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第 1 页 勾股定理数学知识提纲 勾股定理数学学问提纲 勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2.勾股定理逆定理 假如三角形三边长 a，b，c 有下面关系：a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.早在 3000 年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法.关于勾股定理，有许多证法，在我国它们都是用拼图形面积 方法来证明的.下面的证法 1 是欧几里得证法.证法 1 如图 2-16 所示.在 RtABC 的外侧，以各边为边长分别作正方形 ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是 c2，a2，b2.下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过 C 引 CMBD，交 AB 于 L，连接 BG，CE.由于 AB=AE，AC=AG，CAE=BAG，所以ACEAGB(SAS).而 所以 SAEML=b2.同理可证 SBLMD=a2.+得 SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，第 2 页 即 c2=a2+b2.证法 2 如图 2-17 所示.将 RtABC 的两条直角边 CA，CB 分别延长到 D，F，使 AD=a，BF=b.完成正方形 CDEF(它的边长为 a+b)，又在 DE 上截取 DG=b，在 EF 上截取 EH=b，连接 AG，GH，HB.由作图易知 ADGGEHHFBABC，所以 AG=GH=HB=AB=c，BAG=AGH=GHB=HBA=90，因此，AGHB 为边长是 c 的正方形.明显，正方形 CDEF 的面积等于正方形 AGHB 的面积与四个全等的直角三角形(ABC，ADG，GEH，HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2.证法 3 如图 2-18.在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上向外作正方形 ABDE，延长 CB，自 E 作 EGCB 延长线于 G，自 D 作 DKCB 延长线于 K，又作 AF，DH 分别垂直 EG 于 F，H.由作图不难证明，下述各直角三角形均与 RtABC 全等：AFEEHDBKDACB.设五边形 ACKDE 的面积为 S，一方面 S=SABDE+2SABC，另一方面 S=SACGF+SHGKD+2SABC.第 3 页 由，所以 c2=a2+b2.关于勾股定理，在我国古代还有许多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展现其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论.定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的 2 倍.证(1)设角 C 为锐角，如图 2-19 所示.作 ADBC 于 D，则 CD就是 AC 在 BC 上的射影.在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2，在直角三角形 ACD 中，AD2=AC2-CD2，又 BD2=(BC-CD)2，代入得 AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD =AC2+BC2-2BC?CD，即 c2=a2+b2-2a?CD.第 4 页 (2)设角 C 为钝角，如图 2-20 所示.过 A 作 AD 与 BC 延长线垂直于 D，则 CD 就是 AC 在 BC(延长线)上的射影.在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2，在直角三角形 ACD 中，AD2=AC2-CD2，又 BD2=(BC+CD)2，将，代入得 AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD =AC2+BC2+2BC?CD，即 c2=a2+b2+2a?cd.综合，就是我们所需要的结论 特殊地，当C=90时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2.因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在ABC 中，(1)若 c2=a2+b2，则C=90;(2)若 c2 第 5 页 (3)若 c2a2+b2，则C90.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例 1 如图 2-21 所示.已知：在正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G.求证：AB2=2FG2.分析 留意到正方形的特性CAB=45，所以AGF 是等腰直角三角形，从而有 AF2=2FG2，因此应有 AF=AB，这启发我们去证明ABEAFE.证 由于 AE 是FAB 的平分线，EFAF，又 AE 是AFE 与ABE的公共边，所以 RtAFERtABE(AAS)，所以 AF=AB.在 RtAGF 中，由于FAG=45，所以 AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2.由，得 AB2=2FG2.说明 事实上，在审题中，条件“AE 平分BAC”及“EFAC于 F”应使我们意识到两个直角三角形AFE 与ABE 全等，从而将AB“过渡”到 AF，使 AF(即 AB)与 FG 处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明白.例 2 如图 2-22 所示.AM 是ABC 的 BC 边上的中线，求证：第 6 页 AB2+AC2=2(AM2+BM2).证 过A引ADBC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理，在ABM 中，AB2=AM2+BM2+2BM?MD.在ACM 中，AC2=AM2+MC2-2MC?MD.+，并留意到 MB=MC，所以 AB2+AC2=2(AM2+BM2).假如设ABC 三边长分别为 a，b，c，它们对应边上的中线长分别为 ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论 ABC 的中线长公式：说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式.，中的 ma，mb，mc分别表示 a，b，c 边上的中线长.例 3 如图 2-23 所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的 4 倍.分析 如图 2-23 所示.对角线中点连线 PQ，可看作BDQ 的中线，利用例 2 的结论，不难证明此题.证 设四边形 ABCD 对角线 AC，BD 中点分别是 Q，P.由例 2，在BDQ 中，第 7 页 即 2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2.在ABC 中，BQ 是 AC 边上的中线，所以 在ACD 中，QD 是 AC 边上的中线，所以 将，代入得 =4PQ2+BD2，即 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明 此题是例 2 的应用.擅长将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法.下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用.例 4 如图 2-24 所示.已知ABC 中，C=90，D，E 分别是BC，AC 上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.分析 求证中所述的 4 条线段分别是 4 个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以 AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2 例 5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的 4倍等于斜边平方的 5 倍.如图 2-25 所示.设直角三角形 ABC 中，C=90，AM，BN 分别是 BC，AC 边上的中线.求证：4(AM2+BN2)=5AB2.第 8 页 分析 由于 AM，BN，AB 均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例 4 的方法可从勾股定理入手，但假如我们能将此题看成例 4 的特别状况即 M，N 分别是所在边的中点，那么可直接利用例 4 的结论，使证明过程非常简洁.证 连接 MN，利用例 4 的结论，我们有 AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2.由于 M，N 是 BC，AC 的中点，所以 所以 4MN2=AB2.由，4(AM2+BN2)=5AB2.说明 在证明中，线段 MN 称为ABC 的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MNAB 且 MN=图 2-26 所示.MN 是ABC 的一条中位线，设ABC 的面积为 S.由于 M，N 分别是所在边的中点，所以SACM=SBCN，两边减去公共部分CMN 后得 SAMN=SBMN，从而AB 必与MN平行.又SABM=高相同，而SABM=2SBMN，所以AB=2MN.学校数学要怎么学 1、课前预习 预习是学习的第一步，通过预习可以更好地听老师讲课，提高学习效率。同学在上课之前有过预习，可以对新学问有初步的了解，并且找到不明白的问题，从而在课堂上实现针对性地的听讲。2、课后复习 第 9 页 复习是对已学学问的稳固和强化，通过复习可以加深对学问的记忆，从而到达稳固的效果。同学在课后要准时复习，减缓遗忘速度，形成对新学问的深刻印象。数学答题技巧 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常特别广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都常常用到它。2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法 换元法是数学中一个特别重要而且应用非常广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较冗杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，第 10 页 使它简化，使问题易于解决。