必修四平面向量的数量积讲义.pdf
一、平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量cos叫做与的数量积(或内积)，记作，即cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“”不能省略，也不能也成“”；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00180 0。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0；（5）当向量与的夹角为 900时，叫与互相垂直，记作：，此时：0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于cos，其中cos叫做在方向上的投影，当为锐角时，投影为正；当为钝角时，投影为负；当就直角时，投影为 0；当为 0 度时，投影是；当为 180 度时，投影为；（2）在方向上的投影与在方向上的投影就不同的；（3）在方向上的投影值可以写成bba。例 1：已知2，5，当（1）与夹角为 300时；（2）当时；（3）当当时；分别计算与的数量积。【解析】：（1）5；（2）0；（3）10 变式练习 1：已知3，5，且与的夹角为 450，则在方向上的投影是（）A：223 B：3 C：4 D：5【解析】：A 变式练习 2：已知6，3，且12，则在方向上的投影是（）A：4 B：2 C：4 D：2【解析】：A 二、平面向量数量积的性质 若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角 1、cos2、0 3、若与同向，则(夹角为 0度)；若反向，则(夹角为 180度)；特别地，()22或aa 4、若是与的夹角，则 cosbaba 5、（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律 1、2、()()()3、()4、()()()2()222 5、()2222 注意：（1）没有()()这个运算定律；（2），则不能得到；（3）若0，则或或900。例 2：下列说法正确的个数_。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若0，则与的夹角为锐角，若0，则与的夹角为钝角；（4）()()；（5）若0，则或。【解析】：0个 例 3：已知与的夹角为 1200，且4，2，则计算(2)()_，_。【解析】：12 2 例 4：已知AB，4，则OB_。【解析】：16 变式练习 1：已知1，21，()()21，求（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值。【解析】：450，221，225，cos25212155。变式练习 2：已知向量、的夹角为 600，且2，1，则向量与向量2的夹角等于（）A：1500 B：900 C：600 D：300【解析】：cosbaabaa2)2(300可用数形结合法，构成的四边形为菱形 变式练习 3：已知向量与向量满足，6，4，且与的夹角为 600，求与3。【解析】：219，36 变式练习 4：设四边形 ABCD为平行四边形，AB6，AD4，若点 M，N满足BM3MC，DN2NC，则AMNM（）A：20 B：15 C：9 D：6 解析】这个地方四边形 ABCD 为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以 A为坐标原点建立坐标系。由0,06,34,4A（），M（）N（），进而(6,3)AM，(2,1)NM，9AMNM。变式练习 5：已知向量与向量是两个互相垂直的单位向量，若向量满足()()0，则的最大值是（）A：1 B：2 C：D：22【解析】：()()20，则2()，则4()22(222)22故2。C 四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设，j为 x轴、y轴方向的两个单位向量，即(1，0)，j(0，1)，且与为两个非零向量，(x1，y1)，(x2，y2)1、1 jj1 j0 x1x2y1y2 2、若(x，y)，则222yx 或22yx。若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB212212)()(yyxx 3、若(x1，y1)，(x2，y2)，则0 x1x2y1y20 4、若(x1，y1)，(x2，y2)，与的夹角为，则 cos222221212121yxyxyyxx 例 4：向量(1，1)，(1，2)，则(2)（）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：C 变式练习：若向量(x，2)，(2，1)，且，则（）A：B：10 C：2 D：10【解析】：B 例 5：若平面向量(4，3)，2(3，18)，则与夹角的余弦值等于（）A：658 B：658 C：6516 D：6516【解析】：C 变式练习 1：设 x、yR，向量(x，1)，(1，y)，(2，4)，且，则（）A：B：10C：2D：10【解析】：B 变式练习 2：已知(，2)，(3，5)，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_。【解析】：由于 a 与 b 的夹角为锐角，ab0，且 a 与 b不共线同向由 ab03100，解得 103.当向量 a与 b 共线时，得 56，得 65，因此 的取值范围是 103且 65.答案：|103且65 变式练习 3：已知 A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，O 为坐标原点。（1）若OCAB，求 tan；（2）若ACBC，求 sin2；（3）若OC13，且(0，)，求OB与OC的夹角。【解析】：（1）1（2）98（3）6 变式练习 4：已知(5cosx，cosx)，(sinx，2cosx)，设函数 f(x)2b23。（1）当 x6，2时，求函数 f(x)的值域（2）当 x6，2时，若 f(x)8，求函数 f(x12)的值（3）将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 yg(x)的表达式，并判断其奇偶性。【解析】：（1）f(x)5sin(2x6)5 （2）22x667 sin2x53cos2x54 f(x12)5sin2x55sin(2x66)21433（3）g(x)5sin2x 奇 变式练习 5：(，1)，(21，23)，且存在实数 k和 t，使(t23)，kt，且，试求ttk2的最大值。课后综合练习 1、给出以下四个命题：（1）0；（2）若0，且，则；（3）若，则；（4）当与反向时，。正确命题的个数是（）A：1 B：2 C：3 D：4【解析】：B （3）应小于 2、已知(0，1)，(1，1)，且()，则实数的值是（）A：1 B：0 C：1 D：2【解析】：A 3、若3，且、的夹角为6，则为（）A：B：2C：3D：21【解析】：D 4、设、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（1）()()；（2）；（3）()()与不垂直；（4）(32)(32)9242中，是真命题的有（）A：（1）（2）B：（2）（3）C：（3）（4）D：（2）（4）【解析】：D 5、如图所示，RtABC中，A900，AB1，则ABBC的值是（）A：1 B：1 C：2 D：2【解析】：B 6、ABC 中，AB，BC，若0，则ABC 的形状为（）A：直角三角形 B：钝角三角形 C：锐角三角形 D：不能判断【解析】：B 7、已知、满足2，0，若向量与共线，则的最小值为（）A：B：1 C：22D：21【解析】：设(2，0)，(0，2)，x()(2x，2x)，则 224)22(xx4882 xx A 8、已知21，22，()0，则与的夹角为（）A：300 B：450 C：600 D：900【解析】：B 9、已知1，与的夹角是 900，23，k4，与垂直，则 k的值为（）A：6 B：6 C：3 D：3【解析】：B 10、1，2，且()0，则、的夹角为_。【解析】：1200 11、已知向量和的夹角为 1200，且2，5，(2)_。【解析】：35 12、已知向量和的夹角为 450，且1，210，则_。【解析】：3 13、已知向量(1，0)，(1，1)，若向量3 与向量夹角的余弦值为_。【解析】：552 14、向量1e，2e就夹角为 600的两个单位向量，若向量1e32e与21e，则向量与方向上的身影为_。【解析】：25 15、已知向量(2，2)，(5，k)，（1）若，求 k 值；（2）若不超过 5，求 k 的值。CAB
