高考数学大一轮复习升级增分训练利用导数探究含参数函数的性质文.doc

1升级增分训练升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质利用导数探究含参数函数的性质1已知函数f(x)xax2ln(1x)(a0)1 2(1)若x2 是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间解：f(x)，x(1，)x1aax x1(1)依题意，得f(2)0，即0，解得a 21a2a 211 3经检验，a 符合题意，故a的值为 1 31 3(2)令f(x)0，得x10，x2 11 a当 0a1 时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)f(x)的单调增区间是，单调减区间是(1,0)和(0，1 a1)(1 a1，)当a1 时，f(x)的单调减区间是(1，)当a1 时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)(1 a1，0)(1，1 a1)综上，当 0a1 时，f(x)的单调增区间是，(0，1 a1)单调减区间是(1,0)和；(1 a1，)当a1 时，f(x)的单调减区间是(1，)；当a1 时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)(1 a1，0)(1，1 a1)2已知函数f(x)Error!(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值2解：(1)当x1 时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0 或x 2 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，2 3)2 3(2 3，1)f(x)00f(x)极小值极大值故当x0 时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x 2 3(2)当1x1 时，由(1)知，函数f(x)在1,0和上单调递减，在2 3，1)上单调递增0，2 3因为f(1)2，f，f(0)0，(2 3)4 27所以f(x)在1,1)上的最大值为 2当 1xe 时，f(x)aln x，当a0 时，f(x)0；当a0 时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a综上所述，当a2 时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 23已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1 处取得极值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数b的取值范围解：(1)由已知得f(x)a (x0)1 xax1 x当a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点当a0 时，由f(x)0，得 0x ，1 a由f(x)0，得x ，1 af(x)在上单调递减，在上单调递增，(0，1 a)(1 a，)即f(x)在x 处有极小值1 a3当a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1 处取得极值，f(1)0，解得a1，f(x)bx21 b，1 xln x x令g(x)1 ，则g(x)，1 xln x xln x2 x2令g(x)0，得xe2则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1，1 e21 e2故实数b的取值范围为(，11 e24已知方程f(x)·x22axf(x)a210，其中aR，xR(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在0，)上存在最大值和最小值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)·x22axf(x)a210 得f(x)，则f(x)2axa21 x212xaax1 x212当a0 时，f(x)，2x x212所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，即f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)当a0 时，令f(x)0，得x1a，x2 ，当x变化时，f(x)与f(x)的变化1 a情况如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极小值极大值故f(x)的单调递减区间是(，a)，单调递增区间是(1 a，)(a，1 a)当a0 时，令f(x)0，得x1a，x2 ，当x变化时，f(x)与f(x)的变化1 a情况如下：x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)4f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是，(a，)，单调递减区间是(，1 a)(1 a，a)(2)由(1)得，a0 不合题意当a0 时，由(1)得，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)(0，1 a)(1 a，)在0，)上存在最大值fa20(1 a)设x0为f(x)的零点，易知x0，且x0 1a2 2a1 a从而当xx0时，f(x)0；当xx0时，f(x)0若f(x)在0，)上存在最小值，必有f(0)0，解得1a1所以当a0 时，若f(x)在0，)上存在最大值和最小值，则实数a的取值范围是(0,1当a0 时，由(1)得，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以f(x)在0，)上存在最小值f(a)1易知当xa时，1f(x)0，所以若f(x)在0，)上存在最大值，必有f(0)0，解得a1 或a1所以当a0 时，若f(x)在0，)上存在最大值和最小值，则实数a的取值范围是(，1综上所述，实数a的取值范围是(，1(0,15设函数f(x)x2axb(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；( 2，2)(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值 2，2D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满足条件D1 时的最大值a2 4解：(1)由题意，f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，则f(sin x)(2sin xa)cos x，因为x，所以 cos x0，22sin x2 2 25a2，bR 时，函数f(sin x)单调递增，无极值；a2，bR 时，函数f(sin x)单调递减，无极值；对于2a2，在内存在唯一的x0，使得 2sin x0a( 2，2)xx0时，函数f(sin x)单调递减； 2x0x时，函数f(sin x)单调递增 2因此，2a2，bR 时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb(a 2)a2 4(2)当x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin 2 2xbb0|aa0|bb0|，当(a0a)(bb0)0，x时等号成立， 2当(a0a)(bb0)0 时，x时等号成立 2由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值为D|aa0|bb0| 2，2(3)D1 即为|a|b|1，此时 0a21，1b1，从而zb1a2 4取a0，b1，则|a|b|1，并且zb1a2 4由此可知，zb满足条件D1 的最大值为 1a2 46已知函数f(x)x ，g(x)aln x(aR)1 x(1)当a2 时，求F(x)f(x)g(x)的单调区间；(2)设h(x)f(x)g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中x1，求h(x1)(0，1 2h(x2)的最小值解：(1)由题意得F(x)x aln x(x0)，1 x则F(x)，令m(x)x2ax1，则a24x2ax1 x2当2a2 时，0，从而F(x)0，所以F(x)的单调递增区间为(0，)；6当a2 时，0，设F(x)0 的两根为x1，x2，aa242aa242所以F(x)的单调递增区间为和，(0，aa242) (aa242，)F(x)的单调递减区间为(aa242，aa242)综上，当2a2 时，F(x)的单调递增区间为(0，)；当a2 时，F(x)的单调递增区间为和，(0，aa242) (aa242，)F(x)的单调递减区间为(aa242，aa242)(2)对h(x)x aln x，x(0，)求导得，1 xh(x)1 ，1 x2a xx2ax1 x2h(x)0 的两根分别为x1，x2，则有x1·x21，x1x2a，所以x2，从而有ax11 x11 x1令H(x)h(x)h(1 x)x ln x1 x(x1 x)1 xx(x1 x)·ln 1 x2，(x1 x)ln xx1 x即H(x)2ln x(x0)(1 x21)21x1xln x x2当x时，H(x)0，所以H(x)在上单调递减，(0，1 2(0，1 2又H(x1)h(x1)hh(x1)h(x2)，(1 x1)所以h(x1)h(x2)minH5ln 23(1 2)