导数知识点各种题型归纳方法总结浦仕国.pdf

【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 1 页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第2页共 22 页 导数知识点和各种题型归纳方法总结 导数的定义:1.(1).函数 yf(x)在 xx0处的导数:f(x0)y|ff(x0 x)f(x0).函数 yf(x)的导数:f(x)ylimo f(xx)f(x)x 2利用定义求导数的步骤:求函数的增量:yf(xx)f(x)；求平均变化率：_y f(xx)f(x).?x 取极限得导数:f(x)limylimf(xx)f(x)x0 xx0 x(下面内容必记)、导数的运算:(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:C0(C 为常数)：(xn).m1 nxn1；(1n)(xn)nxn1；(nxm)(/)x xn(sinx)cosx；(cosx)sinx(ex)ex(ax)axlna(a0,且 a1)；(Inx)11；(logax)(a0,且 a1)xxlna 法则 1:f(x)g(x)f(x)g(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2:f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x):口诀:前导后不导相乘+后导前不导相乘)法则 3:f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)2(口诀分母平方要记牢上导下不导相乘下导上不导相乘中间是负号(2)复合函数yf(g(x)的导数求法:换元，令ug(x)，贝Uyf(u)分别求导再相乘yg(x)f(u)回代ug(x)题型一、导数定义的理解 1.已知 f(x)1则 limf(2 x)f(2)的值是()Xx0 X 1 1 A.B.2 C.D.2 4 4 变式 1:设 f 小 f 3hf 3为()h0 2h A.-1 B.-2 C.3 D.1 变式 2:设f x在x0可导，则lim fX0X fX03x等丁 ()x0 X A.2f X0B.f X0 C.3fX0 D.4fx0 1、已知 f 2 XX 2x sin，则f0 2、若 f X X esinx，则f X 3.f(x)=ax 3+3x2+2，f(1)4，则 a=()A10 3 B.13 3 C.16D.19 33 题型二：导数运算 三.导数的物理意义 1求瞬时速度：物体在时刻t。时的瞬时速度V就是物体运动规律Sft在tt。时的导数ft。,即有V0ft0。2.V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。(了解)四.导数的几何意义：函数fx在X0处导数的几何意义，曲线yfX在点PX0,fx0处切线的斜率是kfx0。于是相应的切线方程是：yy0fx0 xxo。题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况:(1)曲线 y yy0 x0 x(2)曲线yfx x在点Px0,fx0处切线：性质：k切线 fx0。相应的切线方程是：X 过点Px0,y0处切线：先设切点,曲线yfx上，切点Q(a,b)在切线yy0 切点为Q(a,b)xx上，切点 方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k=f(a)，确定切线方程。，则斜率 k=f(a)，切点Q(a,b)在 Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 的 曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第3页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 4 页共 22 页 例：在曲线 y=x3+3x12+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1)ky|xx03xo26x063(x。1)23当 x=-i 时，k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1，-14)故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，思路一：(1)f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立；2f(x)在该区间内单调递减f(x)0在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或 减区间的子集。注意：若函数 f(乂)在(a，c)上为减函数，在(c，b)上为增函数，则 x=c 两侧使函数 f(x)变号，即 x=c 为函数的一个极值点，所以f(c)0 一Inx 例题若函数f(x)一，若af(3),bf(4),cf(5)则()x A.abcB.cbaC.cabD.ba0)fx=3ax2+2bx-3a-2b 由f5=0b=-9a若方程 f(x)=8a 有三个不同的根，当且仅当满足 f(5)v8avf(1)由得-25a+3v8av7a+3vav3 所以当vav3 时，方程 f(x)=8a 有三个不同的根。1111曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 7 页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第8页共 22 页 【导数各种题型方法总结】请同学们高度重视(温馨提示)：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；_3 根分布；_4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 题型一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；(基础题型)1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)(已知谁的范围就把谁作为主元)；(1)g(x)x2mx3 Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”，解法-二从二次函数的区间最值入手:等价于g *厂 g(0)0 J g(3)0 解法二 分离变量法：T当x0时，g(x)x2mx3 当Ox3时，g(x)x2mx3 x23 x的最大值 x x 而h(x)30 93m3 则g(x)max(X)0 30恒成立,0恒成立 mx30(0 x3)恒成立,x3)是增函数，贝yhmax(x)h(3)0 0(二次函数区间最值的例子)(2)当同2时f(x)在区间则等价于当m2时g(x)解法三：变更主元法 a,b上都为“凸函数”2 xmx30恒成立 例题欣赏 2:在区间0,3上恒成立 30在m2恒成立 例题欣赏 1：设函数y f(x)在区间 D 上的导数为f(X)，f(x)在区间 D 上的导数为g(x)，若在区间 D 设函数f(x)-x32ax23a2xb(0a 3 求函数 f(x)的单调区间和极值；1,bR)上，g(x)0恒成立，则称函数y f(x)在区间 D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数，若对任意的xa1,a 4x 3mx 3x2 12 6 2 f(x)2 f(x)x4ax3a(1)若 y f(x)在区间0,3上为凸函数”，求 m 的取值范围;(2)若对满足|m|2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为凸函数”，求ba的最大值.解:由函数f(x)432 xmx3x 得f(x)1262 2mx一3x 2 解：(I)2,不等式 x3a x f(x)a恒成立，求 a 的取值范围.曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 9 页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第10页共 22 页 令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16 f(x)的值域是4,16 令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为(一,玄)和(3a,+)x=a 时,f(x)极小值=3a3 4 b；当 x=3a 时,f(x)极大值=b.t2(川)令h(x)f(x)g(x)x2(t1)x3x1,4 2 思路 1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0,即t(x22x)2x6 思路 2：二次函数区间最值(分离变量)(H)由|f(x)|3 x 2,0 0 0,1 f(x)+0-f(x)/极大 即f(2)16a511,a1,f(x)x3 2x25.(n)v 2 f(x)3x4x,f(x)tx 0等价于 3x24xtx 0,令g(t)xt3x4x，则问题就是g(t)0在t 1,1上恒成立时，求实数x的取值范围,g(1)0 刚 3x25x0 为此只需,即2,g(1)0 x2x0 解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是 0,1.(2)g(x)1a1 x4X3x2有且仅有 3 个极值点 g(x)3222 xaxxx(xax1)=0 有 3 个根，则x0或xax10,a 方程x2ax10有两个非零实根，所以a240,a2或a2 而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有 3 个极值点 32 4(m 3)(a 1)求f(x)的单调区间;aa).因为a0，所以可得下表:因此f(0)必为最大值，f(0)5因此b5,Qf(2)1$5,f(1)a5,f(1)f(2),曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第16页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 16 页共 22 页 2,1上的最大值是 5，最小值是一 11.(I)求函数f(x)的解析式；(n)若t1,1时，f(x)tx0恒成立，求实数x的取值范围.解：(I)Qf(x)ax32ax2b,f(x)3ax24axax(3x4)4 令f(x)=0,得Xr0,X22,1 3 2、(根分布与线性规划例子)为 S,经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分，求直线 L 的方程.曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳(内部资料，仅供参考)主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 17 页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第18页共 22 页 f(0)1 又f(x)在(0,1)处的切线与直线3x(n)解法 2 由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值 f(0)b f(0)f(1)f 2a 4a 令M(x,y),则 23 f(X)3X；x23x(n)解法一：由f(x)2x2 2axb f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值，易得 同时 2y 4y 故点M 所在平面区域 S 为如图 ABC,f(0)f(1)f A(DE 2y 4y 2a 4a 令M(x,y),则 易得 A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,3 2),SABC2 同时 DEABC 的中位线，SDEC S四边形ABED 3 所求一条直线 故点 M所在平面区域 S 为如图ABC,另一种情况由于直线 BO 方程为 1 yy 设直线BO与AC交于 2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),3 E(0,2)SABC 2y 1-x 2 x2 得直线 与 AC 交点为：H(1,ABC 的中位线，SDEC 1S四边形 ABED 3 TSABC 2,SDEC 2-1 所求一条直线 L 的方程为：x0 2,SABH SABOSAOH L 2 2 22)的方程为：x0 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 所求直线方程为 AC,BC 分别交于 F、G,则k0,S四边形DEGF1 y 2y kx 得点 F 的横坐标为 XF y 4y kx 得点 G 的横坐标为 XG 2k1 6 4k1 L 方程为ykx,它与 的两部分，设直线 3、(根的个数问题)_已知函数f(x)3ax bx2(c 3a2b)xd(a0)的图象如图所示。s四边形 DEGF SOGE SOFD 解得：k 综上，所求直线方程为：4k12 2k1 1即16k22k50(i)求c、d的值；(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110,求 函数 f(x)的解析式；(川)若X。5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。解：由题知：f(x)3ax22bx+c-3a-2b(i)由图可知函数 f(x)的图像过点(0,3)，且f1=0(舍去)故这时直线方程为：y1x 2 d3 得 3a2bc3a2b0 曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 19 页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第20页共 22 页 (n)依题意 f2=-3 1312 令(X)V(a2)X 1 2aX6(2 x1)12a4b3a2b 8a4b6a4b 3 解得 a=1,b=-6 35 所以 f(x)=x3-6x2+9x+3(川)依题意 f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a0)fx=3ax2+2bx-3a-2b 由f5=0 b=9a 满足 f(5)v8avf(1)由得-25a+3v8av7a+3 1vav3(X)X2(2a1)x2a(x2a)(x1)令(x)0得x2a或x1 1 Qa当2a2即a1时 2 9 此时，8a0,a0，有一个交点;2 X 2(2,1)1(X)一 (X)8a-2、a 若方程 f(x)=8a 有三个不同的根，当且仅当 1 所以当一vav3 时，方程 f(x)=8a 有三个不同的根。11 11 12 分 X 2(2,2a)2a(2a,1)1(x)+0 一 (X)8a-2/2 2c1 a(32a)3 6 a 当2a2即1a1时,2 21 Qa2(32a)0,36 4、(根的个数问题)已知函数f(x)132-xax 3 x1(aR)(1)若函数 f(x)在xX1,XX2处取得极值，且 X1 X22,求a的值及f(x)的单调区间;(2)若 a 1，讨论曲线f(x)与g(x)x2 22(2a 1)x6(2x1)的交点个数.2 解：(1)f(x)x2ax1 X|x2 2a,x-ix2 x1 x2.(Nx2)24x1x2.4a24 f(x)22 X2ax1X1 令f(x)0得x1,或 x 令f(x)0得1x1 f(x)的单调递增区间为(1),(1,)，单调递减区间为 1,1)(2)由题f(x)g(x)得 1_x3 2ax X2(2a 2 1)x 即；x3(a 2ax 9 当8a0即1 2 9厂 当8a0,且 a 2 1 当0a时，8a 2 9 综上可知，当a一或0a 16 9 a一时,有一个交点；16 9、0即一a0时，有两个交点;16-0，有一个交点.2 1 时，有一个交点；2 13 分 9 16 a0时，有两个交点.5、(简单切线问题)已知函数f(x)3X 2a 图象上斜率为 1 分 3 的两条切线间的距离为 2_10 5，函数g(x)f(x)23.a(I)若函数g(x)在X1处有极值，求g(x)的解析式；(n)若函数g(x)在区间1,1上为增函数，且b2mb4g(x)在区间1,1上都成立，求实数m的取值范围.考试寄语：先易后难，先熟后生；一慢一快：审题要慢，做题要快；不能小题难做，小题大做,而小题小做，小题巧做；我易人易我不大意，我难人难我不畏难；考试不怕题不会，就怕会题做不对；基础题拿满分，中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分；曲靖经开区一中 2017 届高三 6、7 班文科数学备考复习专题一导数及应用题型归纳（内部资料，仅供参考）主编：浦仕国 2016 年 6 月【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第21页共 22 页【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 22 页共 22 页 对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平，有时“放弃”是一种策略