二,等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点_1.pdf

-.z.一、等差等比数列根底知识点 一知识归纳：1概念与公式：等差数列：1.定义：假设数列),(1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2.通项公式：;)()1(1dknadnaakn 3.前n项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn 等比数列：1.定义假设数列qaaannn1满足常数，则na称等比数列；2.通项公式：;11knknnqaqaa3.前 n 项和公式：),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn当 q=1 时.1naSn 2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa 1.假设na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa 2.假设na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa 中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则 A 称a、b的等差中项，且;2baA 2.设a,G,b成等比数列，则 G 称a、b的等比中项，且.abG 设p、q、r、s为正整数，且,srqp 1.假设na是等差数列，则;srqpaaaa 2.假设na是等比数列，则;srqpaaaa 顺次 n 项和性质：1.假设na是公差为d的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为 n2d 的等差数列；2.假设na是公差为q的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为qn的等比数列.注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立 假设na是等比数列，则顺次n项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,组成公比这2nq的等比数列.-.z.假设na是公差为 d 的等差数列,1.假设n为奇数，则,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和；2.假设n为偶数，则.2ndSS奇偶 二学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用根本公式，注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0 的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1 的等比数列的前n项公式可以写成Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设公差、公比是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为a,a+m,a+2m或a-m,a,a+m 三 数 成等 比 数 列，可 设 三 数为 a,aq,aq2(或qa，a,aq)四 数 成 等 差 数 列，可 设 四 数 为);3,3(3,2,mamamamamamamaa或 四 数 成 等 比 数 列，可 设 四 数 为),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或等等；类似的经历还很多，应在学习中总结经历.例 1解答下述问题：cba1,1,1成等差数列，求证：1cbabacacb,成等差数列；22,2,2bcbba成等比数列.解析该问题应该选择中项的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca 评析判断或证明一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据中项性质、根据定义判断，.等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数 n.-.z.解析设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq 等 差 数 列 an 中，公 差d 0，在 此 数 列 中 依 次 取 出 局 部 项 组 成 的 数 列：,17,5,1,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列 求数列.项和的前nkn 解析,171251751aaaaaa成等比数列.1313132,132)1(2)1(323,34,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列 评析例 2 是一组等差、等比数列的根本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的根本功.例 3解答下述问题：三数成等比数列，假设将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad,a,a+d，则有 有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.解析设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,解得),(1262不合或aa所求四数为 47，57，67，77 评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求假设干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题 一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 A为常数数列 B为非零的常数数列C存在且唯一 D不存在 2.、在等差数列 na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则 na的通项公式为 A13 nan B3 nanC13 nan或4naD3 nan或4na 3、cba,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为 ，-.z.A21 B2 C2D 不确定 4、互不相等的三个正数cba,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，则2x，2b，2y三个数 A成等差数列不成等比数列 B成等比数列不成等差数列 C既成等差数列又成等比数列 D既不成等差数列，又不成等比数列 5、数列 na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为 A22 nanB28 nan C12nnaDnnan2 6、)(4)(2zyyxxz，则 Azyx,成等差数列 Bzyx,成等比数列 Czyx1,1,1成等差数列 Dzyx1,1,1成等比数列 7、数列 na的前n项和1nnaS，则关于数列 na的以下说法中，正确的个数有 一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列 A4 B3 C2 D1 8、数列 1,1617,815,413,21,前n项和为 A1212nnB212112nnC1212nnn D212112nnn 9、假设两个等差数列 na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为 A97 B78C2019D87 10、数列 na的前n项和为252nnSn,则数列 na的前 10 项和为 A56 B58 C62 D60 11、数列 na的通项公式5 nan为,从 na中依次取出第 3，9，27，3n,项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 A2)133(nn B53 n C23103nnD231031nn 12、以下命题中是真命题的是()A数列 na是等差数列的充要条件是qpnan(0p)B一个数列 na的前n项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,则此数列也是等比数列 C数列 na是等比数列的充要条件1nnaba D如果一个数列 na的前n项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca-.z.二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q=14、等差数列 na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=15、数列 na满足nnaS411,则na=16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题 17、数列 na是公差d不为零的等差数列，数列 nba是公比为q的等比数列，46,10,1321bbb，求公比q及nb。18、等差数列 na的公差与等比数列 nb的公比相等，且都等于d)1,0(dd,11ba ，333ba,555ba,求nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数。20、na为等比数列，324202,3aaa，求 na的通项式。21、数列 na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn 求 na的通项公式；等差数列 nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT 22、数列 na满足*111,21().nnaaanN I求数列 na的通项公式；II假设数列 nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列综合题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A A A C A D D D D 二、填空题 13.25114.292615.n)31(3416.63 三、解答题 17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d 由abn为等比数例，得a1+9d2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-2 18.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d-.z.a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d,得243151dd=2，d2=1 或d2=51,由题意，d=55,a1=-5。an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-5(55)n-1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa 由，得a3=216,a=6 代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，18 20.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q 所以 2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以 an=18(13)n1=183n1=233n.当q=3 时,a1=29,所以an=29 3n1=23n3.21.解：(I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得 又21213aS 213aa 故 na是首项为1，公比为3得等比数列 13nna 设 nb的公差为d 由315T 得，可得12315bbb，可得25b 故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa 由题意可得 251 5953dd解得122,10dd 等差数列 nb的各项为正，0d 2d 213222nn nTnnn 22I：*121(),nnaanN-.z.1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即 2*21().nanN II证法一：1211144.4(1).nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb，得 2120,nnnnbnbnb 即 2120,nnnbbb nb是等差数列。