反比例函数、及其图像和性质教案.pdf
.1 反比例函数、及其图像和性质 适用学科 初中数学 适用年级 初中九年级 知识点 1、反比例函数的图像 2、反比例函数图像的对称性。3、反比例函数的性质。4、反比例函数系数k的的几何意义。5、图像上点的坐标的特征。6、反比例函数解析式确实定 学习目标 使学生了解反比例函数的概念；使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况。会用待定系数法确定反比例函数的解析式.掌握一次函数与反比例函数图像交点确实定的求法。学习重点 反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.学习难点 根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；能根据条件判断函数值的大小 教学过程 一、复习预习 我们学习一次函数的时候就认识了函数：1、函数概念：一般地，在*一变化过程中有两个变量*与y，如果对于*的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，则就说*是自变量，y是*的函数。.1 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值围。一次函数的解析式：y=k*(k,且k为常数)3、函数的三种表示法及其优缺点 1解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。2列表法 把自变量*的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。3图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤 1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 2描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面描出相应的点 3连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。二、知识讲解 考点1：反比例函数的意义及解析式 有了初二下对一次函数的学习的根底，我们学习反比例函数就容易多了 思考：以下问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示.这些函数有什么共同特点.京路线铁路全程为1463km，*次列车的平均速度v单位：km/h随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；用旧围栏建一个面积为24的矩形饲养场设它的一边长为，另一边的长随*的变化而变化。*住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y单位：m随宽单位：m的变化而变化 上述问题的解析式分别为：1463vt，24yx，1000yx，总结：上述函数都具有kyx的形式，其中k是常数。函数概念：一般地，形如kyxk为常数，k0的函数成为反比例函数，其中*是自变量，y是函数，自变量*的围是不等于0的一切实数。当*去*个值时，y就有唯一的一个值与之.1 对应。考点2：反比例函数的图像和性质 1、反比例函数的图像时双曲线型。2、性质：当时，双曲线的两支反别位于第一、三象限，在每个象限，y值随*的增大而减小；当k时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限呢，y值随*的增大而增大。考点3：反比例函数与一次函数交点确实定以及反比例函数解析式确实定 反比例函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，联立两解析式解二元一次方程组求解，此解即为交点坐标。*一个或两个点在反比例和一次函数的图像上，将点代入y=k*+b和kyx确定k、b的值，即可确定一次函数和反比例函数解析式。考点4：反比例函数图像的画法及图像特征 三、例题精析【例题1】【题干】反比例函数的图像经过点P-1,2，则这个函数的图像位于第几象限.【答案】图像位于第二、四象限【解析】因为点P-1,2在此反比例函数图像上，所以点P符合该函数解析式，将P-1,2代入中，得k=-2，即反比例函数解析式为y=,所以图像在第二、四象限【例题2】【题干】点M(2，3)在双曲线上，则以下个点一定在该曲线上的是 A.(3，-2)B.(-2，-3)C.(2，3)D.(3，2)【答案】A【解析】将点M(2，3)代入中，得反比例函数解析式，点A.(3，-2)符合该反比例解析式，应选A答案【例题3】.1【题干】反比例函数*0的图像如下列图，随着*的值得增大，y值 A、增大 B、减小 C、不变 D、先减小后增大【解析】因为k=1，图像在第一象限。【答案】B【例题4】【题干】直线y*b经过点A(3,0)，并与双曲线xky 的交点为B(2，m)和C，求k、b的值【解析】点 A(3,0)在直线 y*b 上，所以 03b，b3 一次函数的解析式为：y*3 又因为点 B(2，m)也在直线 y*3 上，所以 m235，即 B(2,5)而点 B(2,5)又在反比例函数xky 上，所以 k2(5)10【答案】y*3 10yx【例题5】【题干】反比例函数xky1的图象与一次函数 yk2*1 的图象交于 A(2,1)(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系【解析】因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、k2 的值(2)把点 A 关于坐标原点的对称点 A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A是否在这两个函数图象上 解(1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k1212 12 k21，k21.1 所以反比例函数的解析式为：xy2；一次函数解析式为：y*1(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A(2,1)把 A 点的横坐标代入反比例函数解析式得，112y，所以点 A 在反比例函数图象上 把 A 点的横坐标代入一次函数解析式得，y213，所以点 A 不在一次函数图象上 【答案】xy2y*1 四、课堂运用【根底】1、点Aa,b,B(c,d)是反比例函数k0图像上的两点，假设a0c,则有 A.b0d B.d0b C.bd0 D.db0可知反比例函数图像在第一、三象限，有因为自变量a0c，所以可得函数值是b052A(2,4)【解析】1得 m52A(2,4)【拔高】1、如图，在平面直角坐标系中直线 y=*2 与 y 轴相交 于点 A，与反比例函数在第一象限的图象相交于点 Bm，2。1求反比例函数的关系式；2将直线 y=*2 向上平移后与反比例函数图象在第一象限交于点 C，且ABC 的面积为 18，求平移后的直线的函数关系式。习题改编【答案】y=；y=*+7。【解析】解：1将 B 坐标代入直线 y=*2 中得：m2=2，解得：m=4 则 B4，2，即 BE=4，OE=2，设反比例解析式为 y=，.1 将 B4，2代入反比例解析式得：k=8，则反比例解析式为 y=；2设平移后直线解析式为 y=*+b，Ca，a+b，对于直线 y=*2，令*=0 求出 y=2，得到 OA=2，过 C 作 CDy 轴，过 B 作 BEy 轴，将 C 坐标代入反比例解析式得：aa+b=8，SABC=S 梯形 BCDE+SABESACD=18，a+4a+b2+2+24aa+b+2=18，解得：b=7，则平移后直线解析式为 y=*+7。2、如图，直线与 y 轴交于 A 点，与反比例函数*0的图象交于点 M，过 M 作 MH*轴于点 H，且 tanAHO.1求 k 的值；第 20 题 2设点 N1，a是反比例函数*0图像上的点，在 y 轴上是否存在点 P，使得 PMPN 最小，假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】k236.，P 点坐标为0，5【解析】由 y*1 可得 A0，1，即 OA1 .1 tanAHO，OH2 MH*轴，点 M 的横坐标为 2.点 M 在直线 y*1 上，点 M 的纵坐标为 3.即 M2，3 点 M 在上，k236.2点 N1，a在反比例函数的图像上，a6.即点 N 的坐标为1，6 过 N 作 N 关于 y 轴的对称点 N1，连接 MN1，交y 轴于 P(如图)此时 PMPN 最小.N 与 N1 关于 y 轴的对称，N 点坐标为1，6，N1 的坐标为-1，6 设直线 MN1 的解析式为 yk*b.把 M，N1 的坐标得 解得 直线 MN 的解析式为.令*0，得 y5.P 点坐标为0，5
