指数与指数幂的运算.pdf
【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解 n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1整数指数幂的概念),0(1010*Z*naaaaaZnaaaannann 个 2运算法则（1）nmnmaaa；（2）mnnmaa；（3）0anmaaanmnm，；（4）mmmbaab.要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义：若 xn=y(nN*，n1，yR)，则 x 称为 y 的 n 次方根.n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数 y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为00 n；n 为偶数时，正数 y 的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n.2两个等式（1）当1n 且*nN时，nnaa；（2）)(|)(,为偶数为奇数nanaann 要点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误 要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定 a0，n，mN*，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：1nnaa()mnmmnnaaa-1mnmnaa 要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质 Qba,00，(1);aaa (2)();aa(3)();aba b 当 a0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；2442)4()4(；2142)4()4(.有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（ab）2a22abb2，（ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式 例 1.求下列各式的值：（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()ab.【答案】-3；10；3；0abba（ab）（a=b）（ab）（a=b）（a0）：（1）2aa；（2）332aa；（3）a a；（4）23633yxyxyx【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可（1）115222222;aaaaaa（2）221133323333aaaaaa；（3）1131322224()()a aa aaa；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂 23633yxyxyx=123633()yxyxyx=232yxyxyx=1222()yxyx=11222yxyx=54y 解法二：从外向里化为分数指数幂 23633yxyxyx=1236233()yxyxyx=112362233()yxyxyx=1112363223()yxyxyx=11123624123yxyxyx =54y【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,1)mnmnaaam nN且n当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简 举一反三：高清课程：指数与指数运算 例 1【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）52aa；63xxx【答案】（1）1310102 a；（2）23x【变式 2】把下列根式化成分数指数幂：（1）68 2；（2）(0)a a a；（3）332bb；（4）52231()xx【答案】7122；34a；113b；35x【解析】（1）68 2=117766322122222；（2）1331322224()a aa aaaa；（3）211332333bbbbb；（4）52231()xx=243325511()xxx x =35913935355111()xxxx 例 4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88；(2)433333391624337(3)2633634125(36)(4)(3)【答案】3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211；(2)原式=033236373333；(3)原式=-5+6+4-(3-)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式 1】计算下列各式：(1)63425.0031)32(28)67()81(；(2)33323323134)21(428aabbababaa.【答案】112；【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(181123222324143；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaaababaa331331313131)2()()8(.【变式 2】计算下列各式：高清课程：指数与指数运算 例 3 30312)26()03.1(2323)661()41(【答案】21+15 64【解析】原式=16+5+2+34=21+15 64 例 5.化简下列各式.(1)2132111136251546xyx yx y；(2)111222mmmm；(3)10.5233277(0.027)21259.【答案】1624y；1122mm【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546xyx yx y 211 11()(1)()332 2665(4)5xy 110662424x yy(2)2112211122111122222mmmmmmmmmm(3)10.5233277(0.027)21259 2331252555=(0.027)-=0.09=0.0927933 举一反三：【变式 1】化简：233()xyxy.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222()()xyxyxyxyx y.注意：当 n 为偶数时，(0)|(0)nna aaaa a.【变式 2】化简222222223333xyxyxyxy【答案】32xyxy【解析】应注意到223xx与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()xyxyxyxy 22222222222233333333()()()()xxyyxxyy 2332()2xyxyxy .【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为 1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简下列式子：(1)33223 (2)4 22 6 (3)3232x2x1x3x3x1 【答案】2 26；44182；2x(x1)2(x1)【解析】(1)原式22(33)2(33)2(33)33242 32(31)22(33)2(126 3)2 266(33)(33)(2)222444444(182)(18)2 182(2)244182 18 223 22 624 22 60 由平方根的定义得：444 22 6182(3)33233x3x3x1(x1)x1 2x1(x1)x2x1|x1|x1(x1)32322x(x1)x2x1x3x3x12(x1).高清课程：指数与指数运算 例 4 例 6已知32121xx，求23222323xxxx的值【答案】13【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121xx的联系，进而整体代入求值 32121xx，129xx，17xx 22249xx，2245xx 23222323xxxx=11122()(1)3472xxxx =3(7 1)315145453【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值本题的关键是先求3322xx及22xx的值，然后整体代入 举一反三：【变式 1】求值：(1)已知11225xx，求21xx的值；(2)已知 a0，b0，且 ab=ba，b=9a，求 a 的值.【答案】23；【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.(1)由11225xx，两边同时平方得 x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有2123xx；(2)a0，b0，又 ab=ba，1119()()(9)ababbbababaa 8182499933aaa.巩固练习 一、选择题 13x，则21 69xx等于（）A.31xB.1 3xC.2(1 3)xD.非以上答案 33(3)a，44(2)b，则ab（）B.5 C.-1D.25 2 13 2 242的结果是（）1111132168421212121212，结果是（）A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.13211 22 5.44366399aa 等于（）A.B.C.D.1,0ab，且2 2bbaa，则bbaa的值等于（）A.B.C.二、填空题 7 37 34=.(21)(12)bbb=.9.221331(2)(2)2=.3,2ab化简224(4129)aabb=.三、解答题 11.计算：（1）11221233112534316；（2）12323410.02750 0.00164.12.计算下列各式：（1）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ；（2）1122111122222ababababab。13.计算：232111333311111xxxxxxxx 巩固练习 一、选择题 1111132168421212121212，结果是（）A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.1321122 2.计算2 13 2 242的结果是（）3.若1,0ab，且2 2bbaa，则bbaa的值等于（）A.B.C.4.下列各式中错误的是（）A.21153151(1)aaaa B.269463(,0)abab a b C.12211133342423424(,0)x yxyx yy x y D.113324115324153(,0)525a b cac a b cab c 5.122、133、166这三个数的大小关系为（）A.166 133 122 B.166 113223 C.122 133 166 D.133 122 166 6.已知定义在上的奇函数()f x和偶函数()g x满足()()2xxf xg xaa 0,1aa且，若(2)ga，则(2)f（）A.2 B.154 C.174 D.二、填空题 7.212)2(.8.1133223232=.0 x，则13131142422223234()xxxxx=.14aa，则1122aa=.三、解答题 11.计算：（1）11221233112534316；（2）12323410.02750 0.00164.12.计算下列各式：（1）011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ；（2）1122111122222ababababab 13.计算：232111333311111xxxxxxxx 2212213333334,3,3abxaa byba b.求证：2233xyxy为定值.15.（1）化简：111321114322abcc aa bb ca bb cc ax yx yxxx；（2）已知)0,0)(21baabbax，求11222xxxb的值.
