新教材-学新教材数学人教A版必修第一册_5.pdf

4.4.2 指数函数的图象与性质 教学目标 1.掌握指数函数的图象变换.2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.3.熟悉指数函数在实际问题中的应用 教学重点：1.指数函数的图象与底数的关系.2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.4.指数函数性质的应用 教学难点：1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.教学过程：一、核心概念 知识点一、不同底指数函数图象的相对位置 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1ab.在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由变；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由变；即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增 知识点二、函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数 yf(x)的图象向右平移 m 个单位得函数 yf(xm)的图象(mR，若m0 就是向左平移|m|个单位)；把函数 yf(x)的图象向上平移 n 个单位，得到函数 yf(x)n 的图象(nR，若 n0，且 a1)的单调性由两点决定，一是底数 a1 还是0a32.5.()(2)70.580.5.()(3)60.80，且 a1)，当 a1 时，x 的取值范围是_；当 0a1时，x 的取值范围是_(2)满足31()4x的 x 的取值范围是_(3)某种细菌在培养的过程中，每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成 4096 个需经过_小时 答案：(1)7(,)6，7(,)6、(2)(,1)、(3)3 三、典例分析 题型一 指数函数的图象变换 例 1 利用函数 f(x)12x的图象，作出下列各函数的图象：(1)f(x1)；(2)f(x)；(3)f(x)【答案】作出 f(x)12x的图象，如图所示：(1)f(x1)的图象：需将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得 f(x1)的图象，如下图(1)(2)f(x)的图象：作 f(x)的图象关于 x 轴对称的图象得f(x)的图象，如下图(2)(3)f(x)的图象：作 f(x)的图象关于 y 轴对称的图象得 f(x)的图象，如下图(3)金版点睛：作与指数函数有关的图象应注意的问题(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)跟踪训练 1 画出函数 y2|x1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质【答案】y2|x1|2x1，x1，12x1，x1.其图象是由两部分组成的：一是把 y2x的图象向右平移 1 个单位长度，取 x1 的部分；二是把 y12x的图象向右平移 1 个单位长度，取 x1.y1.7x在(，)上是增函数 2.53，1.72.51.73.(2)解法一：1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于 y1.5x的图象的上方而 0.30，1.70.31.50.3.解法二：1.50.30，且1.70.31.50.31.71.50.3，又1.71.51,0.30，1.71.50.31，1.70.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.83.1.金版点睛：比较函数值大小的常用方法(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题 跟踪训练 2 比较下列各题中的两个值的大小(1)0.80.1，1.250.2；(2)1，1.【答案】(1)00.81，y0.8x在 R 上是减函数 0.20.80.1，又0.80.21.250.2 0.80.11.250.2.(2)011，函数 y1x在 R 上是减函数 又101，即11.题型三解简单的指数不等式 例 3 设 0a1，解关于 x 的不等式22232223xxxxaa.【答案】0a1，yax在 R 上是减函数 又22232223xxxxaa，2x23x21.不等式的解集是(1，)金版点睛：解指数型函数不等式的依据 解 af(x)ag(x)(a0，且 a1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：跟踪训练 3 求满足下列条件的 x 的取值范围：(1)139xx；(2)0.225x0.2x9x，3x132x，又 y3x在定义域 R 上是增函数，x12x，x1，即 x 的取值范围是(，1)(2)00.21，指数函数 f(x)0.2x在 R 上是减函数 又 250.22，0.2x2，即 x 的取值范围是(2，)(3)当 a1 时，a5xax7，5x76；当 0a1 时，a5xx7，解得 x1 时，x 的取值范围是76，；当 0a1 时，函数 yf(ax)与函数 f(x)的单调性相同；当 0a1 时，函数 yf(ax)与函数 f(x)的单调性相反 但在证明过程中，仍应严格按照定义证明 跟踪训练 4 已知函数 f(x)3x13x1.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明【答案】(1)证明：由题知 f(x)的定义域为 R.f(x)3x13x13x13x3x13x13x13xf(x)，所以 f(x)为奇函数(2)f(x)在定义域上是增函数 证明如下：任取 x1，x2R，且 x12.53 B0.820.90.5 答案：D 解析：因为函数 y0.9x在 R 上为减函数，所以 0.90.30.90.5.2若213 211()()22aaa，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B.12，C(，1)D.，12 答案：B 解析：函数 y12x在 R 上为减函数，2a132a，a12.3设1313b13a1，则()Aaaabba Baabaab Cabaaba Dabbaaa 答案：C 解析：由已知条件得 0ab1，abaa，aaba，abaa0，且 a1)，当 x0 时，求函数 f(x)的值域 解：ya2x2ax1，令 tax，则 yg(t)t22t1(t1)22.当 a1 时，x0，t1，当 a1 时，y2.当 0a1 时，x0，0t1.g(0)1，g(1)2，当 0a1 时，11 时，函数的值域是2，)；当 0a1 时，函数的值域是(1,2