题设中的条件可以推断出这 5 个面上的数、字、符，进而推断第 6 面.例 3.有一个立方体，每个面上分别写上数字 1、2、3、4、5、6、，有 3 个人从不同的角度观察的结果如下图所示，这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字?解：从上图可知，1、3、4 出现的次数最多，我们就从这些出现次数最多的数字中选取一个来分析.数字 1 所在面的周围环绕的标有2、3、4、6 的四个面，所以它的对面是 5.这个结论不要忘记，它潜在的成为一个条件，以备后用.4 的周围环绕着 1、6、5、3.显然它的对面是 2.由此可知，1 对 5,2 对 4,3 对 6.-14-5 47例 4.把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花朵的朵数情况列表如下，现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的下底面共有多少朵花？例 5.如图所示，正方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 例 6.将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6、2 和 5、3 和 4）放置于水平桌面上，如图 1在图 2 中，将骰子向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A6 B5 C3 D2 图 1 图 2 向右翻滚 90 逆时针旋转 90 -15-第二章 有理数及其运算 一、知识梳理：1.正数与负数：大于零的数叫正数，在正数前面加上“”号的数叫负数。正数和负数用来表示意义相反的两个量。2.有理数：正整数、0、负整数统称为整数。正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称有理数。因为小数都可以化成分数，所以小数、百分数也都属于分数。有理数的分类：3.相反数：a 的相反数是-a。只符号不同。如果 a、b 互为相反数，就有 a+b=0 ab0.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0 的相反数是 0.4.倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数。a、b 互为倒数，就有1ba。0 没有倒数。通俗点就是分子与分母颠倒。5.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0-16-|0aaaaaa当 为正数当 为0当 为负数数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，这是判断一条直线是否是数轴的根本依据。数轴上的数从左到右逐渐增大。到原点距离相等的两个点互为相反数。在数轴上，两点 A、B 之间的距离=，即右边的点左边的点等于这两点间的距离这一知识，在解找对称点所表示的数和绝对值化简一类的题目时运用广泛 在数轴上，点向右移动就，向左移动就 6.绝对值：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数 a的绝对值记作a。正数的绝对值是正数，负数的绝对值是其相反数，0 的绝对值是 0.任何数的绝对值都是非负数。即。绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。也可以写成：说明：（）|a|0 即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。-17-7.乘方：求 n 个相同因数的积的运算叫乘方。乘方的结果叫幂，an中，a叫做底数，n 叫做指数，an叫做幂。乘方与加减乘除一样都属于数学运算。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何次幂都为 0。；8.有理数的运算：（1）有理数加法：1.同号相加，符号不变，绝对值相加 2.异号相加，取绝对值大的符号，绝对值想减 （2）有理数乘法：同号得正，异号得负（注意：凑整，我爱国民党法）（3）有理数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 9.有理数混合运算：（1）先算乘方，再算乘除，最后加减（2）去括号，注意符号的变化，不要漏乘（3）带分数化成假分数，小数化成分数（如果既有分数又有小数，谁多化谁）（4）计算结果要化成最简 -18-典 型 例 题 例 1（数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）A-3a B 2ca C2a2b D b 解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。（在数轴上，右边的数左边的数一定0）例 2（数形结合思想）已知：zx 0，0 xy，且xzy，那么的值（）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号 解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示：所以 0)()(yxzyzxyxzyzxyxzyzx-19-201020081861641421200920082009112009120081413131212120092008143132121例 3（整体的思想）方程 的解的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将 x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为 D。例 4（非负性）已知|ab2|与(a1)2互为相互数，试求下式的值 1111112220072007abababab 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|+|a1|=0，ab2=a1=0，解得：a=1,b=2 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了 最终的结果 xx20082008 1111112220072007abababab-20-例 5（距离问题）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 _；表示3 和 2 两点之间的距离是 _；一般地，数轴上表示数 m和数 n 的两点之间的距离等于|mn|如果表示数 a 和2 的两点之间的距离是 3，那么 a=_；（2）若数轴上表示数 a 的点位于4 与 2 之间，求|a+4|+|a2|的值；（3）当 a 取何值时，|a+5|+|a1|+|a4|的值最小，最小值是多少？请说明理由 解：（1）3，5，1 或5；（2）因为|a+4|+|a2|表示数轴上数 a 和4，2 之间距离的和 又因为数 a 位于4 与 2 之间，所以|a+4|+|a2|=6；（3）根据|a+5|+|a1|+|a4|表示一点到5，1，4 三点的距离的和 所以当 a=1 时，式子的值最小 此时|a+5|+|a1|+|a4|的最小值是 9 -21-例 6.若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求 x+y 的值（分类讨论思想）解：|x-y|0，y-x0，yx 由|x|=3，|y|=2 可知，x0，即 x=-3Y 在数轴上必定在 x的右面.(1)当 y=2 时，x+y=-1；(2)当 y=-2 时，x+y=-5 x+y 的值为-1 或-5 例 7.已知 x-3，化简：|3+|2-|1+x|解 原式=|3+|2+(1+x)|(因为 1+x0)=|3+|3+x|=|3-(3+x)|(因为 3+x0)=|-x|=-x 例 8.如图 7 所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为 3 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0，1，2）上：选让原点与圆周上 0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1，2，3，4，所对应的点分别与圆周上 1，2，0，1，所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。（1）圆周上数字 a 与数轴上的数 5 对应，则 a=_。-22-（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字 1 所对应的位置，这个整数是_。（用含 n的代数式表示）。解：（1）数轴上的 0，1，2 的点分别与 0，1，2 重合。绕过一周后，数轴上的 4 又与 1 重合，则数轴上的 5 与圆周上的 a 重合，所以 a=2；（2）数轴 0，1，2 3，4，5 6，7，8 圆周上 0，1，2 0，1，2 0，1，2 绕一周后，数轴上的点 绕二周后，数轴上的点 绕三周后，数轴上的点 绕 n 周后，数轴上的点，即这-23-个整数是 例 9.电子跳蚤落在数轴（向右为正方向）上某点 K第一步从 K0 向左跳 1 个单位到 K1，第二部由 K1 向右跳 2 个单位到 K2，第三步有K2 向左跳 3 个单位到 K3，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K5按以上规律跳了 100 步时，落在上点 K100 表示的实数为 2008的初始位置 K0 表示的数是多少？10、一个数的倒数等于它本身的数是，一个数的相反数等于它本身的数是，一个数的平方等于它本身的数是，一个数的立方等于它本身的数是。11、一个数的平方与这个数的绝对值相等，则这个数是。12、若n为正整数，则下列各式正确的是（）-24-A、nana B、21na21na C、2na2na D、21na21na 13.一根 1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）A321m B521m C621m D1221m 14、计算：200320040.1258（）。15.已知02|4|2baa，则ba2=_。16、如果3a与1a互为相反数，那么_a;-25-17、若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的相反数是它本身，则_)()(2dcbaxcdba；18、已知12005x，x 为有理数，求代数式2008321xxxx的值 19、已知a3，b5，且3a0，2b0，3a2b求的值。20、给出依次排列的一列数：1，2，4,8，16,32，（1）写出 32 后面的三项数：，。（2）按照规律，第n个数为。-26-21、问 3201572015的个位数是几？22、用科学计数法表示 21005103 第三章 整式及其加减 一、字母表示数 1.字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；加法交换律 abba 加法结合律 abca（bc）-27-乘法交换律 abba 乘法结合律（ab）ca（bc）乘法分配律 a（bc）abac 2.用字母表示计算公式：长方形的周长2（ab）,面积ab（a、b 分别为长、宽）正方形的周长4a，面积a2（a 表示边长）长方体的体积abc，表面积2ab2bc2ac（a、b、c 分别为长、宽、高）正方体的体积a3,表面积6a2（a 表示棱长）圆的周长2r,面积r2（r 为半径）三角形的面积ah（a 表示底边长，h 表示底边上的高）3.在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。4.注意书写格式的规范：(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4)除法运算写成分数形式，分数线具“”号和“括号”的双重作用。(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；-28-结果是和差加括号后再写单位。典型例题 例 1.鸡兔同笼，鸡 a 只，兔 b 只，则共有脚 只.例 2.设n为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为 例 3.如图 131，轴上点 A 所表示的是实数 a，则到原点的距离是（）A.a Ba Ca D|a|例 4.下列说法中：a一定是负数；|a一定是正数；若0abc，则cba、三个有理数中负因数的个数是 0 或 2，其中正确的序号是（）A.B.C.D.都不对 例 5.一个三位数，个位数字是 a，十位数字是 b，百位数字是 c，这个三位数是（）A.a+b+c B.abc C.100a+10b+c D.100c+10b+a 例 6.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋-29-的总质量为 m 千克，再从中截取 5 米长的钢筋，称出它的质量为 n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米.A.mn B.mn5 C.5m5 D.(5mn 5)例 7.无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（）A.11a B.a1 C.121a D.121a 例 8.轮船在 A、B 两地间航行，水流速度为m千米时，船在静水中的速度为n千米时，则轮船逆流航行的速度为_千米时 例 9.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（）（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙或丙 例 10.一件商品的进价为 a 元，将进价提高00100后标价，再按打七折销售，则这件商品销售后的利润是多少？二、代数式 1代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。一个式子只要没有“”、“”、“”，它就是代数式.如：2n、xyxy、abc、12x3、0、142857、2 -30-注意：列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，字母之间若是乘积关系，一般按照 26 字母表的先后顺序排列.除法运算通常写成分数的形式.而分数一般写成假分数.单独一个数或一个字母也是代数式.2单项式：表示数与字母，字母与字母的积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：书写时，系数是 1 时可以省略；是数字，不是字母。例如：2ab的系数是 ；如234x y的系数是 ，次数是 .3.多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，每个单项式称为项。不含字母的项，叫做常数项。4.整式：单项式、多项式统称为整式。（分母中不含未知数的代数式叫整式）5.分式：分母中含未知数的代数式叫分式 整式和分式统称代数式 典型例题 例 1.某商品售价为a元，打八折后又降价 20 元，则现价为_ _元.例 2.橘子每千克a元，买 10kg以上可享受九折优惠，则买 25 千克应付_元钱.例 3.如图，图 1 需 4 根火柴，图 2 需_根火柴，图 3 需_根火-31-柴，图n需_ _根火柴。例 4.下列不是代数式的是 0.A .sBt 1.Cx 20.1.Dxy 例 5.234x y的系数是 ，次数是 .例 6.已知多项式29 223mma babb为 5 次多项式，则 m 例 7.已知2280 xx，求23618xx的值.例 8.若2abab，求abababab的值 例 9.当多项式325(2m 1)x(23n)x 1x（m，n 为常数）不含一次项和二次项时，求mn的值.例 10.观察下面一列单项式：2341920,3,5,7,37,39,xxxxxx根据你发现的规律，写出第 n 个单项式.三、合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意:两个相同:字母相同；相同字母的指数相同.两个无关:与系数无关;与字母顺序无关.如：100a 和 200 a，-2ab 和 10ba 2、合并同类项法则：-32-（1）同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.（2）不同种的同类项间，用“+”号连接.（3）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄.3合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果 四、去括号法则（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。（2）括号前是“”号，把括号和前面的“”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。（3）括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。五、代数式求值先化简，再求值（1）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变（2）字母取负数代入时要添括号（3）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号.典型例题 例 1.若0,0 xy，2212xyaxy=0，则a 例 2.一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 .-33-例 3.已知ba，互为倒数，nm，互为相反数，求代数式2(223)mnab的值.例 4.如果单项式32mx y与235anxy（m，n0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项，323250amx ynxy，求2015(25)mn的值.例 5.某校组织若干师生到黄山进行社会实践活动.若学校租用 45 座的客车 x 辆，则余下 20 人无座位；若租用 60 座的客车，则可以少租用 2 辆，且最后一辆还没满员，那么最后一辆 60 座的客车有多少人？例 6.已知3,2abcd，求(b c)(a d)的值.例 8.如果1x 时，代数式3234axbx的值是 5，那么1x 时，代数式3234axbx的值是多少？-34-例 7.已知2(x 2)10y，求2222252342xyxyxyxyxy的值 例 9.已知（ab2）2与|a1|互为相互数，试求下面代数式的值 六、探索与表达规律 1111112220072007abababab-35-例题 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）例题 2.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 n 个图案中灰色瓷砖块数为 例题 3.观察下列各等式：9911114 24 2,33,222222 （1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的差等于这两个实数的_；如果等号左边的第一个实数用 x 表示，第二个实数用y 表示，那么这些等式的共同特征可用含 x，y 的等式表示为_.（2）将以上等式变形，用含 y 的代数式表示 x 为_ _；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：_ 例题 4.（2010 安徽省中考）下面两个多位数 1248624、第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案 -36-第 7 题图 6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是（）A.495 B.497 C.501 D.503 例题 5.（福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 7 个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10 个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得到 2011 个小正方形，则需要操作的次数是().A.669 B.670 C.671 D.672 例题 6.（江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（）A38 B52 C66 D74 0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 8 44 m 6 -37-例题 7.（山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225 例题 8.（河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6、2 和5、3 和 4）放置于水平桌面上，如图 6-1在图 6-2 中，将骰子 向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图 6-1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A6 B5 C3 D2 【答案】B 图 6-1 图 6-2 向右翻滚 90 逆时针旋转 90 -38-A B C P0 P3 P2 P1 例题 9.（江苏淮安）观察下列各式：11 21 2 30 1 23 12 32 3 4 1 2 33 13 43 4 52 3 43 计算：3(12+23+34+99100)=（）A.979899 B9899100 C99100101 D.100101102 例题 10.（江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=6，AC=7，BC=8如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0处，BP0=2跳蚤第一步从P0跳到 AC 边的 P1（第一次落点)处，且 CP1=CP0；第二步从 P1跳到 AB边的 P2（第二次落点)处，且 AP2=AP1；第三步从 P2跳到 BC 边的 P3（第三次落点)处，且 BP3=BP2；跳蚤按上述规则一致跳下去，第 n次落点为 Pn（n 为正整数），则点 P2007 与 P2010 之间的距离为（）A1 B2 C3 D4 【答案】C 例题 11.（广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第 n 个“口”字需用棋子 A4n 枚 B(4n-4)枚 C(4n+4)枚 D n2 枚 第 2 个“口”第 1 个“口”第 3 个“口”第 n 个“口”？-39-x21 输出 输入 x x3 x 为偶数 x 为奇数 例题 12.（2010 山东淄博）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x值为 48，我们发现第一次输出的结果为 24，第二次输出的结果为12，则第 2010 次输出的结果为（）（A）6 （B）3 （C）200623 （D）10033231003 例题 13.（广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，A2 B4 C6 D8 例题 14.（2012 山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3 个图案需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚棋子，摆第 n 个图案需要 枚棋子 -40-O121110987654321FEDCBAC A F D E B G 第4个三角形第3个三角形第2个三角形第1个三角形121110987654321例题 15.（2013 嵊州市）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，.则“17”在射线 上；“2007”在射线 上。例题 16.（2013 山东济南）如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点 例题 17.（2010 重庆綦江县）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么 2010 这个数在第_个三角形的_顶点处（第二空填：上、左下、右下）【答案】670；右下 -41-例题 18.（2010 年贵州毕节）搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图，图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管 例题 19.（2014 湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n个图形需要围棋子的枚数是 25（2010 北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D 请你按图中箭头所指方向(即 ABCDCBABC的方式)从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，当数到 12 时，对应的字母是 ；当字母 C 第 201 次出现时，恰好数到的数是 ；当字母 C 第 2n+1 次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 （用含 n 的代数式表示）【答案】B,603，6n3 -42-例题 20.（2014 湖北恩施自治州）如图 3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为 331，则n等于 .例题 21.（2015 江苏徐州）用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第 n 个图形比第(n-1)个图形多_ _枚棋子【答案】（3n-2）例题 22.（2015 云南曲靖）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法一直到第 n 次挖去后剩下的三角形有 个。例题 23.（2012 山西，16，3 分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 .-43-第五章 一元一次方程 一元一次方程方程应用题归类分析 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助.1.和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。例 1.根据 2001 年 3 月 28 日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到 2000 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990 年 7 月 1 日减少了 3.66%，1990 年 6 月底每 10 万人中约有多少人具有小学文化程度？分析：等量关系为：1366%9062000111.年 月底有的人数年月 日人数 解：设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学文化程度 (.1 366%)35701x x 37057 答：略.2.等积变形问题：-44-“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例 2.用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252mm内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 314.）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度 解：设玻璃杯中的水高下降 xmm 902125125812x xx625625199 答：略.3.劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。例 3.机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？-45-分析：列表法。每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 85 x人 10 85 x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍 解：设分别安排 x 名、85 x名工人加工大、小齿轮 3 162 10 85()()xx