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第十一章第十一章 机械振动机械振动一、基本要求一、基本要求1掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。2.掌握描述简谐运动的运动方程x Acos(t 0)，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。3.掌握旋转矢量法。4.理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。二、基本内容二、基本内容1.1.振动振动物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足x(t)x(t T)，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。2.2.简谐振动简谐振动简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。（1）简谐振动表达式x Acos(t 0)反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量A、0（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t对应地得到。v Asin(t 0)Acos(t 02)a 2Acos(t 0)2Acos(t 0)（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即F kx，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐d2x运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即2 2x，dt它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LCd2q1q，故电量q的变化过程就是一个简谐振荡电路中的电量q就满足2 LCdt的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。3.3.简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位（1）振幅A是指最大位移的绝对值。A是由初始条件来决定的，即A x 202v02。（2）周期T是指完成一次完整的振动所用时间。T 动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即频率。对应的T称为固有周期。T 2，式中是简谐振k,也称为固有圆m1，式中v称为频率（即固有频率），它与v圆频率的关系 2v，是由系统本身决定的。（3）相位(t 0)和初相位0是决定简谐振动的物体t时刻和t 0时刻运动状态的物理量。即在A、确定后，任一时刻的x、v、a都是由(t 0)来确定的。一个周期内，每一时刻的相位(t 0)不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。x0 Acos0初相位0决定于初始条件：即由共同决定。或由v0 Asin00 arctan(v0)计算，但由此式算得的0在0,2或,范围内有两个可x0能的取值，必须根据t 0时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使0的确定更加简捷、方便。4.4.旋转矢量法旋转矢量法简谐运动的表达式x Acos(t 0)中有三个特征量A、0，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅 A，其角速度等于谐振动的角频率，且t 0时，它与 X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0，t t时刻它与 X 轴正向的夹角为谐振动的位相（t 0）。旋转矢量A的末端在 X 轴上的投影点的运动代表质点的谐振动。5.5.简谐振动的能量简谐振动的能量1m2A2sin2(t 0)21势能EpkA2cos2(t 0)21机械能E Ek EpkA22动能Ek6.6.同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成x1 A1cost 10和x2 A2cost 20合成后仍为简谐振动x x1 x2 Acost 0其中A 2A12 A2 2A1A2cos(2010)(合振幅)tg0A1sin10 A2sin20（合振动的初相）A1cos10 A2cos20三、习题选解三、习题选解11-111-1 质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按x 0.5cos(8t 的规律振动（式中x以m计，t以s计），试求：（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）t 1s、2s、10s各时刻的相位；（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t的关系曲线。解：解：（1）x 0.5cos(8t 知：圆频率 8s1振幅A 0.5m初相位0周期T 3)m3)m 与振动的标准形式x Acos(t 0)相比可32=0.25s最大速度vmaxA 80.5ms112.56ms1最大加速度amax2A (8)20.5ms1 3.16102ms2（2）相位为(8t 3),将t 1s、2s、10s代入相位分别为1118、16、80333（3）由x 0.5cos(8t 3)m有dx 4sin(8t)ms1dt3dv 322cos(8t)ms2a dt3v 11-211-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若t 0时，球的运动状态为（1）x0 A；（2）过平衡位置向x轴正向运动；（3）x AA处向x轴负方向运动；（4）x 处向x轴22正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。解：解：四种情况对应的旋转矢量图如图所示：（1）初相位0，振动方程为x Acos(t)（2）初相位0 方程为x Acos(t)2（3）初 相 位 为0振动方程为x Acos(t（4）初相位0 2，振动3，3)题 11-2 图，振动方程为x Acos(t)4411-311-3 质点作简谐振动的曲线 x-t 如图所示，求质点的振动方程式A解：解：t=0 时，x0 Acos021所以cos0，0，23再由v0 Asin0 0，sin0 0取0 3At=1s 时，x1 Acos1（注意10）21cos1，1 23再由v1 Asin1 0，sin1 0所以132103 2振动方程为x Acost 0 0.04cost m3311-411-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。解：解：设两个质点振动方程为x1 Acos(t 1)x2 Acos(t 2)速度为v1dx1 Asin(t 1)dtv2dx2 Asin(t 2)dt依题意，两质点在t t相遇时x1(t)x2(t)A212cos(t1)cos(t2)t1t2 2n3此时两质点运动方向相反，这分两种情况。（1）质点1向x轴正向运动，质点2向x轴负向运动，这时t1 2n3t2 2n3位相差(t1)(t2)23（2）质点1向x轴负向运动，质点2向x轴正向运动，这时t1 2n3t2 2n3位相差(t1)(t2)23两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后23。两质点在 A 2处相向相遇时有同样的结论。11-511-5 在一平板上放质量m 1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为T 0.5s，振幅A 0.02m，试求：（1）在位移最大时，物体对平板的压力；（2）平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。解：解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向上的方向为x轴正向。由牛顿第二定律有N mg ma题 11-5 图当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即a amax A22此时N mg mamax m(g A2)mg()2A 6.6NT当系统运动到最低位置时a amax A2此时N mg mamax m(g A2)1.0(9.8 3.2)N 13N（2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力N mg mamax m(g A2)0gT2A 2 0.062m42g11-611-6 如图所示，一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k。现有一质量m的物体自离盘h高处自由落下掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。（取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。题 11-6 图解解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y轴向下建立坐标系。这时弹簧伸长2为(m M)g k22m Mgk当t 0时，弹簧伸长1为Mg k11Mgk题 11-6 图所以，t 0时系统的位移为y0(21)(M m)gmgmg kkk设此时系统的速度为v0，由动量守恒定律有m 2gh (M m)v0v0且速度向下与y轴方向相同，v0取正值。m 2ghM m当物体落入盘中，且系统运动至坐标y处时，系统运动方程为d2y(M m)g T (M m)2dt此时弹簧伸长为y 2，因而T k(y 2)d2y则(M m)g k(y 2)(M m)2dt由于k2(M m)g有d2yky 0dt2M m方程解为y Acos(t 0)m 2ghmg,v0kM mkM m由初始条件k 0时，y0 202v0mg2m22gh(M m)2有A y 2()kk(M m)=mg2kh1k(M m)gv0)arctany0m2gh2khm M arctang(M m)kmg()M mk0 arctan(所以盘子的振动表达式为ymg2khk2kh1cos(t arctan)k(Mm)gMmg(Mm)11-711-7 如图所示，一弹簧振子由倔强系数k的弹簧和质量M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m，速度u0的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求：（1）振子以后的振幅和周期；（2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。解：解：（1）以子弹射入物块后的平衡位置为原点，y轴向下，建立坐标系，这时弹簧伸长题 11-7 图y2Mmgk子弹未射入物块时，弹簧伸长为题 11-7 图Mg。此时物体在坐标系中的位置y1kMmMgmgy0(y2y1)(g)kkk物块和子弹共同运动的速度v0(Mm)v0mu0v0mu0（负号表示方向向上）Mm当子弹射入物块，并且运动到 y 处时，系统的运动方程为d2y(Mm)gT(Mm)2dt此时弹簧伸长为y2y，故Tk(y2y)d2y于是有(Mm)gk(y2y)(Mm)2dt由于ky2(Mm)gd2y有 ky (M m)2dtd2yky 0dt2M m系统的振动方程为y Acos(t 0)由初始条件t 0时，y y0 kM mmg m，v0u0kM m2有A mu0v02mg22y0()=()M mkkM m2m2u0mg2=()k(M m)k0 arctan(v0)arctan(y0mu0M m)kmg()M mk arctan(uk0)M mg2m2u0mg2故系统振幅为A()k(M m)k周期为T 2（2）系统的振动方程为M mk2m2u0umg2kky()cost arctan(0)k(M m)kM mgM m物块从初始位置运动到最高点时，y Aukkcost arctan(0)1M mgM m第一次到达最高点时ukkt arctan(0)M mM mgt uM mkarctan(0)kM mg11-811-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度1v 1.0ms1，周期T 1.0s，求再经过s时间，物体的动能是原来的多少倍，3设弹簧的质量不计。解：解：取向右的方向为x轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为x Acos(t 0)由于T 1.0s,2 2T故x Acos(2t 0)将物体经过平衡位置向右运动时取为t 0时刻则x0 Acos0 0v01.0ms1 A 2A1,cos0 00 221因而物体振动方程为x cos(2t)22dx物体的振动速度为v sin(2t)dt21211当t s时，v sin()sin()ms13326211此时物体动能为E mv2m J28112初始时刻物体动能为E mv0m J22E1E4有A 即1 3秒后物体动能是原来的1 4。11-911-9 一质量10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t 0时，位移为 24cm，求：（1）t 0.5s时，物体所在的位置；（2）t 0.5s时，物体所受力的大小与方向；（3）由起始位置运动到x 12cm处所需的最少时间；（4）在x 12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。解：解：令振动方程为x Acos(t 0)由题意有A 24cm，T 4.0s，且t 0时，x0 A,cos01初相位0 0振动方程为x (24cos2T22t)cm所以（1）t 0.5s时，x 24cos()12 2cm=17.0cm4d2x（2）F ma m2 m2Acos(t 0)dtt 0.5s时，F 1010324102()2cosN 4.19103N24负号表示力的方向沿x轴负向。1（3）当x 12cm时，cos(t)，位相t取值为2n,(n 0,1,2,.)。22232最少的时间t=,t s233（4）x 12cm时，v dx3 12sint 12cms1 32.6cms1dt22正负号表示物体可能向x轴正向或负向运动。此时动能：Ek势能：Ep11mv210103(32.6102)2J=5.33104J22k，有k m2m12kx，由2Ep11m2x210103()2(12102)2J=1.78104J222总能量：E Ep Ek 7.11104J11-1011-10 如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k，所系物体的质量为M，振幅为A，有一质量m的物体从高度h处自由下落。当振子在最大位移处，物体正好题落在M上并粘在一起，这时振动系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化如题 11-10 图果物体m是在振子到达平衡位置时落在M上，这些量又如何解：粘土未落在M上时系统的振动周期为T02Mk粘土落在M上时，系统的振动周期为T2Mm,TT0k当M正好处于最大位移处，即xA时，此时v0，粘土落下后，x方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为kA22也不变。当M处于平衡位置时，系统在平衡位置x0，此时vvmaxA0Ak,A为系统原来的振幅。M粘土落下与M碰撞后的速度v，可由动量守恒定律求出(Mm)vM vvMMAvMmMmkkMAMMm若粘土落下后M的振幅A，由初始条件x00,v0vkMAv02Mm有Ax0()kMmMAMmAA此时系统能量为E11MM12MkAkA2kAE22MmMm 2MmE12kA为粘土未落下时系统的能量，211-1111-11 在光滑的桌面上，有倔强系数分别为k1与k2的两个弹簧以及质量为m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率。题 1111 图解：解：（1）由图(b)所示，设弹簧原长分别为l1、l2，平衡时弹簧的伸长量分别为l1和l2，如不计物体尺寸。则l1 l1l2 l2 Lk1l1 k2l2以平衡点O为坐标原点，x轴向右建立坐标系，当小球向x轴正向移动x时，物体受力f f1 f2 k1(l1 x)k2(l2 x)由于kl1 k2l2，因而f(k1 k2)xd2x物 体 运 动 方 程 为(k1 k2)x m2dt题 11-11 图d2xk1 k2x 02mdt物体作简谐振动，振动角频率为k1 k2m其周期为T 2 2mk1 k2（2）由图(c)所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x处时，若弹簧k1的伸长为x1，弹簧k2的伸长为x2，则x1 x2 xk1x1 k2x2解得x1k2k1xx2xk1 k2k1 k2k1k2xk1 k2物体受力f k2x2 k1k2d2x物体的运动方程为x m2(k1 k2)dtk1k2d2xx 0dt2m(k1 k2)物体同样作简谐振动，振动角频率为2k1k2m(k1 k2)振动周期为T 2m(k1 k2)k1k211-1211-12 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量为J（1）证明物体作简谐振动（2）求物体的振动周期题11-12 图（3）设t 0，弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。解：解：（1）以系统静止时，物体m的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为x1,由牛顿运动定律有mg T1 0T1R T2R 0T2 kx1可得mg kx1x1mg题 11-12 图k当物体在x处时，物体和滑轮的运动方程为d2xmg T1 m2dtT1R T2R JT2 k(x1 x)d2xdt2 R，可得(Jd2解方程-xR2 m)dt2 mg k(x1 x)由于mg kx1(JR m)d2x2dt2 kxd2xdt2km J R2x 0由此证明物体做简谐振动。（2）振动圆频率为km J R2T 2m J R2物体振动周期为 2k（3）设振动方程为x Acos(t 0)其中km J R2由初始条件，t 0时，v 0,xmg00 x1 k有A x2v200 x0 x1mgkcos0 10物体振动表达式为x mgkcos(t)2km J R11-1311-13 如图所示，一长为l、质量为m的均匀细棒，用两根长L的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴OO作小角度的摆动，试确定其周期。解解：细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解，在竖直方向上有2F cos mg在水平方向上的分力构成一对力偶，力矩的大小为M Flsin结合式有M 1mgl tan2题 11-13 图力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律M J1d2有mgl tan J22dtl在小角度近似下有tanL21ld2代入式有mgl J222Ldt细棒绕中心轴转动惯量J 1ml2122112d2mlmgl 02124Ldtd23g2 0Ld t振动角频率为3gL振动周期为T 2 2L3g11-1411-14 在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能在多大位移处动能与势能相等解：解：在简谐振动中物体总能量E 其中A为振幅当x 111mv2kx2kA2222A1A1 11时Epk()2kA2E2224 24113 13Ek E EpkA2kA2kA2E244 24即总能量中有3 4为动能，1 4为势能。若Ek Ep，由于Ek Ep E故Ep Ek11 1E kA222 2211 1A这时若物体位移为x1，则kx12kA2，x1 222 2即在位移2A处，动能和势能相等。211-1511-15 两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1 0.05m，A2 0.07m，合成后组成一个振幅为0.09m的简谐振动，求两个分振动的相位差。解解：由同方向、同频率振动合成公式2A A12 A2 2A1A2cos2A2 A12 A2(0.09)2(0.05)2(0.07)2有cos 0.12A1A220.050.07 84 1611-1611-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：5x1 0.04cos(2t)x2 0.03cos(2t)66试求合振动的振幅与初相位（式中x以m计，t以s计）。解解：由x1 0.04cos(2t 6)mx2 0.03cos(2t 5)m6从矢量旋转图上可以看出，两个振动相位相反，合振幅A A1 A2(0.040.03)m 0.01m初相位016合振动方程为x 0.01cos(2t)m（SISI）611-1711-17 一 质 点 同 时 参 与 了 两 个 同 方 向 一 维 简 谐 振 动：cost与3cos(t 2)，试求该质点合振动的振幅与初相0。解：解：由x1 costx23cos(t)2有A11,1 0,A23,2因而合振幅题 11-17 图2A A12 A2 2A1A2cos(21)12(3)2 22tan0A230A1311-1811-18 设有下列两对相互垂直的振动：(1)x asinty bcost (2)x acosty bsint试问它们的合成分别代表什么运动二者有何区别解解：由(1)x asinty bcost(2)x acosty bsint均x2y21a2b2有题 11-19 图这代表质点是沿椭圆轨道的旋转运动。对于（1）x asinty bcost当t 0时，质点在B点，当t T 4时，质点在A点，质点是沿顺时针方向旋转的。对于（2）x acosty bsint当t 0时，质点在A点，当t T 4时，质点在B点，质点是沿逆时针方向旋转的。11-1911-19 质量为 0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动，x 0.08cost 63y 0.06cost 33式中 x，y 以 m 计，t 以 s 计。求：（1）运动轨道方程（2）质点在任一位置所受的力解：解：(1)由x 0.08cost 63y 0.06cost 33消去参量 t 后，可得轨道的直角坐标方程x20.0820.062y22xycos sin20.080.063636由cos()0sin()1，轨道方程成为22x2y21220.080.06这是一个长半轴为 0.08m，短半轴为 0.06m 的椭圆。（2）在任一位置，质点沿 x 轴和 y 轴的加速度为d2xax2 2xdtd2yay2 2ydt设物体质量为 m，则任一位置，物体所受合力为f f f fx f fy maxi i mayj j m2xi i yj j m2r r代入m 0.4Kg，3s1得f f 0.44r r N可见，在任一位置，力均沿矢径的反方向（向心），且随着 r 的大小而变化。