九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案.pdf

第二十一章一元二次方程21211 1一元二次方程1通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别活动 1 1复习旧知1什么是方程你能举一个方程的例子吗2下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式1(1)2x1(2)mxn0(3)x10(4)x213下列哪个实数是方程2x13 的解并给出方程的解的概念A0B1C2D3活动 2 2探究新知根据题意列方程1教材第 2 页问题 1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程2教材第 2 页问题 2.提出问题：(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有 5 个队参赛，每个队比赛几场一共有 20 场比赛吗如果不是20 场比赛，那么究竟比赛多少场(3)如果有 x 个队参赛，一共比赛多少场呢3一个数比另一个数大3，且两个数之积为 0，求这两个数提出问题：课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第 4 页习题第 17 题.解一元二次方程2121配方法(3 3 课时)第 1 1 课时直接开平方法:理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a(exf)2c0 型的一元二次方程重点运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想难点通过根据平方根的意义解形如x2n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程。一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1：填空(1)x28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x_)2；(3)x2px_(x_)2.pp解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(2)22.问题 2：目前我们都学过哪些方程二元怎样转化成一元一元二次方程与一元一次方程有什么不同二次如何转化成一次怎样降次以前学过哪些降次的方法二、探索新知上面我们已经讲了 x29，根据平方根的意义，直接开平方得 x3，如果 x 换元为 2t1，即(2t1)29，能否也用直接开平方的方法求解呢(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t1 变为上面的 x，那么 2t13即 2t13，2t13方程的两根为 t11，t22例 1解方程：(1)x24x41(2)x26x92分析：(1)x24x4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)21.(2)由已知，得：(x3)22直接开平方，得：x3 2%即 x3 2，x3 2所以，方程的两根 x13 2，x23 2解：略例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到 m2，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为 x，一年后人均住房面积就应该是 1010 x10(1x)；二年后人均住房面积就应该是10(1x)10(1x)x10(1x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1x)2(1x)2直接开平方，得 1x即 1x，1x所以，方程的两根是 x120%，x2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习!教材第 6 页练习四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2p(p0)的方程，那么 x p转化为应用直接开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么mxn p，达到降次转化之目的 若p0 则方程无解五、作业布置教材第 16 页复习巩固 1.第 2 2 课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题-通过复习可直接化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如x26x160 的一元二次方程的解题步骤难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入,(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x215(2)4(x1)290(3)4x216x169(4)4x216x7老师点评：上面的方程都能化成x2p 或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x p或 mxn p(p0)如：4x216x16(2x4)2，你能把 4x216x7 化成(2x4)29 吗二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为 16 m2，求场地的长和宽各是多少(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x的完全平方式而后二个不具有此特征(2)不能既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x26x160 移项x26x16两边加(6/2)2使左边配成 x22bxb2的形式x26x32169左边写成平方形式(x3)225 降次x35 即 x35 或 x35,解一次方程x12，x28可以验证：x12，x28 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m，长为 8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例 1用配方法解下列关于x 的方程：1(1)x28x10(2)x22x20分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上解：略，三、巩固练习教材第 9 页练习 1，2.(1)(2)四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、作业布置教材第 17 页复习巩固 2，3.(1)(2)第 3 3 课时配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难点对于用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1 的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x24x70(2)2x28x10老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略(2)与(1)有何关联二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：（(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp)2q 的形式，如果q0，方程的根是xp q；如果q0，方程无实根例 1解下列方程：(1)2x213x(2)3x26x40(3)(1x)22(1x)40分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方式|解：略三、巩固练习教材第 9 页练习 2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性 在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到五、作业布置）教材第 17 页复习巩固 3.(3)(4)补充：(1)已知 x2y2z22x4y6z140，求 xyz 的值(2)求证：无论 x，y 取任何实数，多项式 x2y22x4y16 的值总是正数.公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2bxc0(a0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程重点求根公式的推导和公式法的应用难点一元二次方程求根公式的推导一、复习引入1前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x24(2)(x2)27提问 1这种解法的(理论)依据是什么提问 2这种解法的局限性是什么(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程)2面对这种局限性，怎么办(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式)(学生活动)用配方法解方程2x237x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp)2q 的形式，如果q0，方程的根是xp q；如果q0，方程无实根二、探索新知用配方法解方程：(1)ax27x30(2)ax2bx30如果这个一元二次方程是一般形式 ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知ax2bxc0(a0)，试推 导它的两 个根b b24acx1，x22ab b24ac(这个方程一定有解吗什么情况下有解)2a)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax2bxcbc二次项系数化为 1，得 x2axabbcb配方，得：x2ax(2a)2a(2a)2b2b24ac即(x2a)4a2b24ac4a 0，当 b 4ac0 时，4a2022b24ac2b2(x2a)()2ab24acb直接开平方，得：x2a2a！b b24ac即 x2ab b24acb b24acx1，x22a2a由上可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2bxc0，当 b24ac0 时，b b24ac将 a，b，c 代入式子 x就得到方程的根2a(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根$例 1用公式法解下列方程：(1)2x2x10(2)x23x1(3)x2 2x20(4)4x23x20分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补：(5)(x2)(3x5)0三、巩固练习教材第 12 页练习 1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)四、课堂小结:本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a0；2)找出系数 a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算 b24ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果(4)初步了解一元二次方程根的情况五、作业布置教材第 17 页习题 4，因式分解法)掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重点用因式分解法解一元二次方程难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便，一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x2x0(用配方法)(2)3x26x0(用公式法)111老师点评：(1)配方法将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为2，2的一半应为4，因11此，应加上(4)2，同时减去(4)2.(2)直接用公式求解二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项.(2)等式左边的各项有没有共同因式(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x1)0(2)3x(x2)0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x0 或 2x10，1所以 x10，x22.(2)3x0 或 x20，所以 x10，x22.(以上解法是如何实现降次的)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1解方程：/13(1)10 x0(2)x(x2)x20(3)5x22x4x22x4(4)(x1)2(32x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么解：略(方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是()A(x3)(x5)102，x310，x52，x113，x2723B(25x)(5x2)20，(5x2)(5x3)0，x15，x25C(x2)24x0，x12，x22Dx2x，两边同除以 x，得 x1|三、巩固练习教材第 14 页练习 1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0.五、作业布置教材第 17 页习题 6，8，10，一元二次方程的根与系数的关系，1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系一、复习引入1已知方程 x2ax3a0 的一个根是 6，则求 a 及另一个根的值2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系3由求根公式可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为b b24acx1，2ab b24acx2.观察两式右边，分母相同，分子是bb24ac与bb24ac.两2a根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系|二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程，x22x0 x23x40 x25x60 x1x2x1x2x1x2观察上面的表格，你能得到什么结论#(1)关于 x 的方程 x2pxq0(p，q 为常数，p24q0)的两根 x1，x2与系数 p，q 之间有什么关系(2)关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)的两根 x1，x2与系数 a，b，c 之间又有何关系呢你能证明你的猜想吗解下列方程，并填写表格：x1x2方程x1x2x1x22x27x403x22x505x217x60.小结：根与系数关系：(1)关于 x 的方程 x2pxq0(p，q 为常数，p24q0)的两根 x1，x2与系数 p，q 的关系是：x1x2p，x1x2q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)(2)形如 ax2bxc0(a0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论即：对于方程ax2bxc0(a0)bca0，x2axa0bcx1x2a，x1x2a(可以利用求根公式给出证明)例 1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x23x10(2)2x23x501(3)3x22x0(4)2x2 6x 3(5)x210(6)x22x10例 2不解方程，检验下列方程的解是否正确(1)x22 2x10(x1 21，x2 21)7 735 73(2)2x23x80(x14，x24)例 3已知一元二次方程的两个根是1 和 2，请你写出一个符合条件的方程(你有几种方法)例 4已知方程 2x2kx90 的一个根是3，求另一根及 k 的值-变式一：已知方程 x22kx90 的两根互为相反数，求 k；变式二：已知方程 2x25xk0 的两根互为倒数，求 k.三、课堂小结1根与系数的关系2根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零四、作业布置1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积(1)x25x30(2)9x2x2(3)6x23x20(4)3x2x102已知方程 x23xm0 的一个根为 1，求另一根及 m 的值3已知方程 x2bx60 的一个根为2，求另一根及 b 的值.实际问题与一元二次方程(2 2 课时)第 1 1 课时解决代数问题1经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤2通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤！3通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系一、引入新课!1列方程解应用题的基本步骤有哪些应注意什么2科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞(3)如是一个细胞一次可分裂成 2 个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过 3 次分裂后共有多少个细胞二、教学活动活动 1：自学教材第 19 页探究 1，思考教师所提问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人(1)如何理解“两轮传染”如果设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，第一轮传染后共有_人患流感第二轮传染后共有_人患流感(2)本题中有哪些数量关系(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程解答：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有(x1)人患了流感，第二轮有 x(1x)人被传染上了流感于是可列方程：1xx(1x)121解方程得 x110，x212(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10 个人变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感活动 2：自学教材第 19 页第 20 页探究 2，思考老师所提问题两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率它们相等吗(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 _元，此时成本为_元；两年后，甲种药品下降了_元，此时成本为_元(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为 a，增长率为 x，则一月(或一年)后产量为 a(1x)；二月(或二年)后产量为 a(1x)2；n 月(或 n 年)后产量为 a(1x)n；如果已知 n 月(n 年)后总产量为 M，则有下面等式：Ma(1x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：_.三、课堂小结与作业布置课堂小结1列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符合实际2传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立3若平均增长(降低)率为 x，增长(或降低)前的基准数是 a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1x)nb(常见 n2)4成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小作业布置教材第 2122 页习题第 27 题第 2 2 课时解决几何问题1通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题2通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易3通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程活动 1 1创设情境1长方形的周长_，面积_，长方体的体积公式_2如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是 8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是_，高是 _，体积是_(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是 8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是_，高是 _，体积是_活动 2 2自学教材第 2020 页第 2121 页探究 3 3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 cm)(1)要设计书本封面的长与宽的比是_，则正中央矩形的长与宽的比是_(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为97 试与同伴交流一下(3)若设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边衬的宽均为 7x cm，则中央矩形的长为_cm，宽为_cm，面积为_cm2.(4)根据等量关系：_，可列方程为：_.(5)你能写出解题过程吗(注意对结果是否合理进行检验)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm 和 7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽活动 3 3变式练习如图所示，在一个长为 50 米，宽为 30 米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的 75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度答案：路的宽度为 5 米活动 4 4课堂小结与作业布置课堂小结1利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系2根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验作业布置教材第 22 页习题第 8，10 题