07~08学年一期末考试试题B答案.pdf

1 概率论与数理统20072008 学年第一学期概率论与数理统计 A期末试题(B）答案 题目 一 二 三 四 五 六 总分数 分数 评卷人 2 一、简单计算（每个题 5 分,共 25 分)1。设BA,为两事件，且pAP)(，)()(ABPBAP，求)(BP。解：由于)(1)()(BAPBAPBAP 2 分 而)()()()(ABPBPAPBAP 2 分 所以)()()()(1)()(ABPABPBPAPBAPBAP 即1)()(BPAP 因而pAPBP1)(1)(1 分 2。设随机变量X的分布律为613121201ipX，而53XY，求 Y的分布函数。解：由于613121201ipX，所以613121158ipY 2 分 所以Y的分布函数为.1,1,15,65,58,21,8,0)(yyyyyFY 3 分 3 3。设总体)4,5(NX中随机抽取一容量为 25 的样本，求样本均值X落在 4。2 到 5。8 之间的概率。解:由于)4,5(NX，所以)254,5(NX 2 分 所以9544.0129772.01)2(2)8.52.4(XP 3 分 4。设 9 名足球运动员在比赛前的脉搏（12 秒）次数为 11 13 12 13 11 12 12 13 11 假设脉搏次数X服从正态分布，12X,42，求的置信水平为0.95 的置信区间。解:由于12X，42，05.0，的置信区间为),(22nZXnZX 3 分 即为)3067.13,6933.10(.2 分 5。设总体X服从泊松分布,1210,XXX是来自X的样本，求参数的矩估计。解：由于)(PX,所以)(XE 而101101iiXX 2 分 所以由矩估计的思想得:XXE)(2 分 参数的矩估计为:101101iiX 1 分 4 5 理统计A 试题 班级 姓名 学号 第2 页 二、计算题（每题 6 分，共 30 分）1.设离散型随机变量X的分布函数为.2,21,32,11,1,0)(xbaxaxaxxF 且21)2(XP.（1）求常数ba,；(2）求X的分布律.解：（1)由分布函数的性质得1 ba,而且21)2(XP 2分 所以21322)32(baaba,则65,61ba.1 分（2）X的分布律为iXp112111632 3分 2.已知随机变量),1(),1(pBYpBX，而YX,相互独立。（1）求),max(YXU 的分布律;（2）求YXV的分布律 解:联合分布律：22)1()1()1()1,1()0,1()1,0()0,0(),(pppppppYXij 2 分),max(YXU 的分布律为：22)1(1)1(10pppUi 2 分 6 3。已知随机变量)4,3(UX,求XeY 的概率密度函数.解：XeY 的反函数yyhln)(2 分 其概率密度函数为.,0,1)()()(43其它eyeyyhyhfyfXY 4 分 4.设总体X服从指数分布，参数为，12,nXXX是来自X的样本，求的最大似然估计量 解：由于)(eX，则nXXX,21是来自总体X的一个样本，似然函数为 niiixnnixeeL11111 3 分 而 niixnL11lnln 1 分 01ln12niixndLd,所以 X。2 分 5。设4321,XXXX是来自正态总体)2,0(2N的简单随机样本，243221)43()2(XXbXXaY，若统计量Y服从2分布,则常数ba,分别为多少？统计量Y的自由度为多少?解:由于)100,0(43)20,0(24321NXXNXX 所以)1,0()2(21NXXa，所以201a 3 分)1,0()43(43NXXb,所以1001b。2 分 所以)2(2Y，其自由度为2。1 分 7 概率论与数理统计A试题 班级 姓名 学号 第 3 页 三、（9 分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占%20%,35%,45，各厂的产品的次品率分别为%5%,2%,4，现从中任取一件，(1）求取到的是次品的概率；（2)经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率。解:设事件)3,2,1(iAi分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、乙、丙厂,设事件B表示取到的是次品（1）)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP 2分 05.02.002.035.004.045.0 035.0 2 分(2)514.0035.004.045.0)()|()()|(111BPABPAPBAP 5 分 四、（12 分）设随机变量X的概率密度函数为.,0,21,1,10,)(其它xxxxxf（1）求随机变量X的分布函数;（2）令53XY,求XY；（3）判断YX，独立性。解：xXdttfxF)()(2 分.2,1,21,121,10,2,0,0211020 xxxxdtttdtxxtdtxxx 6 分 8 （2）由于53XY,根据相关系数的性质,易得1XY。2 分（3）由于01 XY，所以YX，不独立。2 分 五、（12 分）设随机变量),(YX在区域 G 上服从均匀分布，G 为y轴，x 轴与直线13xy所围城的区域。（1)求),(YX的联合概率密度及边 缘概率密度；（2）求)2(YXP。解：(1）由题意知.,0;),(,6),(其它Gyxyxf 2 分 dyyxfxfX),()(.,0;310,6186130其它xxdyx 4 分 dxyxfyfY),()(.,0;10,226310其它yydxy 4 分(2)1),()2(GdxdyyxfYXP 2 分 9 概率论与数理统计A试题 班级 姓名 学号 第 4 页 六、（12 分)设421,XXX是来自正态总体),(2N的样本其中,未知，设有估计量)(31)(6143211XXXXT 43212743XXXXT 421343XXXT(1)指出321,TTT中哪个是的无偏估计;(2)在上述的无偏估计中指出哪一个较为有效.解：由于)(31)(61)(43211EXEXEXEXTE 2 分 43212743)(EXEXEXEXTE 2 分 0434213EXEXEXET 2 分 所以21,TT是的无偏估计.1 分（2)243211185)(91)(361)(DXDXDXDXTD 2 分 2432127549169)(DXDXDXDXTD 2 分 因为)()(21TDTD，所以1T比2T更有效。1 分 95.0)65.1(，975.0)96.1(，9772.0)2(,8413.0)1(，017.36)25(2025.0,42.36)24(2025.0 10