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1/2 09 复旦数学分析考研试题 一、数学分析(90)1.计算(每个 6 分)（1）设为：2224(3)6(2)(1)36xyz曲 面 的 外 侧，求232x dydzydxdz=_。（2）1320(1)(1)xdxxx=_。（3）ln xA x在(0,)上有唯一的零点，A=_。（4）()f x在 原 点 存 在 二 阶 导 数，(0)0f，()(0)()xf xffx，则0limxx_。（填某个值或不一定存在或无法确定）（5）1sin2009kxkk在(0,)上一致收敛，则的取值范围为_。2.证明（每个 15 分）（1）(,)f x y定义在,a bc d上，且(,)f x y关于x连续，且对于某一固定的0,yc d，00,lim sup|(,)(,)|0yyxa bf x yf x y 证明：(,)f x y在,a bc d上连续。（2）21sin()nnnaaan 求证：lim0nna（3）()f x在(,)上任意有限区间上可积，求证：对任意的,a b c d()()bddbaccadxf xt dtdtf xt dx（4）()f x定义在区间(,)a b上，对任一(,)xa b 2/2 0()()lim0yf xyf yy（注：左式可以为），求证：()f x在(,)a b上严格单调。二、常微分方程（30）已知2(,)3.x yx（这个式子都记不清楚了）和系统*3dxydt .dydt *（1）(,)x yC是*的首次积分，确定*中的值。（或者是0的值，具体不是很清楚）（只要明白首次积分的概念就能做的题目）（2）证明解对参数的连续性（3）求系统*在0，0时在李亚普诺夫意义下的稳定性。三、实变函数（30）1.叙述积分的法杜（Fatou）引理。（10 分）2.（20 分）()nfx为定义在可测集上的可测函数列，()nfx在勒贝格测度意义下收敛于()f x 求证：（1）存在子列()knfx1()kknn，满足 12kkmE，1:|()()|2kknkExEfxf x（2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x。（这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze 引理）