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上海高中数学三角函数大题压轴题练习 1/12 三角函数大题压轴题练习 1已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数()f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数()f x在区间,12 2 上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f xxxx 13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx 2213cos2sin2sincos22xxxx 13cos2sin2cos222xxx sin(2)6x 2T2周期 由2(),()6223kxkkZxkZ得 函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx 因为()sin(2)6f xx在区间,12 3 上单调递增，在区间,3 2 上单调递减，所以 当3x时，()f x取最大值 1 又 31()()12222ff，当12x 时，()f x取最小值32 所以 函数()f x在区间,12 2 上的值域为3,12 2已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；上海高中数学三角函数大题压轴题练习 2/12（）求函数()f x在区间203，上的取值范围 解：（）1 cos23()sin222xf xx311sin2cos2222xx 1sin 262x 因为函数()f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1()sin 262f xx 因为203x，所以72666x，所以1sin 2126x，因此130sin 2622x，即()f x的取值范围为302，3.已知向量()(3,1)，mn1，且 A 为锐角.（）求角 A 的大小；（）求函数()cos24cossin()f xxAx xR的值域.解：（）由题意得3sincos1,m nAA 12sin()1,sin().662AA 由 A 为锐角得,663AA （）由（）知1cos,2A 所以2213()cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以sin1,1x，因此，当1sin2x 时，f(x)有最大值32.当sin1x 时，()f x有最小值-3,所以所求函数()f x的值域是332，上海高中数学三角函数大题压轴题练习 3/12 4.已知函数()sin()(0 0)f xAxA，xR的最大值是 1，其图像经过点 13 2M，（1）求()f x的解析式；（2）已知02，且3()5f，12()13f，求()f的值【解析】（1）依题意有1A，则()sin()f xx，将点1(,)3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2f xxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。5.已知函数117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tf tg xx fxx fx xt（）将函数()g x化简成sin()AxB（0A，0，0,2)）的形式；（）求函数()g x的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos()cossin1 sin1cosxxg xxxxx 2222(1 sin)(1 cos)cossincossinxxxxxx 1 sin1 coscossin.cossinxxxxxx 17,coscos,sinsin,12xxxxx 1 sin1 cos()cossincossinxxg xxxxx sincos2xx 上海高中数学三角函数大题压轴题练习 4/12 2sin2.4x（）由1712x，得55.443x sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx，故 g(x)的值域为22,3.6（本小题满分 12 分）在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，2 3a，tantan4,22ABC 2sincossinBCA，求,A B及,b c 解：由tantan422ABC得cottan422CC cossin224sincos22CCCC 14sincos22CC 1sin2C，又(0,)C 566CC，或 由2sincossinBCA得 2sincossin()BBBC 即sin()0BC BC 6BC 2()3ABC 由正弦定理sinsinsinabcABC得 上海高中数学三角函数大题压轴题练习 5/12 1sin22 32sin32BbcaA 7.在ABC中,内角,A B C对边的边长分别是,a b c.已知2,3cC.若ABC的面积等于3,求,a b;若sinsin()2sin 2CBAA,求ABC的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分 解析：（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 4 分 联立方程组2244ababab，解得2a，2b 6 分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，8 分 当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b 所以ABC的面积12 3sin23SabC 12 分 1.已知函数()sin()sin()cos(,)66f xxxxa aR a为常数.()求函数()f x的最小正周期；()若函数()f x在-2，2上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值.解：（）()2sincoscos6f xxxa3sincosxxa 2sin6xa 5 分 函数()f x的最小正周期2T 7 分 上海高中数学三角函数大题压轴题练习 6/12(),2 2x ，2363x min32fxfa 9 分 max23fxfa 11 分 由题意，有(3)(2)3aa 31a 12 分 2.（本小题 12 分）已知函数.21)4(,23)0(,23cossincos2)(2ffxxbxaxf且（1）求)(xf的最小正周期；（2）求)(xf的单调增区间；解：（1）由21)4(23)0(ff 得123ba 3 分)32sin(2sin212cos2323cossincos3)(2xxxxxxxf 6 分 故最小正周期T（2）由)(223222Zkkxk 得)(12125Zkkxk 故)(xf的单调增区间为)(12,125Zkkk 12 分 3已知xxaxxfcossin34cos4)(2，将)(xf的图象按向量)2,4(b平移后，图象关于直线12x对称（）求实数a的值，并求)(xf取得最大值时x的集合；（）求)(xf的单调递增区间 解：（）22cos22sin32)(xxaxf，将)(xf的图象按向量)2,4(b平移后的解析式为2)4()(xfxgxax2cos322sin23 分 上海高中数学三角函数大题压轴题练习 7/12)(xg的图象关于直线12x对称，有)6()0(gg，即aa3332，解得1a 5 分 则2)62sin(422cos22sin32)(xxxxf 6 分 当2262kx，即3 kx时，)(xf取得最大值 27 分 因此，)(xf取得最大值时x的集合是,3Zkkxx8 分（）由226222kxk，解得36kxk 因此，)(xf的单调递增区间是3,6kk)(Zk 12 分 4.已知向量m(sin,cos)和n=(cos,sin2)，2 (1)求|nm的最大值；(2)当|nm=528时，求cos28的值 4解：(1)cossin2,cossinmn (2 分)22cossin2(cossin)mn=42 2(cossin)44cos42 1 cos4 (4 分)，2，49445，)4cos(1|nm22 (6 分)(2)由已知8 2,5mn,得7cos425 (8 分)又2cos2cos()1428 216cos()2825 (10 分)，2898285，4cos285 (12 分)。5.。已知 A、B、C 的坐标分别为 A（3，0），B（0，3），C（sin,cos），).23,2(（I）若|,|BCAC 求角的值；上海高中数学三角函数大题压轴题练习 8/12（）若tan12sinsin2,12求BCAC的值.5、解：（1）)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC，cos610sin)3(cos|22 AC，22|cos(sin3)106sinBC.由|BCAC 得cossin.又45),23,2(.（2）由.1)3(sinsincos)3(cos,1得BCAC.32cossin 又.cossin2cossin1cossin2sin2tan12sinsin222 由式两边平方得,94cossin21.95tan12sinsin2.95cossin22 6.在中，分别为角 A，B，C 的对边，设22222()()4f xa xabxc，（1）若(1)0f，且 B3，求角 C.（2）若(2)0f，求角 C 的取值范围.6解；（1）由 f（1）=0，得 a2a224c2=0，2c（1 分）.又由正弦定理，得 2，2,将其代入上式，得 2（2 分）B3，3，将其代入上式，得（3）=2（3 分）（3）+3=2，整理得，CCcossin3（4 分）33（5 分）角 C 是三角形的内角，6（6 分）（2）f（2）=0，4a22a2+2b24c2=0，即 a222c2=0（7 分）由余弦定理，得abcba2222（8 分）上海高中数学三角函数大题压轴题练习 9/12=abbaba222222 abba4222142abab（当且仅当时取等号）（10 分）21，C 是锐角，又余弦函数在（0，2）上递减，.0C3（12 分）7 A、B、C 为的三内角，且其对边分别为 a、b、c.若m(，)，n(，)，且mn.（1）求 A；（2）若 a2，三角形面积 S，求的值.7.解：（1）m(，)，n(，)，且mn，22，2 分 即，又 A(0，)，A5 分 （2）Sbc，4 7 分 又由余弦定理得：a2222120b22 10 分 16()2，故4.12 分 8.已知向量=（，1)，且与向量=(2，0)所成角为，其中 A,B,C 是的内角 (1)求角的大小；(2)求的取值范围(本题满分 12 分)8.解：（1）=（，1),与向量=（2，0）所成角为,3,3sincos1BB3 分,3,32,32032CABBB即又 6 分（2）：由（1）可得)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA 8 分 30 A 3233 A10 分()(,2),1,(,2),1.当且仅当1sinsin,6CACA时 12 分 9.(本题满分 12 分)在中，已知()(c)=3，且 2，求证：为等边三角形 9.解 由已知得：22()3abcab，即222abcab 上海高中数学三角函数大题压轴题练习 10/12 2221cos22abcCab 即 60 (1)又180()()由已知：2 0 即(AB)=0 A、B 为三角形内角，AB(180，180)A0 即 (2)由(1)(2)可知：为等边三角形 10.（12 分）已知ABC中CBCABABCACABAB)(2,边、中点分别为 D、E（1）判断ABC的形状 （2）若0 AECD，求B2sin 10 解：（1）由已知化简得CBCABCACABAB)(即0CBCA得；ABC为直角三角形 6 分（2）设 A(a,0)B(0)则 E(0,2b)(2,2ba)04222baAECD3322baa3222sinB12 分 11已知内接于单位圆，且(1)(1)2，（1）求证：内角 C 为定值；（2）求面积的最大值.11.本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识.（1）证明：由(1)(1)21（AB）1.3/A、B 为内角，AB4.则 C43（定值）.6/（2）解：已知内接于单位圆，外接圆半径 1.由正弦定理得：2sin2CRc，Aasin2，Bbsin2.8/则面积 SBacsin21BAsinsin2BB sin)4sin(2 BBBsin)sin(cosBBB2sinsincos )2cos1(212sin21BB21)42sin(22B 10/上海高中数学三角函数大题压轴题练习 11/12 0B4，43424B.故 当8B时，面积 S 的最大值为212.12/12.设函数 f（x）n，其中向量（2,1）（32x），xR.（1）求 f（x）的最小正周期；（2）在中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，f（A）=2，3，3（bc），求 b、c 的长.12（1）f(x)=22321+2(2)6 f(x)的最小正周期为.（2）f(A)=2，即 1+2(2A)6=2，(2A)621 62A+6613 2A665.3 A 由21,2222bcacb即()2 23,2.又 3(bc),12cb 13.已知的面积为 1，21，2，求的边长及 13（）=（），=4311221tantan1tantanCBCB 2 分 21，0B2，55，552，又2，2C，552，55（）55（55）+552552=53 6 分,sinsinBbAabBAb53sinsin，8 分 又 S212153b2552=1，上海高中数学三角函数大题压轴题练习 12/12 解得315，于是3，10 分 3152sinsinACa 12 分 14（12 分）已知函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf(1)求函数y=f（x）的单调递增区间；(2)若函数 y=f（x）的最小值为 24，试确定常数 a 的值 14（12 分）解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx3 分)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax6 分（1）由 x+42k2，2k2（kZ）得 x2k34，2k4（kZ）sin()cos02xx ()2xkkz 函数 y=f（x）的单调递增区间是 2k34，2k2,(2k2，2k4（kZ）9 分（2）由已知得2(2)24a，a=2 12 分