极坐标与参数方程.pdf
极坐标系 1极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条射线Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为0，可取任意实数 (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，)(R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定 0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的 2极坐标与直角坐标的互化 点 M 直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式 极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘 或同时平方构造 cos，sin，2 的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 及 2x2y2 将极坐标方程转化为直角坐标方程 直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的 x，y分别用 cos，sin 代替即可得到相应极坐标方程 (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算；第二步，根据角 的正切值 tan (x0)求出角(若正切值不存在，则该点在 y 轴上)，问题即解 例 1 在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin .(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 解(1)圆 O：cos sin，即 2cos sin，圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin ，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.(2)由 得 则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 .例 2(2017福州五校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为 22 cos 20.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.(1)若直线 l 过原点，且被曲线 C 截得的弦长最小，求直线 l 的直角坐标方程；(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x，y)，求 xy 的最大值 解(1)22 cos 20，即 22cos 2sin 20，将 代入得曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)24，圆心 C(1，1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小，则直线 l 与 OC 垂直，即 klkOC1，kOC1，因而 kl1，故直线 l 的直角坐标方程为 yx.(2)因为 M 是曲线 C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设 (为参数)，则 xy2sin 2cos 2 sin ，当 sin 1 时，xy 取得最大值 2 .全国卷 5 年真题集中演练 1(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2(y1)2a2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆 将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上 所以 a1.2(2015新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积 解：(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 代入 22cos 4sin 40，得 23 40，解得 12 ，2 .故 12 ，即|MN|.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为 .参数方程 1参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：并且对于 t 的每一个允许值，由方程组 所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)(2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 (为参数)(3)椭圆 1(ab0)的参数方程为 (为参数)例：将下列参数方程化为普通方程 (为参数)解：y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin21，0 x21，2x3，所求的普通方程为 2xy40(2x3)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题 2当直线经过点 P(x0，y0)，且直线的倾斜角为，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成 (t 为参数)，交点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出 t1t2，t1t2，得到|AB|t1t2|.例 2(2017豫南九校联考)在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线l：(t 为参数)与曲线 C：(为参数)相交于不同的两点 A，B.(1)若 ，求线段 AB 的中点 M 的坐标；(2)若|PA|PB|OP|2，其中 P(2，)，求直线 l 的斜率 解(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是 y21.当 时，设点 M 对应的参数为 t0.直线 l 的方程为 (t 为参数)，代入曲线 C 的普通方程 y21，得 13t256t480，设直线 l 上的点 A，B 对应参数分别为 t1，t2.则 t0 ，所以点 M 的坐标为 .(2)将 代入曲线 C 的普通方程 y21，得(cos24sin2)t2(8 sin 4cos)t120，因为|PA|PB|t1t2|，|OP|27，所以 7，得 tan2 .由于 32cos(2 sin cos)0，故 tan .所以直线 l 的斜率为 .参数方程与极坐标方程的综合问题 例已知曲线 C 的参数方程为 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为 sin cos ，求直线被曲线 C 截得的弦长 解：(1)曲线 C 的参数方程为 (为参数)，曲线 C 的普通方程为(x3)2(y1)210，曲线 C 表示以(3,1)为圆心，为半径的圆 将 代入并化简，得 6cos 2sin，即曲线 C 的极坐标方程为 6cos 2sin.(2)直线的直角坐标方程为 yx1，圆心 C 到直线的距离为 d ，弦长为 2 .全国卷 5 年真题集中演练 1(2016全国甲卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|，求 l 的斜率 解：(1)由 xcos，ysin 可得圆 C 的极坐标方程为 212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110.于是 1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得 cos2 ，tan .所以直线 l 的斜率为 或 .2(2016全国丙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 sin 2 .(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 解：(1)C1 的普通方程为 y21，C2 的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(cos，sin)因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，继续阅读
